宁夏银川市唐徕回民中学高二数学下学期期中试卷 理(含

2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z等于（）
A．﹣2i B． 2i C．﹣2 D． 2
2．（理）积分（x2+sinx）dx=（）
A． B． C． 1 D．
3．设（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）
A． e2 B． ln2 C． D． e
4．设P（1，f（1））是曲线C：f（x）=x2+2x+3上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（） A． 4x﹣y+10=0 B． 4x﹣y+2=0 C． x﹣4y+10=0 D． x﹣4y+2=0
5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）
A． B． C．
D．
6．设函数f（x）=xe x，则（）
A． x=1为f（x）的极大值点 B． x=1为f（x）的极小值点
C． x=﹣1为f（x）的极大值点 D． x=﹣1为f（x）的极小值点
7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名学生参加，则不同的选法种数为（）
A． 39种 B． 24种 C． 15种 D． 16种
8．（2x﹣）4的展开式中的常数项为（）
A． 6 B．﹣6 C． 24 D．﹣24
9．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）
A． 28 B． 76 C． 123 D． 199
10．已知，P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（A|B）=0.2，则P（A+B）=（）
（其中P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB））
A． 0.90 B． 0.78 C． 0.60 D． 0.40
11．用数学归纳法证明：1﹣+﹣+…+﹣=++…+（n∈N*）时，在
第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）
A． 1项 B． 2项 C． 3项 D． 4项
12．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）
A． C32（）2×（） B． C32（）2×（） C．（）2×（） D．（）2×（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．由曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为．
14．设z=（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于第象限．
15．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a= ，b= ．
16．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则有：
①P（B）=
②事件B与事件A1相互独立
③A1、A2互斥
④P（B）的值不能确定，因为它与A1、A2中究竟哪一个发生有关
正确的序号为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015春•银川校级期中）（本题用数字作答）
（1）5人排成一排照相，
①甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？
②甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？
（2）4女2男选出2人，
①女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，共有多少种不同的方法？
②至少有一女共有多少种选法？
③男女都有共有多少种不同选法？
18．（12分）（2015春•银川校级期中）关于△ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S1，S2，S3，△ABC的面积为S，则有：S=S1+S2+S3⇒h=h1+h2+h3（其中h为△ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明．
19．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6，
（1）求f（x）的极值；
（2）当x∈[，]时，求函数的最大值．
20．（12分）（2015春•银川校级期中）现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变量X的分布列．
21．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，求a的取值范围．
22．（12分）（2015春•银川校级期中）设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，求证：cos4β﹣4cos4α=3．
2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z等于（）
A．﹣2i B． 2i C．﹣2 D． 2
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：∵iz=2，
∴﹣i•iz=﹣2i，
∴z=﹣2i．
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
2．（理）积分（x2+sinx）dx=（）
A． B． C． 1 D．
考点：定积分．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：根据积分计算公式，求出被积函数x2+sinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案．
解答：解：根据题意，可得
（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）
=（•13﹣cos1）﹣[•（﹣1）3﹣cos（﹣1）]
=﹣cos1++cos1=．
故选：B
点评：本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．
3．设（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）
A． e2 B． ln2 C． D． e
考点：导数的运算；函数的零点．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：由题意求导f′（x）=lnx+1，从而得lnx0+1=2；从而解得．
解答：解：∵f′（x）=lnx+1；
故f′（x0）=2可化为lnx0+1=2；
故x0=e；
故选D．
点评：本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．
4．设P（1，f（1））是曲线C：f（x）=x2+2x+3上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（） A． 4x﹣y+10=0 B． 4x﹣y+2=0 C． x﹣4y+10=0 D． x﹣4y+2=0
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：由题意可得曲线C过点P的切线以点P为切点，从而利用导数求切线的斜率，从而解得．
解答：解：∵f（x）=x2+2x+3是二次函数，且P（1，f（1））是其图象上的一点，
∴曲线C过点P的切线以点P为切点；
又∵f′（x）=2x+2，
∴切线的斜率k=f′（1）=2+2=4，
又∵f（1）=1+2+3=6；
故切线方程为y﹣6=4（x﹣1），
即4x﹣y+2=0；
故选：B．
点评：本题考查了导数的几何意义的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．
5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）
A． B． C．
D．
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：压轴题；数形结合．
分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，
