高考数学压轴专题最新备战高考《复数》知识点总复习附答案解析

【高中数学】《复数》知识点汇总
一、选择题
1．已知复数z 满足11212i i z
+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4 B ．4i C ．4- D ．4i -
【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5
z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.
2．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A
B C ．2 D ．3
【答案】A
【解析】 ()
11z i i i =-=+，故z = A.
3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )
A B C ．3 D ．5
【答案】B
【解析】
(2)2z i i i i =-=-==B ．
4．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则
a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.
【详解】
因为()1223(z z i a bi =++)()
23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，
因为0b ≠，所以
23
a b =-，选B. 【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b
、模为(,)a b 、共轭为.-a bi
5．
若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b
的方程组100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
6．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ，
∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】
【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.
【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，
2z 为纯虚数220020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
8．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．10101010i --
B ．10111010i --
C ．10111012i --
D ．10111010i -
【答案】B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,
可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，
则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i
--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2
(1)(1)(1)20202020202112
i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，
可得：2021(2021)(1)1011101012
i i i S i i -+-++=
==---， 故选：B.
【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
9．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．
【详解】 若复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
故选C.
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
10．若复数()234sin
12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23
π 【答案】B
【解析】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩
，
结合()0,θπ∈
，可知：sin 21
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.
已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ）
A
．8-
B
．8+C
．1+D ．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意点(,)a b
在圆22(2)(1x y -+-=
(,)a b 到原点的距离，计算得到答案.
【详解】
|2|1a bi --=
，故22(2))1a b -+=，点(,)a b
在圆22(2)(1x y -+=上，
(,)a b 到原点的距离，
故22a b +
的最大值为
)221(18=+=+. 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
12．设3i z i +=
，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1
B ．-1
C ．3
D ．-3 【答案】D
【解析】
因为z=3i i
+13i =-∴z 的虚部为-3，选D.
13．复数
12i 2i +=-（ ）． A ．i B ．1i + C ．i - D ．1i -
【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
14．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）
A ．2
B ．15
C ．25
D ．10 【答案】D
【解析】
【分析】
化简得到1355
z i =
+，再计算复数模得到答案. 【详解】 (2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++=
==-，∴1355z i =+，∴10||5z =. 故选：D .
【点睛】
本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.
15．在复平面内，复数121i z i -=
+对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】
试题分析：
1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故
选C ．
考点：复数的代数运算及几何意义．
16．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是
A ．12R z z ∈
B ．12R z z ∈
C ．12R z z +∈
D ．12
R z z ∈
【解析】
利用排除法：
当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()2
1212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i
+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，
本题选择D 选项.
17．复数
52
i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i -- 【答案】C
【解析】
【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.
【详解】 因为
522i i =---，所以复数52
i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
18．复数z 11i i -=
+，则|z |=( ) A ．1
B ．2 C
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .
【详解】 由题意复数z 11i i
-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A
【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
2
4y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32 【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点. 由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．【答案】C
【解析】
试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12
i i i z i i -=
==++因此1z i =+= 考点：复数的模。