浙江省余姚三中学年第一学期高三数学期中考试卷

余姚市第三中学2007学年
第一学期
高三理科期中考数学卷
编者：杨海平
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120
分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．=+-i i i 1)
1( （ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．－1 2．函数x x y cos sin 4=的最小正周期及最大值分别是 （ ）
A ．2,2π
B ．2,π
C ．1,2π
D ．1,π
3．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为( ) （A ）48 (B)54 (C)60 （D ）66
4．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是 （ ） A,先提价p%,后提价q% B,先提价q%,后提价p%
C ，分两次提价2
q
p +% D,分两次提价
2
2
2q p +%（以上p ≠q ） 5．设全集U ＝R ，集合2|
{2-==x x x M ，R}∈x ，21|{≤+=x x N ，R}∈x 则
N M C U )(等于
（ ） A ．{2} B ．}31|{≤≤-x x C ．{x |x ＜2，或2＜x ＜3} D ．
21|{<≤-x x 或}32≤<x 6．函数y ＝212
log (617)x x -+的值域是
（ ）
A ．R
B ．［8，＋)∞
C ．（－∞，－3]
D ．[3,)+∞
7．设命题),(12)(:23+∞-∞+++=在mx x x x f p 内单调递增，命题q p m q 是则,3
4
:≥的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
8．已知()2x
f x =的反函数为()1
f x -,()()114f a f b --+=,则11
a b +的最小值为 ( )
A ．
12
B ．
13 C ．
14
D ． 1
9．已知0||,1||,2||2=⋅++==x x x 的方程且关于有实根，则a 与夹角的取值范围是 （ ）
A ．]6
,
0[π
B ．],3
[
ππ
C ．]3
2
,3[
ππ D ．],6
[
ππ
10．定义在实数集上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),且f(x)在[-3,-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的二个内角，则 （ ） A ．f(sin α)>f(sin β) B. f(cos α)<f(cos β)
C ．f(sin α)>f(cos β) D. f(sin α)<f(cos β)
第Ⅱ卷（共１０0分）
二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11．函数()()lg 43
x f x x -=
-的定义域为____________．
12．在等比数列的值是则中2625161565,),0(,}{a a b a a a a a a a n +=+≠=+_________． 13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，若定点)1,2(A 与动点)1,1(+-y x P 满足
OP OA ⊥，则动点),(y x 的轨迹方程是_________________．
14．已知：sin()sin (,0).3
22
π
π
ααα+
+=-
∈- cos α=_________________． 15．对于函数)2
2
()sin()(π
ϕπ
ϕω<
<-
+=x x f ，以下列四个命题中的两个为条件，余
下的两个为结论，写出你认为正确的一个命题 ． ①函数f (x )图像关于直线12
π
=x 对称； ②函数f (x )在区间]0,6
[π
-
上是增函数；
③函数f (x )图像关于点)0,3
(
π
对称； ④函数f (x )周期为π．
16．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b=b a ab ++（a , b 为正实数），若1⊙k <3， 则k 的取值范围为______________．
17．以下四个命题：
①. )4()2(x f x f -=+，则)(x f y =关于3=x 对称； ②. b G a G ab G 、、是)0(≠=
成等比数列的充分但非必要条件；
③. 函数sin sin +=x y |x |的值域是[-2，2]；
④. 01)2()2(2>+-+-x a x a 的解集为R 的充要条件是62<<a ．
其中正确的命题是 （填序号）．
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 18．（本小题满分14分）
c b a ,,分别是A B C ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，其外接圆半径为1，且
C B A C B A C B s i n s i n 3)s i n s i n )(s i n s i n s i n (s i n =-+++，边c b 和是关于x 的方程：
0cos 432=+-A x x 的两根（c b >）.
（1）求A ∠的度数及边c b a ,,的值. （2）判定ABC ∆的形状，并求其内切圆的半径.
19．（本小题满分14分）
某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未
使用的元件要付库存费，假设平均库存量为
x 2
1
件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？
20.（本小题满分14分）
已知集合A ={)121lg(|x y x --
=}，集合B ={}1
|2
+=x x y y ，求A ∩B ，A ∪B ．
21．（本小题满分15分）
已知数列{}n a 的前n 项和是n S 满足： 11,3(2)n n S S n a ==+
(Ⅰ)求
3
212
a a a a +的值; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 求12111
lim(
)n n
a a a →∞
+++…的值
22．（本小题满分15分）
已知a ∈R ,函数()32
11232
f x x ax ax =-
++(x ∈R ). （1）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间; （2）函数()f x 是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由;
（3）若函数()f x 在[]1,1-上单调递增，求a 的取值范围.
