高三数学第九次月考试卷理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹八中高三〔下〕第九次月考数学试卷
〔理科〕
一、选择题〔一共10小题，总分值是50分〕
1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，3，4，6}，N={1，4，5}，那么{1，5}等于〔〕
A．M∪NB．M∩NC．〔∁U M〕∩ND．M∩∁U N
2．设i是虚数单位，复数Z=1+为〔〕
A．1+iB．1﹣iC．C、﹣1+iD．﹣1﹣i
3．以下四个结论：
①假设x＞0，那么x＞sinx恒成立；
0”0”；
∧q为真〞的充分不必要条件；
∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否认是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．
其中正确结论的个数是〔〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设a2=﹣11，a5+a9=﹣2，那么当S n取最小值时，n等于〔〕
A．9B．8 C．7D．6
5．抛物线y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．
6．函数，那么y=f〔x〕的图象大致为〔〕
A．B．C．D．
7．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下列图，那么棱SB的长为〔〕
A．2B．4 C．D．16
8．在区间[0，π]上随机取一个数x，那么事件“〞发生的概率为〔〕A．B．C．D．
9．点A〔3，〕，O是坐标原点，点P〔x，y〕的坐标满足，设z为在上的投影，那么z的取值范围是〔〕
A．[﹣3，3]B．[﹣，]C．[﹣，3]D．[﹣3，]
10．定义在R上的可导函数f〔x〕的导函数为f′〔x〕，满足f′〔x〕＜f〔x〕，且f〔x+2〕为偶函数，f〔4〕=1，那么不等式f〔x〕＜e x的解集为〔〕
A．〔﹣2，+∞〕B．〔0，+∞〕C．〔1，+∞〕D．〔4，+∞〕
二、填空题〔一共5小题，总分值是20分〕
11．在的展开式中，常数项等于〔用数字答题〕
12．执行如下列图的程序框图，那么输出的结果为．
13．有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，假设将书随机第并排摆成一排，那么同一科目的书不相邻的摆法有种．〔用数字答题〕
14．在Rt△ABC中，C=，B=，CA=1，那么|2﹣|=．
15．有限集A={a1，a2，a3…，a n}〔n≥2〕．假设A中元素a i〔i=1，2，3，…，n〕满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集〞，给出以下结论：
①集合{，}是“复活集〞；
②假设a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集〞，那么a1a2＞4；
③假设a1，a2∈N*那么{a1，a2}不可能是“复活集〞；
④假设a i∈N*，那么“复合集〞A有且只有一个，且n=3．
其中正确的结论是．〔填上你认为所有正确的结论序号〕
三、解答题〔一共5小题，总分值是66分〕
16．〔13分〕〔2021春•校级月考〕函数f〔x〕=2sin2x+bsinxcosx满足f〔〕=2．
〔1〕务实数b的值以及函数f〔x〕的最小正周期；
〔2〕记g〔x〕=f〔x+t〕，假设函数g〔x〕是偶函数，务实数t的值．
17．〔13分〕〔2021•模拟〕在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组〔每人参加且只参加一个兴趣小组〕情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：〔单位：人〕
篮球排球总计
男同学16622
女同学81220
总计241842
〔Ⅰ〕据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组〞或者“排球小组〞与性别有关？
〔Ⅱ〕在统计结果中，假设不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进展座谈．甲、乙、丙三人都参加“排球小组〞．
①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；
②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E〔X〕．
下面临界值表供参考：
P〔K2≥k0
k0
参考公式：K2=．
18．〔13分〕〔2021•模拟〕如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t〔0＜t＜2〕，连接A1B，A1C，A1D1
〔1〕当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；
〔2〕线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，假设有，求出P点的位置，没有请说明理
由．
19．〔13分〕〔2021•一模〕圆E：x2+〔y﹣〕2=经过椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点一共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ〔λ≠0〕
