贵州省遵义市高二数学上学期期中试题 理

2017-2018学年度第一学期半期考试题
高二（理科）数学试卷
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的。

请把所选答案填涂在答题卡的相应位置。

1.已知全集U ＝{0,1,2}，且∁
U
A ＝{0}，则集合A ＝
( )
A ．{0,1,2}
B ．{1,2}
C ．U
D ．φ
2．过点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y 等于 ( )
A ．－5
B ．－1
C ．5
D ．1 3
．
下
列
说
法
不
正
确
的
是
( )
A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C ．平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面
D ．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 4．
若
,,sin tan 23
παπαα⎛⎫
∈== ⎪⎝
⎭
则
( )
A. 2
-
B
．
D
．－3
5．
已知点)
P
和圆C ：x 2＋y 2=4，则过点P 且与圆C 相切的直线方程是 ( )
A
4y -= B
4y +=
C.4x -= D
．4x += 6．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1， C 1D 1＝2A 1B 1＝4，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是 ( ) A ．6 B ．3 C ．5 2 D ．10 2 7
．
三
个
数
6
0.7,
0.7
6
，log 0.76的大小顺序是 ( )
A ．0.76
<log 0.76<6
0.7
B ．0.76<60.7
<log 0.76
C ．log 0.76<0.76
<60.7
D ．log 0.76<60.7
<0.76
8.若直线
()1+-20280x m
y m m x y m
++=++=和直线垂直，则的值为 ( )
A.－1 B ．－2 C.1或－2 D ．－
2
3
9．设各项都为正数的比数列{}n a 中，2
311,,2
a a a 成等差数列， 则 公比q 的值为 ( ) A
C
D
10．已知实数m ，n 满足不等式组24
230
m n m n m n m +≤⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩，则关于x 的方程x 2
－(3m ＋2n )x ＋6mn ＝0的两
根
之
和
的
最
大
值
和
最
小
值
分
别
是
( )
A ．4，－7
B ．8，－8
C ．7，－4
D ．6，－6
11．锐角△ABC 中，若
B ＝2A ，则
b
a
的取值范围是 ( )
A ．（0，2）
B ．(2，3)
C ．(0，3)
D ．(2，2)
12.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
AP AB AD
λμ=+，则
λμ
+的最大值
为
( )
A ．3
B ．2 2 C
．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置。

13．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为________． 14．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 其中，为真命题的是 .
15.已知直线()10,0ax by a b -=>>平分圆x 2
＋y 2
－4x ＋4y ＋7＝0
的周长，则12
2a b
+的最小值为
16.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为 直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点， 点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .
三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18至22题每题12分，共70分。

解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（满分10
分）已知函数)
2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-，R ∈x ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A
满足
(
)26
A f π
-=7a =，13b c +=，求ABC ∆的面积．
18．(本小题共12分)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝2，
BC ＝23，三角形PBC 为等边三角形，M ， N 分别为BC ，AB 的中点．
(1)求证：直线BC ⊥平面PAM ；
(2)求：异面直线MN 与PB 所成角的余弦值.
19. (本小题共12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市，并停留2天
.
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）.
20. （本小题共12分）如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，
AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．
(1)证明：EF ∥平面PAB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°. 证明：平面PBC ⊥平面ABCD .
21.（本小题共12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x
轴上截得线段长为y 轴上截
得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程； （2）若点P 到直线y x
的距离为
2
，求圆P 的方程
.
22.（本小题共12分）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n S =23,2,1,232=--+n n n a n …. （Ⅰ）求123,,.a a a 的值，
（Ⅱ）求证：数列}2{n a n -为等比数列 （Ⅲ）设n a c n n -=1，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：.44
37
<n T
答 案
一、选择题 BADCB ACDBC BA
二、填空题
13. 10； 14. ②④ 15. 9 16. a 或2a
16．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，
BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .
答案 a 或2a
解析 由已知得B 1D ⊥平面AC 1， 又CF ⊂平面AC 1，∴B 1D ⊥CF ， 故若CF ⊥平面B 1DF ，则必有CF ⊥DF . 设AF ＝x (0＜x ＜3a )，则CF 2
＝x 2
＋4a 2
，
DF 2＝a 2＋(3a －x )2，
又CD 2
＝a 2
＋9a 2
＝10a 2
， ∴10a 2
＝x 2
＋4a 2
＋a 2
＋(3a －x )2
， 解得x ＝a 或2a .故答案为a 或2a .
三、解答题
17、（满分10
分）已知函数)
2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-，R ∈x ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）已知ABC ∆中的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若锐角A
满足
(
)26
A f π
-=7a =，13b c +=，求ABC ∆的面积．
17
（Ⅰ）
2()2sin cos 1)f x x x x =-
sin 222sin(2)3
x x x π
=+=+
∴最小正周期为22
T π
π=
=
（Ⅱ）∵()26A f π-=
，∴2sin()33A ππ-+=
sin 2
A =
∵02
A π
<<
，∴3
A π
=
．
又13b c +=
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2
2
()22cos a b c bc bc A =+--， 即491693bc =-，∴40bc =
∴11sin 4022ABC S bc A ∆==⨯=
18．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，M ，N 分别为BC ，AB 的中点． (1)求证：直线BC ⊥平面PAM ；
(2)求：异面直线MN 与PB 所成角的余弦值；
(1)证明 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BC ，
因为AB ＝AC ＝2，M 为BC 的中点，所以AM ⊥BC . 因为AM ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAM . (2)证明
6
19. (本小题共12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市，并停留2天。

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 19.(1)5/12 (2)1/3 (3)从5号开始
20.如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，
E ，
F 分别是棱AD ，PC 的中点．
(1)证明：EF ∥平面PAB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°. ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
(1)证明 如图所示，取PB 的中点M ，连接MF ，AM . 因为F 为PC 的中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝1
2BC .
由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ， 又由于E 为AD 的中点， 因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，
故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ， 所以EF ∥平面PAB . (2)证明 连接PE ，BE .
因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，
所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．
在△PAD 中，由PA ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2. 在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.
在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，故可得∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB . 又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，又BC ∩PB ＝B ， 因此BE ⊥平面PBC .
又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .
21.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长
为(1) 求圆心P 的轨迹方程；
(2) 若点P 到直线y x =圆P 的方程；
22、（本小题共12分）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n S =23,2,1,232
=--+n n n a n …。

（Ⅰ）求123,,.a a a 的值，
（Ⅱ）求证：数列}2{n a n -为等比数列； （Ⅲ）设n a c n n -=
1，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：.44
37
<n T
22．（本小题共12分）
解：
（I ）1234,8,14.a a a ===
（II ）∵S n =2a n +n 2
－3n －2，
∴S n+1=2a n+1+(n+1)2
－3(n+1) －2. ∴a n+1=2a n －2n+2, ∴a n+1－2(n+1)=2(a n －2n).
∴{a n －2n}是以2为公比的等比数列.
（III ）由已知和（1）知a 1=S 1=2 a 1－4，∴a 1=4，∴a 1－2×1=4－2=2.
∴a n －2n=2n
，∴a n =2n +2n.
.21
1n
n a c n n n +=-=
当n=1时，T 1=
44
37
31< 当n ≥2时，n
T n
n ++++++++=21
321221121321 44
376521652
121312
11)211(4
13
12
1
212131132<<-=-+=--+=++++<
-n n n n
综上所述，+∈<
N n T n ,44
37
说明：其它正确解法按相应步骤给分.。