[参考答案]
1~5. C B B D D 6~10. C C A B C
11.{}34≠<x x x 且 12. a
b 2
13. 012=-+y x
14. 1/2 15. ③④⇒①②或①④⇒②③ 16. 0<k <1 17. ①②③ 18. 解：
解(1) C B A C B A C B sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin =-+++
bc a c b C B A C B =-+∴=-+∴222222sin sin sin sin sin ………………（3分）
2
1
2cos 222=-+=∴bc a c b A 060=∴A ………………………………（6分）
b 、
c 是0cos 432=+-A x x 的两根, 且b>c ，故b=2,c=1. ……………（8分）
又1,2,32sin ===∴=c b a R A
a
…………………………………………（10分）
(2)由2
22b c a =+ABC ∆∴是直角三角形. ……………………………………（12分）
2
1323)(21-=∴=++r r c b a ………………………………………………（14分） 19．解：
设购进8000个元件的总费用为S ，一年总库存费用为E ，手续费为H ．
则n x 8000=，n
E 8000
212⨯⨯=，n H 500= ……………………………（3分） 所以S=E+H=x
x 8000
500212⨯+⨯ ……………………………………………（7分）
=n n 5008000
+（9分） =4000)16
(500≥+n n ………………………………………………………（11分）
当且仅当n n
=16
，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．………（14分） 20. 解：
解：依题意得：0121>--
x ∴01
1>-+x x ⇒11>-<x x 或∴}11|{>-<=x x x A 或 …………………………………………………………………………………………（5分）
∵1
2+=x x y ⇒=--y yx x 20 x ∈R ∴042
≥+=∆y y ⇒40-≤≥y y 或
（或22(1)2(1)11
(1)2111
x x x y x x x x +-++=
==++-+++04y y ∴≥≤-或） ∴}40|{-≤≥=y y y B 或 …………………………………………………………(10分) ∴}14|{>-≤=⋂x x x B A 或 ……………………………………………………(12分)
}01|{≥-<=⋃x x x B A 或……………………………………………………… (14分) 21、解：
(Ⅰ)∵111a S ==，由3(2)n n S n a =+，令2,3n =分别得 233,6a a == ∴
321236513
a a a a +=+=……………………………………………………… (4分) (Ⅱ)∵3(2)n n S n a =+，113(1)n n S n a --=+（n ≥2）两式相减，得 1133()(2)(1)n n n n n a S S n a n a --=-=+-+ 即
11
1
n n a n a n -+=-………………(6分) ∴3
121122134
1(1)
112
212
n n n n n a a a a n n n n a a a a a a n n ---++=⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=--…………(9分) （1n =也适合）………………………………………………………………(10分) (Ⅲ)由
121
12(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
∴
12
11
1
11111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
1211n ⎛
⎫=- ⎪+⎝⎭ …………………………………………
12
111
1lim lim 2121n n n
a a a n →∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫+++
=-= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎝⎭
………………………………(15分)
22. 解：
(1) 当1a =时,()32
11232
f x x x x =-
++, 2()2f x x x '∴=-++.………(2分) 令()0f x '>,即220x x -++>,即2
20x x --<，解得12x -<<.
∴函数()f x 的单调递增区间是()1,2-.…………………………………………(4分)
(2) 若函数()f x 在R 上单调递减,则()0f x '≤对x ∈R 都成立, ……………(5分) 即2
20x ax a -++≤对x ∈R 都成立, 即2
20x ax a --≥对x ∈R 都成立.…(6分)
280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.……………………………………………(7分)
∴当80a -≤≤时, 函数()f x 在R 上单调递减. ………………………(8分)
(3) 解法一：
函数()f x 在[]1,1-上单调递增,()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立, ……(9分)
∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立. ()22a x x ∴+≥对[]1,1x ∈-都成立,
………………………………………………………………(10分)
即2
2x a x +≥对[]1,1x ∈-都成立. ……………………………………(11分)
令()2
2x g x x =+, 则()()()()
222
224()22x x x x x g x x x +-+'==++.……………(13分) 当10x -<≤时，()0g x '<；当01x <≤时，()0g x '>.
()g x ∴在[]1,0-上单调递减,在[]0,1上单调递增. ()()1
11,13
g g -==，
()g x ∴在[]1,1-上的最大值是()11g -=. 1a ∴≥.…………………(15分)
解法二：
函数()f x 在[]1,1-上单调递增, ()0f x '∴≥对[]1,1x ∈-都成立,
∴220x ax a -++≥对[]1,1x ∈-都成立.即220x ax a --≤对[]1,1x ∈-都成
立. ………………………………………………………………(11分)
令()2
2g x x ax a =--，则()()1120,1120.g a a g a a =--≤⎧⎪⎨-=+-≤⎪⎩ 解得1,31.
a a ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩…………(14分)
1a ∴≥.………………………………………………………………(15分)。