锐角三角函数(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题28.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）
一、单选题 1．sin30︒=（ ） A ．12
B 3
C 2
D ．不能确定
2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，则tan B 的值为（ ） A 5B ．12
C ．2
D ．13
3．若 tan 3α= 则锐角 α 的度数是（ ） A ．20
B ．30
C ．45
D ．60
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23
，则cos A ＝（ ） A 13B 13 C 5D 5
5．下列各式中，运算结果是分数的是（ ） A ．sin30︒
B ．0
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭
D 34
6．如图，ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA 的值是（ ）
A ．65
B ．56
C 210
D 310
7．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一
点A ，再在河的这一边选定点P 和点B ，使BP AP ⊥．利用工具测得50PB =米，PBA α∠=，根据测量数据可计算得到小河宽度PA 为（ ）
A ．50sin α米
B ．50cos α米
C ．50tan α米
D ．
50
tan α
米 8．如图，在ABC ∆中，AC BC =，分别以点A 、
C 为圆心，大于1
2
AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若30C ∠=︒，3AC =BAE ∆的面积为（ ）
A 3
B ．33
C ．33
D ．43-9．如图，在ABC 中，3
90,cos 43C A AC ∠=︒=
=AB 长为（ ）
A ．4
B ．8
C ．83
D ．12
10．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，sin A ＝1
3
，AB ＝6，D 是AB 的中点，连接CD ，作
DE ∠AC 于E ，则△CDE 的周长为（ ）
A ．4+2
B ．6+22
C ．2
D ．2二、填空题
11．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，则cos A 的值为______． 12．若A ∠是锐角，且3
cos 5
A =
，则()cos 90A ︒-=________．
13．在直角三角形ABC 中，若3AB ＝AC ，则sin C ＝___．
14．在▱ABCD 中，AB =8cm ，BC =6cm ，sin A =4
5，则▱ABCD 的面积是_____2cm ．
15．在ABC 中，A ∠与B 都是锐角，且13
|||sin cos 02A B -+=，则ABC 的形状
是________．
16．如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ．点M 是CBD 上任意一点，
24AH CH ==，，则cos CMD ∠的值为__________．
17．如图，平面直角坐标系中，点(0,1)A ，点(0,1)B -，以A 为圆心，AB 为半径作弧交x 轴于点C ，连接,AC BC ，分别以A ，C 为圆心，大于1
2
AC 长为半径作弧，两弧交于点
D ，直线BD 交AC 于点
E ，连接OE ，则线段OE 的长为_________．
18．如图，已知直线l 与x 轴夹角为30°，过点A （2，0），垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2∠x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3∠l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2020A 2021的长为__________________．
三、解答题 19．计算下列各题： 22cos45°﹣sin60°）24
； (2)（﹣2）0﹣32|．
20．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =．求sin A ，cos A ，tan A ．
21．如图，梯形ABCD 中，
AD //BC ，E 是AB 的中点，∠CDE =90°，CD =6，tan∠DCE =2
3
． (1) 求CE 的长； (2) 求∠ADE 的余弦．
22．如图，在ABC 中，AC =12cm ，AB =16cm ，sin A =1
3
．
（1）求AB 边上的高CD ； （2）求ABC 的面积S ； （3）求tan B ．
23．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．
(1) 求证：四边形AECF 是菱形； (2) 若
1
4
BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．
24．如图，∠O 是∠ABC 的外接圆，AD 是∠O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD ，
CF，且：CF是∠O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，F A的数量关系并说明理由；
（3）若cos B
3
5
，AD＝2，求FD的长．
参考答案1．A
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值直接求解即可．
解：sin30︒=1
2
，
故选A．
【点拨】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．B
【分析】直接根据正切的定义求出结果．
解：∠在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
∠tan B=
1
2 AC
BC
=．
故选：B．
【点拨】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
3．D
【分析】根据3
解：因为3tan3
α=
所以锐角α=60°，
故选D．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．4．C
【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．
解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，
∠245
cos1
99
A=-=，
∠5
cos A=，
故选C．
【点拨】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1．5．A
【分析】分别计算出各选项的值，然后再判断即可．
解：A. sin30︒= 1
2
，是分数，故该选项符合题意；
B. 0
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
=1，是整数，故该选项不符合题意；
C. 1
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭=2，是整数，故该选项不符合题意；
D.
