上海市六年级数学秋季班教案16扇形面积(老师)

学科教师辅导讲义
学员姓名：年级：六年级上授课时间：课时数：辅导科目：数学学科教师：
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课题扇形面积
教学目标1.理解扇形的概念；
2.掌握理解扇形面积公式；
3.会用公式进行有关面积的计算.
重点1. 扇形面积公式
2. 会用公式进行有关面积的计算
难点1. 扇形面积公式
2. 会用公式进行有关面积的计算
考点会用公式进行有关面积的计算
- 1 -
- 2 -
【知识精要】
1。

扇形的概念
如图所示，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．图中的扇形记作扇形OAB,圆心角α也叫做扇形的圆心角．
在同一个圆中，弧的长短、扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关． 2。

扇形的面积公式
扇形面积；所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n ： 360.也就是说，扇形面积是所
在圆面积的
360n ，于是 推得扇形的面积公式S=
2360
n
r π． 公式一： S 扇=2360
n
r π（其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径）； 公式在应用时可变形为S 扇：S 圆=360
n
，即扇形面积与它所在的圆面积之比等于它
的圆心角与周角的比；
公式二：S 扇=12
lr （其中l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径）．
扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式， 3。

扇形统计图
扇形统计图是用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组成部分在总体中所占的百分比的统计图．
【典型例题讲解】 题型一：
【例1】圆形上的任意一部分都是扇形吗？
【答案】不是，如图所示，其中(1)是扇形，而(2)不是扇形，因为扇形必须由一段圆弧与两条半径所围成．因此扇形是圆形的一部分，但圆形上的任意一部分并不都是扇形． 【例2】1.探照灯的有效探照路程为200米，如果它做60度的水平转动，那么它的有效照射面积是 _______ 平方米．【答案】20933.33
【例3】如果圆的半径r =30cm ，那么弧长为36cm 的扇形的面积是多少？
- 3 -
解： 1
2
S lr =
=扇形 【答案】2
540cm
【例4】扇形AOB 和扇形COD 同圆，且AB 的长度是CD 长度的1
3
，则扇形ABC 的面积是扇形COD 面积的 ( ) A ．
13； B ．16； C ．19； D ．1π
. 【解析】由弧长公式可知当半径相同时，弧长和圆心角变化情况相同，而扇形的面积在半径相同时，也只和弧所对的圆心角有关，所以选A ． 【答案】A
【例5】一个扇形花坛的周长是194.2分米，圆心角是108°，那么这个扇形花坛的面积是多少？
【分析】扇形花坛的周长是由一段孤长和两条半径组成的，我们根据扇形的周长可以求出圆的半径，然后求出扇形的面积． 【解析】设圆的半径是x 分米．
因为108
180l =
×3. 14×x 2 r=2x ． 所以108180×3.14x +2x =194.2 , x =50．
S 扇=22108 3.1450360360
n r π=⨯⨯= 2 355（平方分米）． 答：这个扇形花坛的面积是2 355平方分米．
【借题发挥】
1.下列图形中的阴影部分是扇形的是（ ）
【解析】扇形的定义是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形． 【答案】C
2.一个扇形的圆心角为36°，所在圆的半径为10厘米，则它的面积为(π取
3. 14) ( )
A ．31.4平方厘米；
B ．314平方厘米；
C ．3.14平方分米；
D ．0.314平方米.
【解析】S 扇22
36 3.1410360360
n r π⨯⨯==平方厘米=31.4平方厘米=0.00314平方米 【答案】A
- 4 -
3.如果圆的直径d=40cm ，那么圆心角为144°的扇形的面积是多少？
解：2d r == ，2
360
n r S π=扇形
【答案】220;502.4cm cm
4.如果圆的周长C=62. 8cm ，那么圆心角为90°的扇形的面积是多少？
2C r π=
= 2360
n
S r π=
=扇形 【答案】210;78.5cm cm
5.如果圆的直径d=20cm ，那么弧长为30cm 的扇形的面积是多少？ 解：
【答案】2
150cm
6.如图，半径OA =60cm ．∠BAO=30°．求扇形AOB 的面积（阴影部分）．
【分析】同圆的半径相同，三角形AOB 为等腰三角形．∠BAO=30=∠ABO ．所以∠AOB =180°-30°-30°=120°．从而得扇形的圆心角为240°=(360°-120°) 【解析】S 扇=
240
360
×π×(60crri)2=2400πcm 2= 7536(cm 2
). 答：扇形AOB 的面积是7536cm 2
．
7.如图所示，图中的等边三角形的边长为6厘米，求阴影部分的面积，
【分析】阴影部分为一扇形，由公式S 扇=
2360
n
r π；可知，找准起与r 是计算的关键．这里r=6厘米，而圆心角由等边三角形的特征导出来，
【解析】由等边三角形的特性知：
扇形的圆心角n=180°- 60°=120° 所以，S 扇=
2360n r π=120360
×3.14×6²=37. 68（平方厘米） 答：阴影部分的面积为37. 68厘米²．
题型二：
【例6】如图所示，求图中阴影部分的面积，
【解析】方法一：S 阴 =S 大扇形- S 小扇形
- 5 -
=
22120120
42360360
ππ⋅-⋅ = 4 π（平方厘米）．
方法二：大扇形弧长1208
141803
l ππ=
⋅= 小扇形弧长1204
221803l ππ=
⋅=， 所以S 阴= 1814
4242323
πππ⨯⨯-⨯⨯=（平方厘米）
答：阴影部分面积为4 π平方厘米。