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕当三角形AMN的面积获得最大值时，求直线l的方程．
20．〔14分〕〔2021•一模〕设函数f〔x〕=ln|x|﹣x2+ax．
〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的导函数f′〔x〕；
〔Ⅱ〕假设x1、x2为函数f〔x〕的两个极值点，且，试求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅲ〕设函数f〔x〕在点C〔x0，f〔x0〕〕〔x0为非零常数〕处的切线为l，假设函数f〔x〕图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．
四、【选修4-2：矩阵与变换】
21．a，b∈R，假设矩阵A=所对应的变换T A把直线l：2x﹣y=3变换为它自身．
〔Ⅰ〕求矩阵A；
〔Ⅱ〕求矩阵A的逆矩阵．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
a，曲线C2的参数方程为〔φ为参数，0≤φ≤π〕，〔Ⅰ〕求C1的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕当C1与C2有两个不同公一共点时，务实数a的取值范围．
六、【选修4-5：不等式选讲】
23．〔2021春•校级月考〕函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x﹣5|﹣a〕．
〔Ⅰ〕当a=5时，求函数f〔x〕的定义域；
〔Ⅱ〕当函数f〔x〕的定义域为R时，务实数a的取值范围．
二零二零—二零二壹八中高三〔下〕第九次月考数学试卷〔理科〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔一共10小题，总分值是50分〕
1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，3，4，6}，N={1，4，5}，那么{1，5}等于〔〕
A．M∪NB．M∩NC．〔∁U M〕∩ND．M∩∁U N
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据1、5∉M，而且A显然不符合条件，从而得出结论．
解答：解：∵1、5∉M，故排除B、D，A显然不符合条件，
应选：C．
点评：此题主要考察元素与集合的关系断定，两个集合的交集、补集运算，属于根底题．2．设i是虚数单位，复数Z=1+为〔〕
A．1+iB．1﹣iC．C、﹣1+iD．﹣1﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩大和复数．
分析：利用复数的运算法那么、一共轭复数的定义即可得出．
解答：解：Z=1+=1+=1﹣i，
应选：B．
点评：此题考察了复数的运算法那么、一共轭复数的定义，属于根底题．
3．以下四个结论：
①假设x＞0，那么x＞sinx恒成立；
0”0”；
∧q为真〞的充分不必要条件；
∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否认是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．
其中正确结论的个数是〔〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：
专题：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：∧
解答：解：对于①，令y=x﹣sinx，那么y′=1﹣cosx≥0，那么有函数y=x﹣sinx在R上递增，那么当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，那么x＞sinx恒成立．那么①对；
0”0”，那么②对；
∧q为真，反之成立，
那么应为必要不充分条件，那么③错；
∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否认是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．那么④对．
综上可得，其中正确的表达一共有3个．
应选C．
点评：
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，假设a2=﹣11，a5+a9=﹣2，那么当S n取最小值时，n等于〔〕A．9B．8 C．7D．6
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，由通项小于等于0求得n的值得答案．
解答：解：设等差数列的首项为a1，公差为d，
由a2=﹣11，a5+a9=﹣2，得
，解得：．
∴a n=﹣15+2n．
由a n=﹣15+2n≤0，解得：．
∴当S n取最小值时，n等于7．
应选：C．
点评：此题考察了等差数列的通项公式，考察了等差数列的前n项和，是根底题．
5．抛物线y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出抛物线y2=8x的焦点坐标F，从而得到双曲线﹣y2=1的一个焦点F，由此能求出a2，进而能求出此双曲线的离心率．
解答：解：抛物线y2=8x的焦点坐标为F〔2，0〕，
∵双曲线﹣y2=1〕的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，
∴双曲线﹣y2=1的一个焦点为F〔2，0〕，
∴a2+1=4，解得a2=3，