343 【点拨】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简，解题关键是正确地计算出各式的值．
6．A
【分析】过B 作BD 垂直于AC 的延长线，垂足为D ，求出BD 和AD 后由正切函数的定义可以得到问题解答．
解：如图，过B 作BD 垂直于AC 的延长线，垂足为D ，
,
则在RT ∠ABD 中，AD =5，BD =6， ∠6
tan 5
BD A AD =
=， 故选A ．
【点拨】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键． 7．C
【分析】根据正切定义tan PA
PBA PB
∠=，把公式变形得到结果． 解：∠tan PA
PBA PB
∠=
， ∠tan 50tan PA PB PBA α=∠=． 故选C ．
【点拨】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切定义是解决本题的关键． 8．C
【分析】由题意得，DE 是线段AC 的垂直平分线，AE =CE ，DE 是ACE 的高，根据锐角三角函数得1DE =，即可得3ACE S △B 作BF AC ⊥，交AC 于点F ，根据锐角三角函数得3BF =3ABC S =△，用ABC 的面积减去ACE 的面积即可得．
解：由题意得，DE 是线段AC 的垂直平分线， ∠AE =CE ，DE 是ACE 的高，CD =DA 3 ∠3
tan 31DE CD C =∠==， ∠11
231322
ACE S AC DE =
=⨯=△ 如图所示，过点B 作BF AC ⊥，交AC 于点F ，
∠AB AC =，23AC =
∠1
sin302332BF BC =︒==，
∠11
233322
ABC S AC BF =
=⨯△， ∠=33BAE ABC ACE S S S =-△△△ 故选C ．
【点拨】本题考查了垂直平分线，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点并能想到用ABC 的面积减去ACE 的面积即可得BAE 的面积．
9．B
【分析】根据余弦的定义即可求解． 解：
3
90,cos 43C A AC ∠=︒=
=
43
8
cos 3AC AB A ∴=
==，
故选B ．
【点拨】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键． 10．A
【分析】根据平行线分线段成比例可得D 是AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得3CD =，根据中位线的性质可得12
DE AB =
，根据sin A ＝1
3，AB ＝6，求得2BC =,在
Rt ABC △中，勾股定理求得AC ，进而求得1
2
CE AC =
，然后根据三角形的周长公式即可求解．
解：∠BCA ＝90°，sin A ＝1
3
，AB ＝6，DE ∠AC ，
1
sin 3
BC A AB ∴=
=，//DE BC ， 2BC ∴=，
2242AC AB BC ∴=-
D 是AB 的中点，
1AD AE
DB EC
∴
==，132CD AB ==，
1
2CE AC ∴=
22=112
DE BC == ， ∴△CDE 的周长为3122422CD DE EC ++=++=+
故选A ．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
11．3
5
##0.6
【分析】先利用勾股定理求出AC ，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 解：∠∠ABC =90°，AB =3，BC =4， ∠AC 22345+=， ∠cos A =
3
5
AB AC =， 故答案为：3
5
．
【点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．45
【分析】根据22cos sin 1A A +=和互余角的三角函数关系计算即可；
解：∠22cos sin 1A A +=，
又A 为锐角，3cos 5A =
， ∠4sin 5
A =， ∠()4cos 90sin 5A A ︒-==
； 故答案为：45
． 【点拨】本题主要考查了互余两角的三角函数关系，准确计算是解题的关键．
13．1310【分析】分∠90B ∠=︒和∠90A ∠=︒两种情况，利用勾股定理和正弦的定义求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
∠如图，当90B ∠=︒时，
3AB AC =，
1sin 3
AB C AC ∴==； ∠如图，当90A ∠=︒时，
3AB AC =，
2210BC AB AC AB ∴+，
