五年级奥数.数论. 余数性质及同余定理(B级).学生版
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一、 带余除法的定义及性质
1. 定义:一般地,如果a 是整数,b 是整数(b ≠0),若有a ÷b =q ……r ,也就是a =b ×q +r ,
0≤r <b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:
(1)当0r =时:我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商
(2)当0r ≠时:我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质
⑴ 被除数=除数⨯商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数; ⑵ 余数小于除数.
二、 余数定理:
1.余数的加法定理
a 与
b 的和除以
c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为
2
2.余数的加法定理
a 与
b 的差除以
c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
知识框架
余数性质及同余定理
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1=
2.
当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4
3.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
乘方:如果a与b除以m的余数相同,那么n a与n b除以m的余数也相同.
一、同余定理
1、定义
整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余,即a≡b(modm)
2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然);
〈2〉若a≡b(modm),则b≡a(modm)
〈3〉若a≡b(modm),b≡c(modm)则a≡c(modm);
〈4〉若a≡b(modm),则ac≡bc(modm)
〈5〉若a≡b(modm),c≡d(modm),则ac=bd(modm);
〈6〉若a≡b(modm)则an≡bm(modm)
其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性,"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"
注意:一般地同余没有"可除性",但是:如果:ac=bc(modm)且(c,m)=1则a≡b(modm)3、整数分类:
〈1〉用2来将整数分类,分为两类:
1,3,5,7,9,……(奇数);
0,2,4,6,8,……(偶数)
〈2〉用3来将整数分类,分为三类:
0,3,6,9,12,……(被3除余数是0)
1,4,7,10,13,……(被3除余数是1)
2,5,8,11,14,……(被3除余数是2)