∴此双曲线的离心率e=．
应选：C．
点评：此题考察双曲线的离心率的求法，涉及到抛物线、双曲线的简单性质，是中档题．
6．函数，那么y=f〔x〕的图象大致为〔〕
A．B．C．D．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．
解答：解：令g〔x〕=x﹣lnx﹣1，那么，
由g'〔x〕＞0，得x＞1，即函数g〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，
由g'〔x〕＜0得0＜x＜1，即函数g〔x〕在〔0，1〕上单调递减，
所以当x=1时，函数g〔x〕有最小值，g〔x〕min=g〔0〕=0，
于是对任意的x∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕，有g〔x〕≥0，故排除B、D，
因函数g〔x〕在〔0，1〕上单调递减，那么函数f〔x〕在〔0，1〕上递增，故排除C，
应选A．
点评：此题考察函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考察分析问题解决问题的才能．
7．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下列图，那么棱SB的长为〔〕
A．2B．4 C．D．16
考点：简单空间图形的三视图．
专题：空间位置关系与间隔．
分析：由中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．
解答：解：由中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△AB C中AC=4，AC边上的高为2，
故BC=4，
在Rt△SBC中，由SC=4，
可得SB=4，
应选B
点评：此题考察的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
8．在区间[0，π]上随机取一个数x，那么事件“〞发生的概率为〔〕A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：先化简不等式，确定满足sin〔x+〕≥且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．
解答：解：∵，即sin〔x+〕≥，
∴sin〔x+〕≥，
∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，
∴在区间[，]内，满足sin〔x+〕≥的x+∈[，]，
∴在区间[0，π]内，满足sin〔x+〕≥的x∈[，]，
∴事件发生的概率为P==．
应选B．
点评：此题考察几何概型，考察三角函数的化简，考察学生的计算才能，属于中档题．
9．点A〔3，〕，O是坐标原点，点P〔x，y〕的坐标满足，设z为在上的投影，那么z的取值范围是〔〕
A．[﹣3，3]B．[﹣，]C．[﹣，3]D．[﹣3，]
考点：简单线性规划的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义转化为向量夹角问题即可得到结论．
解答：解：∵z为在上的投影，
∴z===|OA|cosθ=2cosθ，〔θ为向量为与的夹角〕，
由图象可知当P在直线OB上时，此时θ最小，
当P在直线OC上时，此时θ最大，
∵A〔3，〕，∴OA的倾斜角为30°，OB的倾斜角为60°，
那么θ最小值为60°﹣30°=30°，θ最大值为180°﹣30°=150°，
即30°≤θ≤150°，那么≤cosθ≤，
那么﹣3≤2cosθ≤3，
故z∈[﹣3，3]，
应选：A
点评：此题主要考察线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决此题的关键．
10．定义在R上的可导函数f〔x〕的导函数为f′〔x〕，满足f′〔x〕＜f〔x〕，且f〔x+2〕为偶函数，f〔4〕=1，那么不等式f〔x〕＜e x的解集为〔〕
A．〔﹣2，+∞〕B．〔0，+∞〕C．〔1，+∞〕D．〔4，+∞〕
考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：构造函数g〔x〕=〔x∈R〕，研究g〔x〕的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
解答：解：∵y=f〔x+2〕为偶函数，∴y=f〔x+2〕的图象关于x=0对称
∴y=f〔x〕的图象关于x=2对称
∴f〔4〕=f〔0〕
又∵f〔4〕=1，∴f〔0〕=1
设g〔x〕=〔x∈R〕，那么g′〔x〕==
又∵f′〔x〕＜f〔x〕，∴f′〔x〕﹣f〔x〕＜0
∴g′〔x〕＜0，∴y=g〔x〕在定义域上单调递减
∵f〔x〕＜e x
∴g〔x〕＜1
又∵g〔0〕==1
∴g〔x〕＜g〔0〕
∴x＞0
应选B．
点评：此题考察函数单调性与奇偶性的结合，结合条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
二、填空题〔一共5小题，总分值是20分〕
11．在的展开式中，常数项等于112〔用数字答题〕
考点：二项式定理．
专题：计算题．
分析：根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1，进而分析可得，8﹣=0时，有r=6，将r=6代入可得答案．
解答：解：根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1=C8r•〔2x〕8﹣r•〔﹣〕r=C8r•〔﹣1〕r•〔2〕8﹣
r•，
分析可得，8﹣=0时，有r=6，