10sin AB C BC ∴== 综上，sin C 的值为1310 故答案为：1310 【点拨】本题主要考查了正弦，正确分两种情况讨论是解题关键．
14．1925
【分析】过点D 作DH ∠AB 于点H ，根据sin A =
45DH AD =，求出DH 的长，进而可得结果．
解：如图，过点D 作DH ∠AB 于点H ，
∠AB =8cm ，AD =BC =6cm ，sin A =45DH AD =， ∠465
DH =， ∠DH =245(cm)， ∠AB •DH =8×
245=1925（cm 2）． 则▱ABCD 的面积是
1925cm 2． 故答案为：1925．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
15．等腰三角形
【分析】根据非负数的性质可得：s 1300in cos 2A B -==，，由此可求出3030A B ∠∠︒=︒=，，即ABC 为等腰三角形．
解：根据绝对值的非负性可得：s 1300in cos 2A B -
==，， ∠s 132in cos A B ==， ∠3030A B ∠∠︒=︒=，，
∠∠A =∠B ， ∠AC =BC ，
∠ABC 为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形． 【点拨】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
16．35
##0.6 【分析】因为线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，故12
AOC DOA COD ∠=∠=∠，在Rt OCH 中，利用勾股定理求出OC 的长，求出cos AOC ∠，根据12
CMD COD ∠=∠，得到CMD AOC ∠=∠，故可得cos CMD ∠．
解：连接OC ，OD ，
∠线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，
∠12
AOC DOA COD ∠=∠=∠， ∠在Rt OCH 中，2AH =，4CH =，设OC 为x ，
由勾股定理可得：2224(2)x x =+-，
解得：5x =， ∠5OC =，
∠523cos 55
OH AOC OC -∠===， ∠12
CMD COD ∠=∠， ∠CMD AOC ∠=∠，
∠3cos 5
CMD ∠=， 故答案为：35
． 【点拨】本题考查垂径定理与同弧所对的圆周角与圆心角的关系，相同大小的角的三角函数值相同，是解答本题的关键．
17．1
【分析】由已知得12
OA AC =，根据三角函数求出∠BAC =60°，证出∠ABC 是等边三角形，由题意得BD 垂直平分线段AC ，根据直角三角形斜边中线得到OE 的长．
解：∠点(0,1)A ，点(0,1)B -，
∠AB =1+1=2，OA =OB ，
∠AB =AC ，
∠12
OA AC =， ∠1cos 2OA BAC AC ∠=
=， ∠∠BAC =60°，
∠∠ABC 是等边三角形，
由题意得BD 垂直平分线段AC ，
∠AE =CE ，
∠112
OE AC ==， 故答案为：1．
【点拨】此题考查了等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的作图，直角三角形斜边中线的性质，正确理解作图得到结论是解题的关键．
18．32020 【分析】利用特殊角的三角函数值找其规律即可求解．
解：由题可知，直线l 与x 轴的夹角为30°，
∠AA 1＝2sin30°＝1，
∠∠AOA 1＝30°，
∠∠A 1AO ＝60°，
∠∠AA 1A 2＝30°，
∠A 1A 2＝AA 1cos30°，
同理，A 2A 3＝A 1A 2cos30°＝AA 1cos 230°，
A 3A 4＝A 2A 3cos30°＝AA 1cos 330°，
…
∠AnAn +1＝AA 1cos n 30°，
当n ＝2010，A 2020A 202132020， 32020． 【点拨】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值及寻找规律是解题的关键．
19．（1）2 （2）33-解：（1)2422cos 45sin 604-+ 232622=⎭ 362(2=662= 2=
（2）0(2)3tan 30|32|︒--+
1323=33=-
20．213sin A =313cos A =2tan 3A =． 【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
解：在Rt ABC 中，由勾股定理，得
22223213AB AC BC =++=
213sin 13BC A AB ===， 313cos 13AC A AB === 2tan 3BC A AC =
=． 【点拨】本题考查锐角三角函数的定义.
