高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版选修2-2(2021学年)

2０1７－２０18版高中数学第一章导数及其应用１．１.2 瞬时速度与导数学案新人教B版选修2-2
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1。

1。

2 瞬时速度与导数
明目标、知重点1。

理解瞬时速度及瞬时变化率的定义。

2。

会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．3.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法。

4.理解并掌握开区间内的导数的概念,会求一个函数的导数.
１．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.设物体运动路程与时间的关系是ｓ＝s(ｔ），物体在t０时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0+Δｔ这段时间内的平均变化率s t
＋Δｔ-s t０
，当Δｔ→０时的极限,即v=错误!错误!＝错误!错误!。

Δt
２.瞬时变化率
一般地,函数ｙ＝f（x）在x0处的瞬时变化率是错误!错误!=错误!错误!.
3．导数的概念
一般地，函数y=f(x）在ｘ0处的瞬时变化率是错误!错误!,我们称它为函数y=ｆ（ｘ)在ｘ＝x
处的导数，记为f′(x0),即f′（ｘ0)＝错误!错误!＝错误!错误!．
０
4．导函数
如果f（x)在开区间(a，b）内每一点x都是可导的，则称
f(x)在区间(a,b)可导．这样,对开区间（ａ,b)内每个值ｘ,都对应一个确定的导数f′（x）,于是在区间(a,ｂ）内，f′(x）构成一个新的函数，把这个函数称为函数ｙ＝f(x)的导函数．记为f′（x）或y′（或y′x)．导函数通常简称为导数.
探究点一瞬时速度
思考1 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m）与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)＝-4．9t2+６.５t＋10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态?平均速度能否精确反映它的运动状态?
答用0≤t≤0。

5和１≤t≤2的平均速度错误!来粗略地描述其运动状态.
在0≤ｔ≤0。

５这段时间里，错误!=错误!=４。

０５(m／ｓ);
在1≤t≤2这段时间里,错误!=错误!=－8。

2（ｍ/ｓ).
平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度ｈ与起跳时间t的函数关系h(t）=－4.9t2+6。

5ｔ+1０，
易知h(＼ｆ(6５,49))=h(0）,错误!=错误!＝０,
而运动员依然是运动状态．
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
如求t=2时的瞬时速度，可考察在ｔ＝2附近的一个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度错误!的变化趋势,用式子
错误!错误!表示,这就是物体在t＝2时的瞬时速度.
例1 火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到10０m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?
解火箭的运动方程为h（t)=100t-＼ｆ(１，２）gt２,
火箭向上位移是初速度引起的位移（10０t)与重力引起的位移错误!的合成．
在t附近的平均变化率为
错误!
＝错误!
＝１00-gt-１
２
gΔt.
当Δｔ→0时,上式趋近于10０－gt。

可见t时刻的瞬时速度ｈ′（t)＝100-gｔ.
令h′(ｔ）=100-gt=0,
解得ｔ=＼f(１00，g)≈＼f(100,9.8）≈1０.2（s)．
所以火箭熄火后约1０.２ s向上速度变为0。

反思与感悟瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．要求瞬时速度，可以先求平均速度．思考3 火箭向上速度变为0，意味着什么?你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗?
答火箭向上速度变为0,意味着火箭处于上升阶段的最高点处,即火箭达到了最大高度,由例１知火箭熄火后上升的时间为t=错误!,所以火箭熄火后上升的最大高度ｈ＝1０0×错误!－错误! g×错误!2＝错误!≈５10。

2(m）．
跟踪训练1 质点Ｍ按规律s(ｔ)＝at2＋1做直线运动（位移单位：ｍ,时间单位:s)．若质点M
在t＝２时的瞬时速度为8 m／ｓ，求常数a的值．
解∵Δs=ｓ（2+Δt)－ｓ(２)
=a（2+Δｔ)２＋1-a·２2-１=４aΔt＋ａ(Δt）2，
∴错误!＝4a＋aΔt.在ｔ=2时,瞬时速度为错误!错误!=4a,
即４a=8,∴ａ＝2.
探究点二导数的定义
思考 1 从平均速度当Δt→0时是瞬时速度,推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？
答对函数y＝f（x)来说,f(ｘ)在点x=ｘ0附近改变Δx时，平均变化率为＼f（fｘ０＋Δx-f x0,Δx）.
当Δx→0时，如果平均变化率趋于一个常数l，则l称为函数ｆ（x)在点x０的瞬时变化率．思考２导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用?
答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
思考３导函数和函数在一点处的导数有什么关系？
答若函数ｆ(x)在区间(a,b）内可导,对(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f′(x）,f′(ｘ）就叫函数y＝f（x）的导函数.
函数f（x)在点x=x0处的导数是导函数y=f′(x)在x＝ｘ0处的函数值．
例2 利用导数的定义求函数f(x)＝-x2＋３x在x＝2处的导数．
解由导数的定义知,函数在ｘ=２处的导数
ｆ′（２)＝错误!错误!,
而ｆ（２+Δx)－f(２）
=－(2+Δx）２＋3（2+Δx)-(－２２+３×2)
=－(Δｘ）２-Δx,于是
ｆ′(２)＝错误!错误!=错误!(-Δx－１）＝－1。

