(智慧测评)高考数学大一轮总复习 第9篇 第3节 变量间的相关关系与独立性检验课时训练 理 新人教A版

（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第9篇 第3节 变量间
的相关关系与独立性检验课时训练 理 新人教A 版
"
一、选择题
1．(2014衡水中学模拟)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )
A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1
B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3
C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1
D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3
解析：由题图知(1)(3)为正相关，(1)中的点大致集中在一条直线附近，(3)较分散，所以r 1>r 3>0，又(2)(4)为负相关且(2)较集中在直线附近，(4)较分散，所以r 2<r 4<0.综上得
r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A.
答案：A
2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：
广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)
49
26
39
54
根据表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
解析：样本中心点是(3.5,42)， 则a ^＝y －b ^
x ＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^
＝65.5.故选B. 答案：B
3．(2014青岛市模拟)某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程
可能是( )
A ．y ^
＝－10x ＋200 B ．y ^
＝10x ＋200 C ．y ^
＝－10x －200
D ．y ^
＝10x －200
解析：由于销售量y 与销售价格x 负相关，因此回归方程中的系数b ^
<0，故排除选项B ，D.选项C 中，当x ＝0时，y ^
＝－200，与实际问题不符合，排除选项C.故选A.
答案：A
4．(2014合肥一中质量检测)某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如表：
则y 对x A.y ^＝2.3x －0.7 B.y ^
＝2.3x ＋0.7 C.y ^＝0.7x －2.3 D.y ^
＝0.7x ＋2.3
解析：由题中表格，x ＝9，y ＝4，∑i ＝1
4
x i y i ＝158，∑i ＝1
4
x 2
i ＝344，
∴b ^＝158－4×9×4344－4×92＝0.7，a ^＝4－0.7×9＝－2.3，
∴回归直线方程为y ^
＝0.7x －2.3.故选C. 答案：C
5．(2014东北三校联考)下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过(x ，y )；
④有一个2×2列联表中，由计算得K 2
＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ^
＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )，③正确；因为K 2
＝13.079>6.635，故有99%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．故选B.
答案：B
6．(2013年高考福建卷)已知x 与y 之间的几组数据如表：
假设根据如表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A ．b ^>b ′，a ^
>a ′ B ．b ^>b ′，a ^
<a ′ C ．b ^<b ′，a ^
>a ′
D ．b ^<b ′，a ^
<a ′
解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求b ′＝2－0
2－1
＝2，
a ′＝0－2×1＝－2.
利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得
b ^
＝
∑i ＝1
6
x i y i －6x
·y
∑i ＝1
6
x 2i －6x 2
＝58－6×72×
13
691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝5
7，
a ^
＝y －b ^
x ＝136－5
7
×72
＝－13
，
所以b ^<b ′，a ^
>a ′. 故选C. 答案：C 二、填空题
7．(2014济南三模)某市居民2009～2013年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如表所示：
出有________线性相关关系．
解析：5个x 值是按从小到大的顺序排列的，因此居民家庭年平均收入的中位数是13万元．
以家庭年平均收入x 作为x 轴，年平均支出y 作为y 轴，描点得到散点图如图所示：
观察散点图可知，这些点大致分布在一条直线的附近，且总体呈上升趋势，因此家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系．
答案：13万元 正
8．(2014嘉兴联考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：
已知P (K 2
根据表中数据，得到K 2
＝50× 13×20－10×7 2
23×27×20×30
≈4.844，
则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________． 解析：由K 2
＝4.844>3.841.
故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%
9．(2014深圳二调)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程y ^
＝0.67x ＋54.9.
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________． 解析：依题意，x ＝1
5×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.
由于直线y ^
＝0.67x ＋54.9必过点(x ，y )， 于是有y ＝0.67×30＋54.9＝75，
因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68.
答案：68
10．已知x ，y 之间的一组数据如表：
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y ＝3
2x .
则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．
解析：由题意知x ＝4，y ＝6，
∴b ^
＝
∑i ＝1
5
x i －x
y i －y
∑i ＝1
5
x i －x 2
＝85
， ∴a ^＝y －b ^
x ＝－25，
∴y ^＝85x －2
5，∴填③.
答案：③ 三、解答题
11．(2013年高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单
位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i ＝184，
∑i ＝1
10
x 2
i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，
b ＝∑i ＝1
n
x i y i －nx －y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －nx －
2
，a ＝y －
－bx －
，
其中x －
，y －
为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^
＝bx ＋a .