此时，T7=112，
故答案为112．
点评：此题考察二项式定理，注意其展开式的通项公式的形式．
12．执行如下列图的程序框图，那么输出的结果为．
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=++…+的值，然后利用裂项求和即可求解．
解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=++…+的值
而S=++…+=〔1﹣+﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕=．
故答案为：
点评：此题考察了程序框图中的循环构造的应用，解题的关键是由框图的构造判断出框图的计算功能．13．有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，假设将书随机第并排摆成一排，那么同一科目的书不相邻的摆法有12种．〔用数字答题〕
考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析：不相邻问题采用插空法，先排语文和物理，形成了三个空，插入数学，问题得以解决．
解答：解：先排语文书和物理书，形成了三个空，插入数学书，故有=12种，
故答案为：12
点评：此题考察了排列组合种不相邻问题，属于根底题．
14．在Rt△ABC中，C=，B=，CA=1，那么|2﹣|=2．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由可得=1，=2，＜，＞=，进而利用平方法，可得|2﹣|2=4，开方可得答案．
解答：解：∵在Rt△ABC中，C=，B=，CA=1，
∴=1，=2，＜，＞=，
∴2=1，2=4，•=1，
∴|2﹣|2=〔2﹣〕2=42+2﹣4•=4，
∴|2﹣|=2，
故答案为：2
点评：此题考察的知识点是平面向量数量积的运算，当中没有坐标时，经常采用平方法进展计算．
15．有限集A={a1，a2，a3…，a n}〔n≥2〕．假设A中元素a i〔i=1，2，3，…，n〕满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集〞，给出以下结论：
①集合{，}是“复活集〞；
②假设a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集〞，那么a1a2＞4；
③假设a1，a2∈N*那么{a1，a2}不可能是“复活集〞；
④假设a i∈N*，那么“复合集〞A有且只有一个，且n=3．
其中正确的结论是①③④．〔填上你认为所有正确的结论序号〕
考点：元素与集合关系的判断．
专题：集合．
分析：根据中“复活集〞的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．
解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；
②不妨设a1+a2=a1a2=t，
那么由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，
由△＞0，可得t＜0，或者t＞4，故②错；
③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，
由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，
即有a1＜2，
∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集〞A，故③正确．
当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集〞A只有一个，为{1，2，3}．
当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×〔n﹣1〕，即有n＞〔n﹣1〕!，
也就是说“复活集〞A存在的必要条件是n＞〔n﹣1〕!，事实上，〔n﹣1〕!≥〔n﹣1〕〔n﹣2〕=n2﹣3n+2=〔n﹣2〕2﹣2+n＞2，矛盾，
∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．
故答案为：①③④
点评：此题考察的知识点是元素与集合的关系，正确理解中的新定义“复活集〞的含义是解答的关键，难度较大．
三、解答题〔一共5小题，总分值是66分〕
16．〔13分〕〔2021春•校级月考〕函数f〔x〕=2sin2x+bsinxcosx满足f〔〕=2．
〔1〕务实数b的值以及函数f〔x〕的最小正周期；
〔2〕记g〔x〕=f〔x+t〕，假设函数g〔x〕是偶函数，务实数t的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：〔1〕化简可得f〔x〕=1﹣cos2x+sin2x，由f〔〕=2．有1﹣cos2×+sin2×=1﹣
+=2，从而解得b=2，有f〔x〕=1﹣cos2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=1﹣2sin〔2x﹣〕，从而可求T==π．
〔2〕由g〔x〕=f〔x+t〕=1﹣2sin[2〔x+t〕﹣]=1﹣2sin〔2x+2t﹣〕，函数g〔x〕是偶函数，从而有2t﹣=k，k∈Z，从而解得t=，k∈Z
解答：解：〔1〕f〔x〕=2sin2x+bsinxcosx=1﹣cos2x+sin2x
∵f〔〕=2．
∴1﹣cos2×+sin2×=1﹣+=2，从而解得b=2
∴f〔x〕=1﹣cos2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=1+2sin〔2x﹣〕