反思与感悟求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δｙ=f（ｘ0+Δx)-ｆ（x0);
(2)求平均变化率＼ｆ（Δy，Δx）＝f x
０
＋Δx－f x０
Δx
；
（3)取极限，得导数f′（x0）＝错误!错误!.
跟踪训练２利用导数的定义求下列函数的导数:
（1)y=x2+aｘ＋b在x=0处的导数；
(2)y=错误!在x＝2处的导数．
解（1）∵Δy=f（0+Δx）－ｆ(０）＝(0＋Δx）２+a（0＋Δx）+b－02-ａ·０-b=(Δx）2＋a(Δｘ）,
∴错误!＝错误!＝Δx+a,
∴ｙ′|x＝0=错误!错误!＝错误!(Δx+a)＝a。

(2)∵Δｙ＝＼r(２＋Δx+2）－错误!＝错误!－2,
∴＼f（Δｙ,Δｘ）＝错误!=错误!
=错误!.
∴f′(2）＝错误!错误!=错误!错误!=错误!.
探究点三导数的实际应用
例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm,加热后铁板会膨胀.当温度为t℃时,边长变为1０（1+at) cm,a为常数,试求铁板面积对温度的膨胀率.
解设温度的增量为Δt,则铁板面积S的增量为
ΔS=10２[1+a(t＋Δt）]2－10２(1＋ａt)2
=20０（ａ+ａ2ｔ)Δt＋100a2(Δt)2，
因此错误!＝2０0(a+ａ2t)＋１00a2Δｔ。

令Δt→0，得S′＝200(ａ＋a2t).
所以铁板对温度的膨胀率为200（a＋a２t)．
反思与感悟函数的平均变化率和瞬时变化率的关系:
平均变化率错误!＝错误!,当Δx趋于０时,它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率,即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外,它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
跟踪训练３将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度（单位：℃)为y=f（ｘ)＝x2-7x＋15（0≤ｘ≤8）.计算第２ h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解在第２ｈ和第６ h时,原油温度的瞬时变化率就是f′(２)和ｆ′(6）.
根据导数的定义,＼f（Δy，Δx)＝错误!
=错误!
＝错误!=Δx-３,
所以，f′(2）＝错误!错误!＝错误!（Δx-3)＝－3.
同理可得，ｆ′(6）＝5．在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3与5.它说明在第２ｈ附近,原油温度大约以3 ℃/ｈ的速率下降；在第６ h附近,原油温度大约以5 ℃/ｈ的速率上升．
１.一物体的运动方程是s＝错误!aｔ2(a为常数），则该物体在t＝t０时的瞬时速度是（ )Ａ．ａt0B．－aｔ0 C。

＼ｆ(1，2)ａt0Ｄ．２at0
答案A
解析Δs
Δt
＝错误!＝错误!aΔt+ａt0,∴lｉ错误!错误!=at0.
2．函数f（x）在x０处可导，则错误!错误!( )
Ａ.与x０、h都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与ｘ0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
３.已知f(x)＝－x2＋10,则ｆ（ｘ）在x＝错误!处的瞬时变化率是( ）
Ａ.３ B.-３ C.2 D.－２
答案Ｂ
解析∵错误!=错误!＝－Δx-３,
∴li错误!错误!＝－3．
4.已知函数ｆ（x）＝错误!,则ｆ′（1)=＿__＿____。

答案－＼ｆ（1，2）
解析f′（１)＝错误!错误!＝错误!错误!
＝错误!错误!＝-错误!.
[呈重点、现规律]
1.瞬时速度是平均速度当Δt→０时的极限值;瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．
２.利用导数定义求导数的步骤:
（１)求函数的增量Δy＝f(x０+Δｘ）-f(ｘ0)；
（2）求平均变化率错误!;
(3）取极限得导数f′（ｘ0)＝错误!错误!．
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

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用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。

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