解：(1)由题意知n ＝10，x ＝8，y ＝2，
又
∑i ＝1n
x 2
i －n x 2＝720－10×82
＝80， ∑i ＝1
n x i y i －nx －y －
＝184－10×8×2＝24，
由此得b ＝
∑i ＝1
n
x i y i －nx －y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －nx
－
2
＝24
80
＝0.3， a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 12．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到数据表：
(1)视为休闲方式的概率；
(2)根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
参考公式：K 2
＝n ad －bc 2
a ＋
b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，
其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 参考数据：
解：(1)由表可知该社区居民以看书为休闲方式的概率为80＝4
，
女性以看电视为休闲方式的概率为1020＝1
2.
(2)根据样本提供的2×2列联表得
K 2
＝n ad －bc 2
a ＋
b
c ＋
d a ＋c b ＋d
＝80× 10×10－10×50 2
60×20×20×60
≈8.889>6.635.
所以我们有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关”．
第1
节 计数原理、排列与组合
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理
提示：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．
2．排列与组合
提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题；若与顺序无关，则是组合问题．
1．4封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是( ) A ．7 B ．12 C ．34
D ．43
解析：根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有3×3×3×3＝34
(种)投法，故选C.
答案：C
2．从3名男同学和4名女同学中选2人分别担任学生会主席和副主席，则不同的选法种数为( )
A ．7
B ．21
C ．42
D ．12
解析：因为选出的2人担任职位不同，所以这是一个排列问题，不同的选法为A 2
7＝7×6＝42(种)．
故选C. 答案：C
3．2014×2013×2012×2011×2010等于( ) A ．A 4
2014 B ．A 5
2014 C ．C 42014
D ．C 5
2014
解析：由排列数公式知上式为A 5
2014，故选B. 答案：B
4．有5张卡片分别写有数字1、2、3、4、5. (1)从中任取4张，共有______种不同取法；
(2)从中任取4张，排成一个四位数，共组成______个不同的四位数． 解析：(1)从5张卡片中任取4张，共有C 4
5＝5(种)不同取法．
(2)从5张卡片中任取4张组成一个四位数，共组成A 4
5＝120(个)不同的四位数． 答案：(1)5 (2)120
第十篇 计数原理与概率、随机变量及其分布
高三一轮总复习 数学(人教A 版·理科)
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分类加法计数原理
[例1] 椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，
则这样的椭圆的个数为________．
[思维导引] 由方程表示焦点在y 轴上的椭圆可知0<m <n ，而m 、n 是两个集合中的不同元素，故可以根据m 的取值进行分类讨论．
[解析] 以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n ＞m ，n 有6种选择；
第二类：m ＝2时，使n ＞m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n ＞m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n ＞m ，n 有3种选择；第五类：m ＝5时，使n ＞m ，n 有2种选择．由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个．
[答案] 20
(1)运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干
个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．
(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个适合的分类标准；②完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
即时突破1 若例1中条件改为椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1的焦点在x 轴上，则满足条件的椭圆的个
数为________．
解析：因为方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n >0. 以m 的取值进行分类． (1)当m ＝1时，n 值不存在；
(2)当m ＝2时，n 可取1，只有1种选择； (3)当m ＝3时，n 可取1,2，有2种选择； (4)当m ＝4时，n 可取1,2,3，有3种选择； (5)当m ＝5时，n 可取1,2,3,4，有4种选择； 由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个． 答案：10
分步乘法计数原理
[例2] 已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则 (1)P 可表示平面上________个不同的点； (2)P 可表示平面上________个第二象限的点．
[思维导引] 对点P 的确定应分步完成，即先确定横坐标，再确定纵坐标，因此本题用分步乘法计数原理．
[解析] (1)确定平面上的点P (a ，b )可分两步完成： 第一步确定a 的值，共有6种确定方法； 第二步确定b 的值，也有6种确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a ，由于a ＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b ，由于b ＞0，所以有2种确定方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 3×2＝6.
[答案] (1)36 (2)6
利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．
(3)对完成各步的方法数要准确确定．
即时突破2 (2012年高考大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A．12种B．18种
C．24种D．36种
解析：利用分步乘法计数原理，先填最左上角的数，有3种，再填最右上角的数，有2种，再填写第二行第一列的数，有2种，一共有3×2×2＝12(种)．
故选A.