∴T==π
即函数f〔x〕的最小正周期是π．
〔2〕g〔x〕=f〔x+t〕=1+2sin[2〔x+t〕﹣]=1+2sin〔2x+2t﹣〕
∵函数g〔x〕是偶函数，
∴2t﹣=k，k∈Z，从而解得t=，k∈Z
点评：此题主要考察了正弦函数的图象，三角函数中的恒等变换应用，属于根本知识的考察．
17．〔13分〕〔2021•模拟〕在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组〔每人参加且只参加一个兴趣小组〕情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：〔单位：人〕
篮球排球总计
男同学16622
女同学81220
总计241842
〔Ⅰ〕据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组〞或者“排球小组〞与性别有关？
〔Ⅱ〕在统计结果中，假设不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进展座谈．甲、乙、丙三人都参加“排球小组〞．
①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；
②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E〔X〕．
下面临界值表供参考：
P〔K2≥k0
k0
参考公式：K2=．
考点：HY性检验的应用．
专题：综合题；概率与统计．
分析：〔Ⅰ〕由表中数据得K2的观测值，与临界值比较，即可得出结论；
〔Ⅱ〕①方法一：令事件B为“甲被抽到〞；事件A为“乙丙被抽到〞，那么P〔B|A〕=；方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到〞，那么P〔C〕=；
②由题知X的可能值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望E〔X〕．
解答：解：〔Ⅰ〕由表中数据得K2的观测值
k==≈82＞41．…2分
所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组〞或者“排球小组〞与性别有关．…4分
〔Ⅱ〕①由题可知在“排球小组〞的18位同学中，要选取3位同学．
方法一：令事件B为“甲被抽到〞；事件A为“乙丙被抽到〞，那么
P〔A∩B〕=，P〔A〕=．
所以P〔B|A〕====．…7分
方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到〞，
那么P〔C〕===．
②由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P〔X=0〕==；P〔X=1〕==；P〔X=2〕==．
从而X的分布列为
X012
P
…10分
于是E〔X〕=0×+1×+2×==．…12分．
点评：考察分类变量的HY性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题．
18．〔13分〕〔2021•模拟〕如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t〔0＜t＜2〕，连接A1B，A1C，A1D1
〔1〕当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B﹣A1C﹣D的值；
〔2〕线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，假设有，求出P点的位置，没有请说明理
由．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与间隔；空间角．
分析：〔1〕首先根据最大值确定正方体，进一步根据法向量，及向量的数量积求出二面角．
〔2〕与〔1〕一样建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，向量一共享的充要条件，进一步利用线面垂直的性质，求出分点坐标，进一步求出点P的位置．
解答：解：将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD﹣A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB=t〔0＜t ＜2〕，
那么求得：AD=2﹣t
那么：V=t〔2﹣t〕=﹣〔t﹣1〕2+1
当t=1时，V max=1
即：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，长方体恰好是正方体．
所以：建立空间直角坐标系A﹣xyz．正方体的棱长为1．
由于AB1⊥A1B，BC⊥AB1
所以：AB1⊥平面BA1C
所以：可以看做是平面BA1C的法向量．
所以：
同理：利用线面垂直得到
所以：
进一步求得：=，
所以根据图形知：二面角B﹣A1C﹣D的值是．
〔2〕建立空间直角坐标系A﹣xyz，那么：C〔t，2﹣t，0〕，A1〔0，0，1〕，B〔t，0，0〕，
D〔0，2﹣t，0〕
所以：，
假设在线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，那么设〔λ＞0〕
根据分点坐标公式：P〔
求得：，
由于
所以：﹣t2+λ〔2﹣t〕2﹣1=0①
同理利用：
解得：﹣t2+〔2﹣t〕2=0②
所以：
解得：〔负值舍去〕
所以点P在的位置．
点评：此题考察的知识要点：空间直角坐标系，法向量，向量的数量积，分点坐标公式，向量的一共线问题，属于中等题型．