【方法总结】由于扇形的面积公式有两种形式，因此解题过程中有两种选择，其中公式S 扇=12
lr 与三角形面积公式的形式类似，实际上，扇形可看作曲边三角形
【例7】一所中学准备搬迁到新校舍，在迁入新校舍之前就该校500名学生如何到新校舍的问题进行了一次调查，得到数据：步行90人，骑自行车160人，坐公共汽车220人，其他30人．请算出各部分学生数占学生总数的百分比，并用扇形统计图表示． 【解析】先计算出各部分学生占学生总数的百分比90÷500=18%，160÷500=32%，220÷500=44%，30÷500=6%
再算出各部分学生的四个扇形圆心角的度数： 步行：360°×l8%=64.8°
骑自行车：360°×32% =115. 2°; 坐公共汽车：360°×44% =158.4° 其他：360°×6%=21.6°
然后用量角器在圆里量出上面每个扇形的圆心角的度数就可以画出这个扇形统计图了。

【答案】步行学生占学生总数的百分比是18%，骑自行车学生占学生总数的32%．坐公共汽车的学生占学生总数的
44%，其他学生占学生总数的6%，所绘制的扇形统计图如图所示．
【说明】有时扇形统计圈也称作饼形统计图．扇形统计图可以直观地反映出各个部分数量在总量中所占的份额．
在画扇形统计图时要注意各部分扇形的圆心角度教之和为360°，因此，若有一个扇形，只要先算出(n -1)个扇形的圆心角度数即可． 【例8】如图所示．如果用这个圆表示总体1。

(1)如果整个圆表示这次春游的人数是160人，扇形A 表示多少人？
(2)如果整个圆表示小王这个月的收入是3 200元，扇形．B 表示多少元？ (3)如果扇形A 表示有180元，扇形B 表示多少元？
【解析】(1)160×25%=40;
(2)3 200×(1-25%-40%)=1120（元）； (3)180~25% =720F720×(1-25% -40%)=252（元）
答：(1)扇形A 表示40人；(2)扇形B 表示1 120元；(3)扇形B 表示252元
.
- 6 -
【例9】如图，边长为10 cm 的正方形中，阴影部分的面积为(π取3. 14) ( )
A. 78. 5 cm 2 ；
B. 28. 5 cm
2
C. 107 cm 2；
D. 67.75 cm 2
【答案】B 【借题发挥】
1．求图中阴影部分的面积：（单位：分米）
【答案】47.1平方分米
2．在下列四个图形中，正方形的面积都相等，则阴影部分面积也相等的图形是（ ） A.（1）（2）（3）； B.（1）（2）（4）； C.（1）（3）（4）； D.（2）（3）（4）
3.（1）如图：ABC ∆是等腰直角三角形，以C 为圆心，CA 为半径，画弧交BC 于点E ，以B 为圆心，BA 为半径画弧交BC 于点D ，求阴影部分的面积。