排列的应用问题
[例3] 有5个同学排队照相．
(1)甲在中间的排法有多少种？
(2)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙两个同学互不相邻的排法有多少种？
[思维导引] (1)甲在中间，则其余4人在甲两侧的4个位置中进行全排即可；(2)甲、乙相邻，利用捆绑法，先排甲、乙，然后看作一个整体与其他三人全排即可；(3)甲、乙两人不相邻，则先排其余三人，形成四个空，然后甲、乙两人插空排列即可．[解析] (1)因为甲的位置已确定，故不同的排法为其余四人的一个全排列，即A44＝24(种)．
(2)因为甲、乙相邻，所以甲、乙不同的排法为A22种，然后与其他三人共4个元素进行全排，即不同的排法有A22·A44＝2×24＝48(种)．
(3)因为甲、乙不相邻，所以先排其余三人，不同的排法为A33；形成4个空位，甲、乙选择其中的2个进行排列即可．所以不同的排法为A33·A24＝6×12＝72(种)．
求解排列应用问题的主要方法
C 、
D 、
E 、
F 六个城市之间进行，以A 为起点，F 为终点，B 与C 必须接连传递，E 必须在D
的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有________种．
解析：因B 与C 必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元素B ′，则B ′、D 、E 不同的排列方式有A 33
种，因E 必须在D 的前面传递，所以不同的排列方式有A 3
3
2
种，又B 与C
的排列方式有A 22
种，从而不同的排列方式有A 3
32
×A 2
2＝6(种)．
答案：6
组合的应用问题
[例4] 某课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依据下列条件各有多少种选法？
(1)只有2名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
[思维导引] (1)先选2名女生，再选3名男生；(2)两队长当选，则只需从其他11名队员中选3人；(3)可根据参选的队长数进行分类，也可利用间接法求解；(4)根据参选女生人数进行分类．
[解] (1)由题意，需选2名女生，3名男生，不同的选法有C 2
5·C 3
8＝10×56＝560(种)． (2)两队长当选，则只需从其他11人选出3人即可，故不同的选法有C 3
11＝165(种)． (3)法一 (直接法)至少有一名队长当选，可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类．
①恰有一名队长当选，先从2名队长中选1人，然后从11名队员中选4人，不同的选法有C 1
2×C 4
11＝2×330＝660(种)．
②两名队长都当选，则只需从其他11人中选出3人，不同的选法有C 3
11＝165(种)． 由分类加法计数原理可知，不同的选法共有 660＋165＝825(种)．
法二 (间接法)从13人中任选5人，不同的选法有C 5
13＝1287(种)．
而两名队长都未当选，即只从11名队员中选取5人，不同的选法为C 5
11＝462(种)． 所以至少有一名队长当选的选法共有： 1287－462＝825(种)．
(4)至多有两名女生当选可分为三类：
①没女生当选，即从男生8人中选取5人，不同的选法为C58＝56(种)；
②恰有一名女生当选，则需从男生中选取4人，不同的选法为C15·C48＝5×70＝350(种)；
③恰有两名女生当选，则需从男生中选取3人，不同的选法为C25·C38＝560(种)．
由分类加法计数原理得不同的选法共有：56＋350＋560＝966(种)．
组合问题常有以下两类题型：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
即时突破4 (2013年高考重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是______(用数字作答)．
解析：选派骨科、脑外科、内科医生的人数依次为3,1,1；2,2,1；2,1,2；1,3,1；1,2,2；1,1,3.
所以选派种数为C33·C14·C15＋C23·C24·C15＋C23·C14·C25＋C13·C34·C15＋C13·C24·C25＋C13·C14·C35＝590.
答案：590
分类混淆、计数原理使用不当致误
[典例] 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11
C．12 D．15
分析：信息“0110”是一个四位数字，此类“至多”、“至少”类型的问题可以直接利用分类讨论的方法求解，也可转化为其反面的问题，利用间接法求解．
正解：法一(直接法)
若0个相同，共有1个；
若1个相同，共有C14＝4(个)；
若2个相同，共有C24＝6(个)．
故共有1＋4＋6＝11(个)．
法二(间接法)
若3个相同，共有C34＝4(个)，若4个相同，共有1个，
而不同排列个数为24＝16，所以共有16－(1＋4)＝11(个)．
易错提醒：该题中要求解的是“至多有两个对应位置上的数字相同”，易出现的问题是分类混淆，漏掉各位数字信息均不相同的情况，解决此类问题的关键是准确确定分类标准，分类计数时要做到不重不漏．
一、选择题
1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( ) A．16 B．13
C．12 D．10
解析：由分步乘法计数原理可知，走法总数为4×3＝12.故选C.