19．〔13分〕〔2021•一模〕圆E：x2+〔y﹣〕2=经过椭圆C：+=1〔a＞b＞0〕的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点一共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ〔λ≠0〕
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕当三角形AMN的面积获得最大值时，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的HY方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：〔1〕由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；
〔2〕由〔1〕求出A的坐标，根据向量一共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的间隔公式求出点A到直线l 的间隔，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用根本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．
解答：解：〔1〕如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，
∴c2+〔0﹣〕2=，解得c=，…〔2分〕
∵F1，E，A三点一共线，∴F1A为圆E的直径，那么|AF1|=3，
∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，
∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2
由a2=b2+c2得，b=，…〔4分〕
∴椭圆C的方程是；…〔5分〕
〔2〕由〔1〕得点A的坐标〔，1〕，
∵〔λ≠0〕，∴直线l的斜率为k OA=，…〔6分〕
那么设直线l的方程为y=x+m，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，
由得，，
∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，
且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，…〔8分〕
∴|MN|=|x2﹣x1|=
==，
∵点A到直线l的间隔d==，
∴△AMN的面积S==
=≤=，…〔10分〕
当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．…〔12分〕
点评：此题考察椭圆的HY方程，韦达定理和弦长公式，向量一共线条件，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考察的知识多，综合性强，考察化简计算才能，属于中档题．
20．〔14分〕〔2021•一模〕设函数f〔x〕=ln|x|﹣x2+ax．
〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的导函数f′〔x〕；
〔Ⅱ〕假设x1、x2为函数f〔x〕的两个极值点，且，试求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅲ〕设函数f〔x〕在点C〔x0，f〔x0〕〕〔x0为非零常数〕处的切线为l，假设函数f〔x〕图象上的点都不在直线l的上方，试探求x0的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：〔Ⅰ〕确定函数的定义域，分类讨论，将函数化简，再求导函数即可；
〔Ⅱ〕根据x1、x2为函数f〔x〕的两个极值点，利用韦达定理，可求a的值，即得到函数解析式，求导函数，利用f'〔x〕≥0，可得函数f〔x〕的单调递增区间；
〔Ⅲ〕确定切线l的方程，再构造新函数g〔x〕，求导数，确定函数的单调性与极值，从而函数f〔x〕=ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或者直线l上，等价于g〔x〕≤0对x≠0恒成立，即只需g〔x0〕≤0和
，由此可得x0的取值范围．
解答：解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕=ln|x|﹣x2+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．
当x＞0时，f〔x〕=lnx﹣x2+ax，∴；…〔1分〕
当x＜0时，f〔x〕=ln〔﹣x〕﹣x2+ax，∴；…〔3分〕
综上可得．…〔4分〕
〔Ⅱ〕∵=，x1、x2为函数f〔x〕的两个极值点，
∴x1、x2为方程﹣2x2+ax+1=0的两根，所以，
又∵，∴a=﹣1．…〔5分〕
此时，，
由f'〔x〕≥0得，
当x＞0时，，此时；
当x＜0时，〔2x﹣1〕〔x+1〕≥0，∴x≤﹣1或者x≥，此时x≤﹣1．
∴当f'〔x〕≥0时，x≤﹣1或者．…〔7分〕
当f'〔x〕≤0时，同理解得．…〔8分〕
综上可知a=﹣1满足题意，且函数f〔x〕的单调递增区间为〔﹣∞，﹣1]和．…〔9分〕〔Ⅲ〕∵，又，
∴切线l的方程为，
即〔x0为常数〕．…〔10分〕
令
=
，
=
，〔11分〕
当x0＞0时，x、g'〔x〕、g〔x〕的关系如下表：
x〔0，x0〕x0〔x0，+∞〕
g'〔x〕+0﹣+0﹣
g〔x〕↗极大值↘↗极大值↘