（2）如图所示：阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。

（保留π）。

科技园区的果园里．14的面积种植了梨树，12
的4．张江农业苹果树，
1
8
的面积种植了葡萄树，其余面积种植面积种植了了桃树，根据这些数据画出扇形统计图.
【答案】略
- 7 -
5．如图是新华初级中学六年级数学竞赛获奖人数的扇形统计图 (1)求三等奖占获奖总数的百分之几？
(2)已知有24人获三等奖，那么共有多少人获奖？ (3)获二等奖有多少人？获一等奖有多少人？
【答案】60%；40人；10人 6人
【随堂练习】
判断题：
1．两个扇形的面积相等，则这两个扇形的周长一定相等． ( ) 【答案】×
2．时钟的分针尖端走过的路程就是求扇形的弧长，而分针扫过的面积就是求扇形的面积． ( ) 【答案】√
3．扇形面积的大小与半径、圆心角和扇形的位置有关． ( ) 【答案】×
4．一个扇形的面积是一个圆面积的1
6
，则这个扇形的圆心角为60°. ( ) 【答案】×
5．圆心角为60°的扇形面积是它所在圆面积的
1
6
． ( ) 【答案】√ 填空题：
1．一个扇形的直径是10厘米，圆心角是150度，那么它的面积是______平方厘米． 【答案】32.71
2．把一个半径为3厘米的圆分成12个面积相等的扇形，每个扇形的圆心角为______平方厘米，________个这样的扇形可以组成一个半圆． 【答案】30；2.355；
3．图中阴影部分的面积是 ________ ．
【答案】1.29
4.一个扇形的面积是所在圆的面积的
3
5
，那么这个扇形的圆心角是_______度． 【答案】216
5．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30厘米，贴纸部分BD 长为21厘米，贴纸部分的面积为 平方厘米．
【答案】857.22 6．台钟的时针长1 0厘米，从早上7点到中午1 2点，时针尖端走过的路程是 厘米，时针扫过的面积是 平方厘米．
【答案】26.17;130.83 7．扇形的半径为9分米，周长为27. 42
分米，则扇形
- 8 -
的圆心角为 度， 【答案】60
8．如图，扇形的半径OB =5，四边形ABCD 为长方形，且S l +S 2=S 3，则BC=
【答案】3.925
9．扇形的弧长是28分米，半径是10分米，则扇形的面积为 平方分米． 【答案】140
11．把一个圆剪成两个扇形，若较小的扇形的圆心角为1350
，则较大的扇形面积比较小的扇形面积大 ．（填几分之几） 【答案】
2
3
12．把一张面积是l6π平方厘米的圆形的纸，对折、对折、再对折，则得到的扇形的面积是 平方厘米．圆心角为 度． 【答案】2;45π
选择题：
1．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
【答案】C
2．一个扇形的圆心角为1800
，所在圆的半径为r ，则下列结论错误的是 ( ) A ．扇形的弧长是πr ； B ．扇形的周长为(π+2)r ； C ．扇形的面积为2
12
r π； D ．扇形的弧长与周长都为(π+2)r ． 【答案】D
3.扇形面积的大小(D )。