答案：C
2.
如图所示，在A、B间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种B．11种
C．13种D．15种
解析：按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；
若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6种；
若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种；
若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种．综上共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．故选C.
答案：C
3．(2014河南省三市(平顶山、许昌、新乡)三模)现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有( ) A．6种B．12种
C．18种D．24种
解析：只需让第一所学校选取即可．
先从2名医生中选取1名，不同的选法有C12＝2(种)；
再从4名护士中选取2名，不同的选法有C24＝6(种)．
由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有
2×6＝12(种)．
故选B.
答案：B
4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4D．9!
解析：9个座位坐3个三口之家，每家人坐在一起，用捆绑法，不同的坐法种数为A33(A33 A33A33)＝(3！)4.故选C.
答案：C
5．(2014甘肃省兰州一中高三高考冲刺)将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案种数为( )
A．150 B．114
C．100 D．72
解析：
故选C.
答案：C
6．(2014吉林省实验中学第二次模拟)袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为( )
A．32 B．40
C．24 D．56
解析：由题意知每个号码均有白球和黑球各一个．先从4个号码中选取3个，不同的选法为C34＝4(种)；然后每个号码选择一球各有2种选法，所以不同的选法共有4×2×2×2＝32(种)．故选A.
答案：A
二、填空题
7．(1)若3A3x＝2A2x＋1＋6A2x，则x＝________.
x＝________.
(2)若C x2－x16＝C5x－5
16，则
解析：(1)原方程可化为
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
整理得3x 2
－17x ＋10＝0. 解之得x ＝2
3(舍去)或x ＝5.
∴原方程的解为x ＝5.
(2)原方程可化为x 2
－x ＝5x －5或(x 2
－x )＋(5x －5)＝16， 即x 2
－6x ＋5＝0或x 2＋4x －21＝0. 解得x ＝1，x ＝5或x ＝－7，x ＝3， 经检验x ＝5和x ＝－7不合题意， 故原方程的根为1,3. 答案：(1)5 (2)1或3
8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
解析：按甲的安排进行分类讨论 ①甲排周一，则乙丙排后4天中2天， 有4×3＝12(种)；
②甲排周二，则乙、丙排后3天中2天， 有3×2＝6(种)；
③甲排周三，则乙、丙排后2天， 有2×1＝2(种)．
故共有12＋6＋2＝20(种)． 答案：20
9．已知a ∈{2,4,6,8}，b ∈{3,5,7,9}，则能组成log a b >1的对数值有________个． 解析：由log a b >1可得b >a ， 故可根据a 的取值进行分类．
当a ＝2时，b 可取3,5,7,9共4种情况； 当a ＝4时，b 可取5,7,9共3种情况； 当a ＝6时，b 可取7,9共2种情况； 当a ＝8时，b 只能取9，共1种情况．
由分类加法计数原理可知不同的对数值共有4＋3＋2＋1－1＝9(个)．其中log 23＝log 49.
答案：9
10．某市教育局在一次教师招聘中共邀请了9名评委老师，若将9位评委老师平均分成三组进行打分，共有________种不同的分法．
解析：9位评委老师平均分成3组，每组3人，这是一个均分问题，故不同的分法为C 39C 36C 3
3
A 3
3
＝280(种)．
答案：280 三、解答题
11．某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人． (1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？ 解：(1)若从高一学生中选，则有10种不同选法；若从高二学生中选，则有8种不同选法；若从高三学生中选，则有7种不同选法；所以由分类加法计数原理知，共有10＋8＋7＝25(种)不同选法．
(2)三个年级分别有10种，8种，7种不同选法，由分步乘法计数原理知，共有10×8×7＝560(种)不同选法．
(3)选法可分三类：一类是1人选自高一，1人选自高二，有10×8＝80(种)选法；第二类是1人选自高一，1人选自高三，有10×7＝70(种)选法；第三类是1人选自高二，1人选自高三，有8×7＝56(种)选法，
所以共有80＋70＋56＝206(种)不同选法．
12．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员．
解：(1)任选3名男运动员，方法数为C 3
6，再选2名女运动员，方法数为C 2
4，共有C 3
6·C 2
4
＝120(种)方法．
(2)法一 至少有1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分类加法计数原理可得总选法数为C 14C 4
6＋C 24C 3
6＋ C 34C 2
6＋C 44C 1
6＝246.