故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；
故选C．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
6．设函数f（x）=xe x，则（）
A． x=1为f（x）的极大值点 B． x=1为f（x）的极小值点
C． x=﹣1为f（x）的极大值点 D． x=﹣1为f（x）的极小值点
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：导数的概念及应用．
分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点
解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，
令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1
令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点
故选：D
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，
7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名学生参加，则不同的选法种数为（）
A． 39种 B． 24种 C． 15种 D． 16种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：排列组合．
分析：先从3名老师选1名共有3种方法，再从13名学生中选一名共有13种选法，根据分步计数原理即可解决．
解答：解：先从3名老师选1名共有3种方法，再从13名学生中选一名共有13种选法，根据分步计数原理，不同的选法有3×13=39种，
故选：A．
点评：本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．
8．（2x﹣）4的展开式中的常数项为（）
A． 6 B．﹣6 C． 24 D．﹣24
考点：二项式定理的应用．
专题：二项式定理．
分析：由题意可得，二项展开式的通项为T r+1=（2x）4﹣r（﹣）r，令x的幂指数为0，求出r代入即可．
解答：解：由题意可得，二项展开式的通项为T r+1=（2x）4﹣r（﹣）r=（﹣1）r•24﹣r x4﹣2r
令4﹣2r=0可得r=2
∴T3=4×=24
展开式中的常数项为24．
故选：C．
点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练应用通项，属于基础试题．
9．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）
A． 28 B． 76 C． 123 D． 199
考点：归纳推理．
专题：阅读型．
分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
解答：解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．
点评：本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．
10．已知，P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（A|B）=0.2，则P（A+B）=（）
（其中P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB））
A． 0.90 B． 0.78 C． 0.60 D． 0.40
考点：条件概率与独立事件．
专题：计算题；概率与统计．
分析：利用条件概率公式，求出P（AB），P（B），利用P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），即可得出结论．
解答：解：∵P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，
∴P（AB）=P（B|A）P（A）=0.12，
∵P（A|B）=0.2，
∴P（B）=0.6，
∴P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）=0.3+0.6﹣0.12=0.78，
故选：B．
点评：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用条件概率公式是关键．
11．用数学归纳法证明：1﹣+﹣+…+﹣=++…+（n∈N*）时，在
第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）
A． 1项 B． 2项 C． 3项 D． 4项
考点：数学归纳法．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：当n=k成立，1﹣+﹣+…+﹣，当n=k+1时，写出对应的关系式，观察计算即可．
解答：解：在用数学归纳法证明：左侧：1﹣，在第二步证明时，
假设n=k时成立，左侧：1﹣+﹣+…+﹣，则n=k+1成立时，左侧：1﹣+﹣+…+﹣+，
∴左边增加的项数是2．
故选：B．
点评：本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．
12．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，
则P（ε=3）等于（）
A． C32（）2×（） B． C32（）2×（） C．（）2×（） D．（）2×（）
考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
专题：计算题．
分析：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．
解答：解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；
若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，
则P（ε=3）=（）2×（）；
故选C．
点评：本题考查相互独立事件的概率计算，解题的关键在于正确理解P（ε=3）的意义．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．由曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为 2 ．
考点：定积分的简单应用．
专题：导数的综合应用．
分析：首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算．
解答：解：曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为：
=2；
故答案为：2．
点评：本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是利用定积分正确表示面积；注意积分的上限和下限．
14．设z=（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于第四象限．
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：根据复数的概念以及复数的几何意义进行判断．
解答：解：z===1+i，
则z的共轭复数=1﹣i，
对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限，
故答案为：四．
点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，比较基础．
15．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是等差数列，则a= 2 ，b= 0 ．
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：由条件得到a n=，根据等差数列的定义，即可得到a2﹣a=a，3a+b﹣a2=a，求出a，b即可．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴a n=，
∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，
∵{a n}是等差数列，
∴a2﹣a=a，即有a=0（舍去）或2，
∴3a+b﹣a2=a，即b=0，
故答案为：2，0．
点评：本题考查函数与数列的关系，考查等差数列的定义，考查基本的运算能力，是一道基础题．
16．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则有：