A.只与圆心角大小有关
B.只与半径长短有关
C.与半径长短无关
D.与圆心角的大小、半径的长短都有关
4．如果一个扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径长缩小原来的1
3
，那么所得的扇形面积与原来扇形的面积的比值为 ( ) A ．
19； B ．1
3
； C ．3； D ．9.
- 9 -
【答案】B
5．一个长有形的长8米、宽4米，要在此长方形内画一个最大扇形，当π取3. 14时，扇形的面积是 ( )
A ．12. 56平方米；
B ．6.28平方米；
C ．25. 12平方米；
D ．50. 24平方米
【答案】A
6．下列语句中错误的是 ( )
A ．两条半径与它们所夹的弧围成的图形是扇形；
B ．扇形是轴对称图形 ；
C ．扇形的圆心角为n °，则扇形的弧长、面积是它所在圆的周长和面积的
180n 和360
n
； D ．同心圆中，大圆半径为R ，小圆半径为r ，则圆环面积为π (R 2
-r 2
). 【答案】C 解答题：
1．将一个半径为10厘米的圆分割成半径相同且圆心角为1:2:3:4的四个扇形．求最大的扇形与最小的扇形的面积之差为多少平方厘米． 【答案】94.2平方厘米
2.某校六年级学生共450人报名参加课外拓展兴趣活动，本学期共开设手工制作，网页制作，影视欣赏与空中口语四门课程，右图表示这四门课程报名人数的统计图，请据图回答；（扇形A.B.C.D 分别表示手工制作，网页制作，影视欣赏与空中口语的报名人数） （1）报名参加空中口语的人数占学生总数的几分之几？ （2）参加手工制作与影视欣赏的学生人数分别是多少？
（3）由于参加影视欣赏的人数过多，受到场地限制，必须分成45人去参加空中口语课程，请你画出此时学生报名情况的扇形统计图。

【分析】在扇形统计图中，圆代表整体，扇形代表整体中的不同部分，扇形的大小反映占整体的百分比，各个扇形与圆面积之比即为扇形圆心角与周角之比，故要求出表示参加空中口语学生人数的扇形的圆心角。