21．(1)213CE =ADE ∠的余弦为45
【分析】（1）利用正切函数求得DE =4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD 的中点F ，利用梯形中位线定理得到AD //EF ，∠ADE =∠DEF ，在Rt △DEF 中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．
（1）解：∠∠CDE =90°，CD =6，tan∠DCE =23， ∠DE CD =23，即6DE =23
， ∠DE =4，
由勾股定理得CE 2246213+=
（2）解：取CD 的中点F ，连接EF ，
∠E 是AB 的中点，
∠EF 是梯形ABCD 的中位线，
∠AD //EF ，
∠∠ADE =∠DEF ，
在Rt ∠DEF 中，90EDF ∠=︒，4DE =，132
DF CD ==， 由勾股定理得5EF =，
∠4cos 5DE DEF EF ∠=
=， ∠4cos 5
ADE ∠=， 即ADE ∠的余弦为45
． 【点拨】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
22．（1）4cm ；（2）232cm ；（322+ 【分析】（1）如图（见分析），根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）根据（1）的结论，利用三角形的面积公式即可得；
（3）先根据勾股定理可得AD 的长，再根据线段的和差可得BD 的长，然后根据正切三角函数的定义即可得．
解：（1）如图，1sin 3
CD A AC =
=，12cm AC =， 4cm CD ∴=； （2）
16cm,4cm AB CD ==， 21116432(cm )22
S AB CD ∴=⋅=⨯⨯=； （3）在Rt ACD △中，222212482(cm)AD AC CD --，
(1682)cm BD AB AD ∴=-=-，
22tan 4
1682422(42222)(422)CD B BD ∴====--+-．
【点拨】本题考查了求三角函数值，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
23．(1)见分析15【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设BE a =，则4EC a =，根据菱形的性质可得4AE EC a ==，AE FC ∥，勾股定理求得AB ，根据BCF BEA ∠=∠，tan BCF ∠=tan AB BEA BE ∠=
，即可求解． (1)证明：AD DC =，DE DF =，
∠四边形AECF 是平行四边形，
∠DE AC ⊥， ∴四边形AECF 是菱形；
(2)解：14BE EC =，
设BE a =，则4EC a =，
四边形AECF 是菱形；
4AE EC a ∴==，AE FC ∥，
∴BCF BEA ∠=∠，
在Rt ABE △中，()2222415AB AE BE a a a =-=-=，
∴tan BCF ∠=15tan 15AB a BEA BE ∠=== 15
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）2·FC FD FA =，见分析；（3）187
【分析】（1）连接OC ，根据直径所对的圆周角为直角及切线的性质和各角之间的等量关系即可证明；
（2）根据相似三角形的判定定理可得~CFD AFC ∆∆，依据相似三角形的性质：对应边成比例即可得出；
（3）根据同弧所对的圆周角相等可得：B ADC ∠=∠，3cos cos 5
ADC B ∠=∠=，在Rt ACD ∆中，利用锐角三角函数可得65CD =，由勾股定理确定85AC =，由此得出34
CD AC =，即为（2）中的相似比，设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，将其代入（2）中结论求解即可．
解：（1）连接OC ，如图所示：
∵AD 为O 直径，
∴90ACD ∠=︒，90CAD ADC ∠+∠=︒，
∵CF 为O 的切线，
∴90OCF ∠=︒，即90OCD DCF ∠+∠=︒，
∵OC OD =，
∴OCD ADC ∠=∠，
∴DCF CAD ∠=∠；
（2）在CFD ∆与AFC ∆中，
∵DCF CAD ∠=∠，
F F ∠=∠，
∴~CFD AFC ∆∆，
∴FC FD AF FC
=， ∴2·FC AF FD =；
（3）∵B ADC ∠=∠，
∴3cos cos 5
ADC B ∠=∠=， 在Rt ACD ∆中，2AD =，
3cos 5
CD ADC AD ∠==， ∴6·
cos 5CD AD ADC =∠=， ∴2285
AC AD DC =-=， ∴34
CD AC =， 由（2）结论可得：~CFD AFC ∆∆，
∴34FC FD CD AF FC AC ===，
设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，
将其代入结论（2）可得：
()()24332x x x =+，
解得：67
x =或0x =（舍去）， ∴1837FD x ==
． 【点拨】题目主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数解三角形、勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．。