法二 “至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C 5
10－C 5
6＝246(种)．
(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C 4
9种选法．不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C 4
8种选法，其中不含女运动员的选法有C 4
5种，所以不选女队长时的选法共有(C 4
8－C 4
5)种选法．
所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．
第2节计数原理、排列与组合的综合应用
1．两个计数原理的综合应用
对于一些较为复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，一般采用先分类后分步的策略．2．排列组合常见的解题策略
(1)特殊元素优先安排策略；
(2)合理分类与准确分步策略；
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)；
(4)正难则反，等价转化策略；
(5)相邻问题捆绑处理策略；
(6)不相邻问题插空处理策略；
(7)定序问题除法处理策略；
(8)“小集团”排列问题先整体后局部策略；
(9)构造模型的策略．
1．如图所示为一电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电( )
A．18 B．8
C．9 D．15
解析：先分步后分类，共有不同的线路为3×(3＋2)＝15条．故选D.
答案：D
2．已知5个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建3号子项目，则不同的承建方案共有( )
A．4种B．16种
C．64种D．96种
解析：第一步确定甲工程队承建的子项目，从1,2,4,5号子项目中任选一个，不同的选法有C14＝4种；第二步，其余4个工程队不同的排法有A44＝24种．
由分步计数原理可知，不同的承建方案有4×24＝96种．故选D.
答案：D
3．电视台在直播2013年莫斯科大学生运动会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的运动会宣传广告，要求最后播放的是运动会宣传广告，且2个运动会宣传广告不能连播．则不同的播放方式的种数为( )
A．120 B．48
C．36 D．18
解析：有C12C13A33＝36(种)，故选C.
答案：C
4．某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有________种(用数字作答)．
解析：A35＋C23A25＝120(种)．
答案：120
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计数原理的综合应用
[例1] 如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有________种．(以数字作答)
[思维导引] 法一可分两大步进行，先将四棱锥一侧面上的三个顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色方法种数，用分步乘法计数原理可得染色方法总数；法二按S→A→B→C→D的顺序染色；法三可按所用颜色种数分类．
[解析] 法一由题意，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．
当S、A、B染色确定时，不妨设其颜色分别为1、2、3，设另外两种颜色为4,5，若C 染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C 染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B染色确定时，C、D有7种染法．故不同的染色方法有60×7＝420(种)．
法二第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；
第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理知，有5×4×3×1×3＝180(种)方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，则有5×4×3×2×2＝240(种)方法．由分类加法计数原理得不同的染色方法共
180＋240＝420(种)．
法三第一类，5种颜色全用，共有5×4×3×2×1＝120(种)不同的染色方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有5×4×3×2＋5×4×3×2＝240(种)不同的染色方法；
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有5×4×3＝60(种)不同的染色方法；
由分类加法计数原理，得不同的染色方法共有
120＋240＋60＝420(种)．
[答案] 420
利用两个计数原理解决计数问题时，要注意以下几个方面：
(1)对于复杂的问题，可借助列表、画图的方法将其分解为两个计数原理的应用问题；
(2)先分类后分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3)分类时要不重不漏；
(4)分步时要步骤完整．
即时突破1 已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同的点有( ) A．18个B．16个
C．14个D．10个
解析：(1)设a∈M，b∈N.
①a为横坐标，b为纵坐标，则由题意知，b>0，故a的选取有3种；b只有5,6两种选法，由分步计数原理可知，满足条件的点有3×2＝6个．
②a为纵坐标，b为横坐标．
由题意a>0，则b的选法有4种，a的选法有2种．
由分步计数原理知，满足条件的点有4×2＝8个．
由分类计数原理得，满足条件的点共有6＋8＝14个．
故选C.
计数原理与排列(或组合)的综合问题
[例2] (1)(2013年高考浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2，a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204
C．729 D．920
[思维导引] (1)根据位置的对称性分为C在第一或第六位置、C在第二或第五位置与C 在第三或第四位置三类求解．
(2)根据a3是否为0，a1与a3是否相等进行分类，利用分类加法计数原理求解．
[解析] (1)按C的位置分类计算．
①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；
②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；
③当C在第三或第四位时，有A22A33＋A23A33＝48(种)排法．。