【解析】（1）扇形D 的圆心角为108°，故参加空中口语的人数占学生总数的：
1083
36010
= （2）扇形C 的圆心角：360°-60°-72°-108°=120°，所以，参加手工制作的人数：45060
360
⨯
=75（人） 参加影视欣赏的人数：450120
360
⨯
=150（人） （3）因为45450=110
，而360°1
10⨯=10°，故此时扇形C 的圆心角：120°
-36°=84°扇形D 的圆心角：108°+36°=144°.扇形统计图如图所示
3.把一个半径为3厘米的圆平均分成面积相等的八个扇形
.
（1）求每个扇形的圆心角的度数.
【答案】45°
（2）求每个扇形的面积.
【答案】 3.5325
≈
（3）多少个这样的扇形可以组成一个半圆？
【答案】4个
4.根据下列条件，分别求相应扇形的面积.
（1）扇形的半径为4厘米，圆心角为90°；
【答案】12.56平方厘米
（2）扇形的半径是6厘米，圆心角为150°；
【答案】47.1平方厘米
（3）扇形的半径是12厘米，圆心角为240°.
【答案】301.44平方厘米
5．如图，边长为30米的等边三角形ABC建筑物，在A处钉一个钉子，在
钉子A处拴一根40米长的细绳，在绳的另一端固定一个钉子，将绳子拉
紧在地面上画圆弧，求所画的弧的长及所画圆弧与三角形ABC所围成的图
形的面积．
【答案】所画的弧长为251.2米，所围成的面积为4396平方米.
6．如图26，三角形ABC．是边长为5厘米的等腰直角三角形，以C为
圆心，CA为半径画弧交BC于点E，以B为圆心，BA为半径画弧交BC
于点D，求阴影部分的面积．
【答案】5.375平方厘米
7．如图27，以6厘米为直径的半圆转了300，
求阴影部分的面积．
【答案】9.42平方厘米
8．如图22，边长为4厘米的正方形和一个直角扇形BCD，求阴影部分面积．
9.如图，四个圆的半径都是1，四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点，试用π表示阴影部分的周长和面积.
【课堂总结】
【课后作业】
一、综合提高训练
判断题：
- 10 -
1．扇形的圆心角不变，直径缩小到原来的1
3
，则它的弧长边缩小到原来的
1
3
． ( )
【答案】√
2．扇形是圆的一部分，圆的一部分是扇形． ( )
【答案】×
3．两个扇形的周长相等，则它们所在圆的面积也相等． ( )
【答案】×
4．扇形的面积总比圆的面积小． ( )
【答案】×
5．扇形的圆心角一定要小于1 80°且大于0°. ( )
【答案】×
填空题：
1．已知一个扇形的半径为3分米，圆心角为135度，那么这个扇形的面积为平方分米．
【答案】10.55975
2．一个扇形中的弧长为8厘米，半径为6厘米，那么这个扇形的面积为平方厘米．【答案】24
3．已知扇形的面积为a平方米，弧长为a米，那么这个扇形的半径是．
【答案】2
4．一个半径为16厘米的扇形与半径为8厘米的圆的面积相等，那么这个扇形的弧长为厘米．
【答案】25.12
5．圆心角为25度，半径为2厘米的扇形，如果圆心角扩大到原来的4倍，而要使扇形的面积不变，那么半径应为厘米．
【答案】1
6．一个扇形的面积等于22. 608平方厘米，弧长等于7.536厘米，那么这个扇形的圆心角等于度.
【答案】72
7．一个扇形的面积是它所在圆面积的9
20
．则这个扇形的圆心角是度．
【答案】162
8．已知小扇形的面积是大扇形面积的16
25
，且它们的圆心角相等，那么小扇形的半径是
大扇形半径的．（填几分之几）
【答案】4 5
9．如图，已知等边三角形ABC的边长为4厘米，分别以点A、B、C为圆心，2厘米长为半径作三个扇形，则S阴= 平方厘米．
- 11 -
- 12 -
【答案】6.28
10．一个扇形的圆心角是2250，则这个扇形的面积是它所在圆的面积的 ．（填几分之几） 【答案】58
11．如果扇形的圆心角缟小到原来的
13，半径扩大到原来的2倍，那么这个扇形的面积是原来扇形面积的 ．（填几分之几）
12．如果投掷铅球的安全区是弧长为10π米、圆心角为80度的扇形，那么安全区域的面积是 平方米：
【答案】353.25
13.填空：
（1）如果扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，那么弧长扩大为原来的 倍，扇形的面积扩大为原来的 倍.
【答案】2；2
（2）如果扇形圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，那么弧长扩大为原来的 倍，面积扩大为原来的 倍.
【答案】3；9
（3）如果扇形的圆心角为72°，那么它的面积与相同半径圆的面积的比是 .
【答案】1；5
14.（1）如果扇形的半径为R ，中心角是n ，那么这个扇形的面积S = . 【答案】2
360
n R π （2）如果扇形的半径为R ，弧长为l ，那么这个扇形的面积S = . 【答案】12
lR 15．一个扇形面积为62.8平方厘米，是它所在圆面积的
15，则这个圆的半径是 厘米.
【答案】10
16．扇形的圆心角为300，AB=12厘米，AC =
13AB ，则阴影部分的周长为 厘米，面积为 平方厘米．
- 13 -
【答案】24.37;33.49.
