北京市高考理科数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（文科）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ）
A ．{}|34x x x ≤>或
B ．{}|13x x -<≤
C ．{}|34x x ≤<
D ．{}|21x x -≤-<
2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
3．
“双曲线的方程为
22
1916
x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知ABC △中，2a =，3b =，60B =，那么角A 等于（ ）
A ．135
B ．90
C ．45
D ．30
5．函数2
()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A ．1()11(1)f x x x -=+-> B ．1()11(1)f x x x -=--> C ．1()11(1)f x x x -=+-≥
D ．1()11(1)f x x x -=--≥
6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪
+⎨⎪⎩
≥≤，
，，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
7．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30
B ．45
C ．90
D ．186
A B
C D M N P A 1
B 1
C 1
D 1
8．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 10．不等式
1
12
x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为 ．
12．5
231x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．
14．已知函数2
()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，12；
②2212
x
x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2
π()sin sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期
为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．
17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．
（Ⅰ）求a ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．
18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．
A
C
B
P
已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．
20．（本小题共13分）
数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数．
（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；
（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．
参考答案
1．D ． 2. A ． 3. A ． 4．C ． 5．B ． 6．A ． 7．C ． 8. B 9．
3
4 10．2x -< 11．-8 12．2510;C =32 13．4，-2 14．② 15.解：
（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=
+
112cos 2222x x ωω=
-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03x ≤≤
，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． 16.解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．
AP BP =，PD AB ∴⊥．
AC BC =，CD AB ∴⊥．
PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）
AC BC =，AP BP =，
APC BPC ∴△≌△．
又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC
PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，．
AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
A
C
B
D
P
A
C
B
E P
在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =
，BE AB =
=
sin BC BEC BE ∴∠=
=
∴二面角B AP C --
的大小为．
17.解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，
所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．
又32
()3f x x ax bx c =+++所以3
2
3
2
3232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．
所以22a a c c =-⎧⎨
-=-+⎩，
．
解得02a c ==，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得3
()32f x x bx =++．所以2
()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '=
得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：
所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞上单调递增，在(上单调递减，
在)+∞上单调递增．
当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，
上单调递增． 18.解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3
324541
()40
A A P E C A ==，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
140
． （Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541
()10
A P E C A ==，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10
P E P E =-=．
19.解：（Ⅰ）因为AB l //，且AB 边通过点(00)，
，所以AB 所在直线的方程为y x =．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．
由2234x y y x
⎧+=⎨=⎩， 得1x =±．
所以12AB x =
-=
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．
所以h =
1
22
ABC S AB h =
=△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，
由2234x y y x m
⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以2
12640m ∆=-+>．
设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，
则1232m x x +=-，212344
m x x -=，
所以122
AB x =-=．
又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l
的距离，即BC =
．
所以2
2
2
22
210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．
所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．
20.解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=，，，且11a =．
所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=． 从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．
（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，2
1()n n a n n a λ+=+-
得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．
若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列． （Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ>
且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >； 当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >， 从而当0n n >时0n a >．因此“存在*
m ∈N ，当n m >时总有0n a <” 的充分必要条件是：0n 为偶数，
记02(12)n k k ==，，，则λ满足2
22
21(2)20
(21)210
k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*
4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。