当x0＜0时，x、g'〔x〕、g〔x〕的关系如下表：
x〔﹣∞，x0〕x0〔x0，0〕
g'〔x〕+0﹣+0﹣
g〔x〕↗极大值↘↗极大值↘
函数f〔x〕=ln|x|﹣x2+ax的图象恒在直线l的下方或者直线l上，
等价于g〔x〕≤0对x≠0恒成立．
∴只需g〔x0〕≤0和同时成立．…〔12分〕
∵g〔x0〕=0，∴只需．
下面研究函数，
∵，
∴m〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，
注意到m〔1〕=0，∴当且仅当0＜x≤1时，m〔x〕≤0．…〔13分〕
∴当且仅当时，，
由解得或者．
∴x0的取值范围是．…〔14分〕
点评：此题主要考察函数、导数等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．
四、【选修4-2：矩阵与变换】
21．a，b∈R，假设矩阵A=所对应的变换T A把直线l：2x﹣y=3变换为它自身．
〔Ⅰ〕求矩阵A；
〔Ⅱ〕求矩阵A的逆矩阵．
考点：变换、矩阵的相等．
专题：选作题；矩阵和变换．
分析：〔Ⅰ〕根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b；
〔Ⅱ〕求出|A|，即可求矩阵A的逆矩阵
解答：解：〔Ⅰ〕设直线2x﹣y﹣3=0上任意一点P〔x，y〕在变换T A的作用下变成点P'〔x'，y'〕，
由题意知2x'﹣y'﹣3=0，由=，
得x'=﹣x+ay，y'=bx+3y，
代入直线2x'﹣y'﹣3=0得2〔﹣x+ay〕﹣〔bx+3y〕﹣3=0，
即〔﹣b﹣2〕x+〔2a﹣3〕y﹣3=0，
由点P〔x，y〕的任意性可得﹣b﹣2=2，2a﹣3=﹣1，
解得a=1，b=﹣4．
〔2〕A=，|A|=﹣3+4=1，
∴A﹣1=．
点评：此题主要考察矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，矩阵A的逆矩阵，比较根底．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
a，曲线C2的参数方程为〔φ为参数，0≤φ≤π〕，〔Ⅰ〕求C1的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕当C1与C2有两个不同公一共点时，务实数a的取值范围．
考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：直线与圆．
分析：〔Ⅰ〕展开两角和的正弦公式，然后代入x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为直角坐标方程；〔Ⅱ〕化C2的参数方程为直角坐标方程，然后利用数形结合求解实数a的取值范围．
解答：解：〔Ⅰ〕曲线C1的极坐标方程为，
即ρcosθ+ρsinθ=a，
∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．
〔Ⅱ〕曲线的直角坐标方程为〔x+1〕2+〔y+1〕2=1〔﹣1≤y≤0〕，为半圆弧，
如下列图，曲线C1为一组平行于直线x+y=0的直线，
当直线C1与C2相切时，由=1，得，
舍去，那么，
当直线C1过点A〔0，﹣1〕、B〔﹣1，0〕两点时，a=﹣1，
∴由图可知，当﹣1时，曲线C1与曲线C2有两
个公一共点．
点评：此题考察了极坐标与直角坐标的互化，考察了化参数方程为普通方程，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．
六、【选修4-5：不等式选讲】
23．〔2021春•校级月考〕函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x﹣5|﹣a〕．
〔Ⅰ〕当a=5时，求函数f〔x〕的定义域；
〔Ⅱ〕当函数f〔x〕的定义域为R时，务实数a的取值范围．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：〔Ⅰ〕问题转化为不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而求出函数的定义域；
〔Ⅱ〕问题转化为a＜〔|x﹣1|+|x﹣5|〕min即可，通过绝对值的几何意义求出〔|x﹣1|+|x﹣5|〕的最小值即可．
解答：解：〔Ⅰ〕当a=5时，要使函数f〔x〕有意义，
有不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣①，
当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，即x＜，∴x＜；
当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，即x∈∅，∴x∈∅；
当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，即x＞，∴x＞；
综上函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，〕∪〔，+∞〕．
〔Ⅱ〕∵函数f〔x〕的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，
∴只要a＜〔|x﹣1|+|x﹣5|〕min即可，
又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥4〔x=1或者x=5时取等号〕，
即a＜〔|x﹣1|+|x﹣5|〕min=4，∴a＜4．
∴a的取值范围是〔﹣∞，4〕．
点评：此题考察绝对值不等式解法、最值求解等根底知识，考察推理论证才能及运算求解才能．。