①P（B）=
②事件B与事件A1相互独立
③A1、A2互斥
④P（B）的值不能确定，因为它与A1、A2中究竟哪一个发生有关
正确的序号为①③．
考点：相互独立事件；命题的真假判断与应用．
专题：概率与统计．
分析：根据已知求出P（B），可判断①④；分析事件B与事件A1是否相互独立，可判断②；根据互斥事件的概念，可判断③．
解答：解：∵罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，
先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，
再从乙罐中随机取出1球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，
则P（B）=P（A1|B）+P（A2|B）=×+×=，故①正确，④错误；
事件B与事件A1不相互独立，故②错误；
A1、A2不可能同时发生，故彼此互斥，故③正确；
故正确命题的序号为：①③，
故答案为：①③
点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了条件概率，相互独立事件，互斥事件，难度中档．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2015春•银川校级期中）（本题用数字作答）
（1）5人排成一排照相，
①甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？
②甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？
（2）4女2男选出2人，
①女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，共有多少种不同的方法？
②至少有一女共有多少种选法？
③男女都有共有多少种不同选法？
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：应用题；排列组合．
分析：利用排列、组合知识，分别求解即可得出结论．
解答：解：（1）①甲、乙、丙排在一起，利用捆绑法，共有A33A33=36种排法；
②甲、乙之间恰有2人，共有A22A32A22=24种排法；
（2）4女2男选出2人，
①女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，先选后排，共有C42C22A44=144种不同的方法；
②至少有一女共有C41C21+C42C20=14种选法；
③男女都有共有C41C21=8种不同选法．
点评：本题考查排列、组合知识，考查学生的计算能力，比较基础．
18．（12分）（2015春•银川校级期中）关于△ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S1，S2，S3，△ABC的面积为S，则有：S=S1+S2+S3⇒h=h1+h2+h3（其中h为△ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质
解答：解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，可得：
P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值，
如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P﹣ABC，P﹣ABD，P﹣ACD，P﹣BCD的体积分别为：V1，V2，V3，V4，
由棱长为a可以得到BF=a，BE=BF=a，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到
AE2=AB2﹣BE2，即AE=a，即h=a，（其中h为正四面体A﹣BCD的高），
故正四面体的体积V=××a=，
正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为，
则V=V1+V2+V3+V4=（h1+h2+h3+h4），
解得：h1+h2+h3+h4=a，
∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值a．
点评：本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
19．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6，
（1）求f（x）的极值；
（2）当x∈[，]时，求函数的最大值．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）先求导，再令导数等于0，判断函数的单调区间，得到函数的极值；
（2）由（1）可知，函数f（x）在（﹣，0）单调递增，在（0，）上单调递减，即可求
出函数的最大值．
解答：解：（1）f（x）=x4﹣3x2+6，
∴f′（x）=4x3﹣6x，
令f′（x）=0，解得x=0，或x=，或x=﹣，
当f′（x）＞0，解得﹣＜x＜0，或x＞，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0，解得x＜﹣，或0＜x＜，函数f（x）单调递减，
∴当x=±时，函数有极小值，极小值为f（±）=，
当x=0时，函数有极大值；极大值为f（0）=6．
（2）由（1）可知，函数f（x）在（﹣，0）单调递增，在（0，）上单调递减，
∴当x=0时，函数有极大值，也是最大值，
∴f（x）max=f（0）=6．
点评：本题考查了导数和函数恩对极值最值的关系，关键是判断函数的单调性，属于基础题．
20．（12分）（2015春•银川校级期中）现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变量X的分布列．
考点：离散型随机变量及其分布列．
专题：应用题；概率与统计．
分析：根据题意，求出某位教师参加甲游戏的概率P，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出分布列即可．
解答：解：由题意知，某位教师去参加甲游戏的概率为P==，
且X的可能取值分别为0，1，2，3；
所以，P（X=0）=••=，
P（X=1）=••=，
P（X=2）=•=
P（X=3）=••=；
所以X的分布列如下；
X 0 1 2 3
P
点评：本题考查了离散型随机变量的分布列的应用问题，是基础题目．
21．（12分）（2015春•银川校级期中）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：导数的综合应用．
分析：先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．
解答：解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，
∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，
并且这个极小值也是函数的最小值，
由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，
故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．
点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解．
22．（12分）（2015春•银川校级期中）设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，求证：cos4β﹣4cos4α=3．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：证明题；等差数列与等比数列．
分析：所证明的式子中不含角θ，因此先由已知，考虑将θ作为桥梁，沟通α，β，得出4sin2α﹣2sin2β=1．再由降幂公式证明等式左边等于右边即可．
解答：证明：∵由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，
sinθ•cosθ=sin2β ②，…（2分）
∴①2﹣2×②消去θ得4sin2α﹣2sin2β=1③．…（5分）
∴可得：4×﹣2×（）=1，解得：2cos2α=cos2β，即
4cos22α=cos22β，
∴等式左边=2cos22β﹣1﹣4（2cos22α﹣1）=8cos22α﹣1﹣8cos22α+4=3=右边，故得证．点评：本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，考查了减元，转化思想，属于中档题．。