17．扇形的面积是37. 68cm 2，所在圆的半径为6cm ，则此扇形的弧长为 cm ，圆
心角为 度．
【答案】12.56:；120
18．如果扇形的圆心角缩小为原来的15
，半径扩大为原来的5倍，那么所得的扇形面积与原来扇形的面积之比为 ．
【答案】5:1
19．重机枪的有效射程为1500米，若它作600的水平扫射，则它的有效扫射面积为 平
方米．
【答案】1177500
20．扇形所在圆的直径是60厘米，若扇形的面积是360平方厘米，则此扇形的弧长为 厘米．
【答案】24
选择题：
1．知果半径为，，圆心角为n 度的扇形面积是S ，那么n 等于 ( ) A.360S r π； B.2360S r π； C.180S r π； D.2180S r
π. 【答案】B
2．扇形的半径不变，圆心角缩小到原来的13
，则它的面积 ( ) A.缩小到原来的13； B.缩小到原来的16
； C.缩小到原来的19
； D.无法确定缩小多少. 【答案】C
3．扇形的半径是100厘米，圆心角为18°，下列计算错误的是( )
A.l = 31.4厘米；
B.S=1 570平方厘米；
C.所在圆的面积31 400平方厘米；
D.扇形周长为131.4厘米.
【答案】D
4．下列语句中错误的是 ( )
A ．扇形是圆的一部分；
B ．车轮在地面上滚动一周的路程就是车轮的周长；
C ．一面圆镜，若配镜框必须求出圆镜的周长，若配镜面，必须求出圆镜的面积；
D ．圆周长的一半比半圆周长小
【答案】D
5．当扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩为原来的
12时，有 ( ) A ．扇形的弧长不变，面积也不变
- 14 - B ．扇形的弧长不变，面积为原来的12
C ．扇形的弧长为原来的2倍，面积不变
D ．扇形的弧长和面积都为原来的12
【答案】B
解答题：
1.如图，半径OA=12，∠AOB=60°，求这个图形的面积．
【答案】376.8
2.在一个等边三角形的房间里，三面墙各为10米，在两墙角的交合处拴了一条小狗，绳子长为6米，求小狗最大的活动范围．
【分析】小狗的活动范围构成了扇形，这个扇形的圆心角就是等边三角形的内角60°．
【解析】如图所示，由题意知r=6米，n=60°
S 扇形= 2360n r π=6066360
π⨯⨯=18. 84（平方米）． 答:小狗最大的活动范围是18. 84平方米．
【点拨】此意容易错解为求弧长．其实小狗的活动范围指的是小狗可以到达的地方，不只在弧上，也可以在扇形的内部
3.如图所示，一只羊被拴在边长均为3米的三角形建筑物墙角A 处，周围都是草地，绳长4米
(1)求羊所能吃到草的地方的总面积；
(2)如果有一堆鲜草距A 处有4.1米，请问这只羊能够吃到这堆鲜草吗？
4.求图中阴影部分的面积．（单位：分米）
- 15 -
【分析】阴影部分是一个不规则的圉形，求其面积没有现成的公式可用．但其 中有一个半圆的面积是可求的，另一部分可以用直角三角形的面积残去扇形面积．
【解析】S 阴 = S 半圆+（S 三角形 –S 扇） =221
145244422360
ππ⨯+⨯⨯-⨯ =8(平方分米)．
答：阴影部分面积为8平方分米．
5.在一次数学测验后，老师请数学课代表张伟帮助老师把这次48位学生的考试成绩统计一下．张伟根据所学的知识，画了一个扇形统计图给老师，并指出90~100的圆心角为90度，
80~89的圆心角为120度，70—79的圆心角为75度，60～69的圆心角为45度，你能知道不及格的人数吗？
【答案】4人
6.已知一个圆的直径为6厘米，与它面积相等的扇形的半径也为6厘米，求这个扇形的弧长．
【答案】9.42厘米
7.根据下列条件求扇形的面积：
（1）扇形的弧长为12.56厘米，半径为3厘米.
【答案】18.84平方厘米
（2）扇形的弧长为12.56厘米，圆心角为120°.
【答案】37.68平方厘米
8．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =5厘米，BC =3厘米，以3厘米为半径作两个扇形．求阴影部分面积．
- 16 - 【答案】9平方厘米
9．如图，直角三角形ABC 的面积是6平方厘米，CD=2.4厘米．求阴影部分面积．
【答案】7.775平方厘米
10．如图，半圆的直径为1 0厘米，求：(1)阴影部分的周长；(2)阴影部分的面积．
【答案】28.5平方厘米 二、综合提高训练
如图，折线AOBC 是一段围墙，一根5米长的绳子的一端拴在O 点处的柱子上，另一端拴着一只小羊。

请在图1中画出小羊的最大活动区域。

变式：如果OA ＝6米，OB ＝3米，BC ＝5米，∠AOB ＝90°，∠OBC ＝120°，则小羊活动的最大区域的面积为_________。

【解析】根据最大区域的形成过程知该区域的面积分成了扇形DOF 和扇形FBG 两部分。

因此，小羊的最大活动区域的面积应为：
）米（222 12
83360260360590πππ=⋅⋅+⋅⋅ 此时，点击按钮6显示答案。

【说明】该问题中小羊活动的路径为两段圆弧，而最大活动区域实际上分别是线段OD、BF绕着点O、B旋转时扫过的图形面积之和。

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