湘教版高中数学《计算函数零点的二分法》课件

次数
a，－
b，+
m ab 2
f(x)的近似值 区间长b－ a
1
1
2
1.5
－0.09 1
2
1.5
1
1.75
0.31
0.5
3
1.5
1.75
1.625
0.11
0.25
4
1.5
1.625
1.5625
0.009
0.125
5
1.5
1.5625 1.53125 －0.04 0.0625
6
1.53125 1.5625 1.546875 －0.02 0.03125
F k，a a sin k cos k ak 0.
180
下面根据实际问题取a=3，记f(k)＝F(k，3)，得到方程
f(k) 3sin k cos k k 0.
60
三 数学实验
设方程的解为k*，以下分三步进行： 第一步，确定k*的大致范围．取k＝60，得f(60)＝1.299…＞0，取k＝90，得 f(90)＝－1.57…＜0，可见k*∈(60，90)． 第二步，通过二分法迭代计算可得出k*∈(74.6，74.7)．暂将区间(74.6，74.7) 的中点作为解的近似值，即取k*≈74.65. 第三步，在原问题中，R＝1m，当∠AOM＝74.65°时，有OM＝Rcos 74.65° ≈0.2647m．又知道k*的准确值在74.6到74.7之间．由于Rcos 74.6°≈0.2656m，Rcos 74.7°≈0.2639m，可见我们的解答结果的实际误差在1mm之内．
输入a，b ， ε
m ab 2 是
|m－a|＜ε
否
是
f(x)=0
否
否
b=m
f(m) ·f(a)>0
是
a=m
输出x=m 结束
一 计算函数零点的二分法
例 5 求曲线y=ln x和直线x+y=2的交点的横坐标(误差不超过0.01). 解 直线方程x+y=2可改写为函数形式y=2－x，于是交点的横坐标x应满足等式
7
1.546875 1.5625 1.5546875 －0.004 0.015625
一 计算函数零点的二分法
得出零点的近似值为1.555，误差不超过0.008.因此曲线y=ln x和直线 x+y=2的交点的横坐标约为1.555.
一 计算函数零点的二分法
练习
1.用二分法求方程x2+x－1=0的根的近似值（误差不超过0.001）. 2.借助计算器或计算机，用二分法求方程x3－x－1=0在区间［1，2］上的根的近
解 已经知道f(0)＞0，f(1)＜0,这是出发点；然后一次次缩小零点所在区间： 第一次，取［0，1］的中点 0 1 0.5，用计算器或计算机求出f(0.5)≈0.38＞ 2
0， 由于f(0.5)·f(1)＜0，可知零点在［0.5，1］上； 第二次，取［0.5，1］的中点 0.5 1 0.75，求出f(0.75)≈－0.27＜0，由于 2
2 列出表格：
一 计算函数零点的二分法
从表中计算数据看出，计算到第10次，包含零点的区间长度小于0.002.取此区 间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.001.于是可取0.653作为零点的近似值.
从上述计算过程，可以看出用二分法求函数零点近似值的一般操作方法. 设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上
似值（误差不超过0.001）．
3.求曲线y=lg x和直线y=3－x的交点的横坐标（误差不超过0.01）.
一 计算函数零点的二分法
多知道一点
程序框图
程序框图是一种用程序框、流程线以及文字符号说明来表示解决某一类问题
的程序(步骤)的图形.下表列举了几个基本的程序框和它们表示的功能.
名称
图形
功能
终端框（起止框）
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
数据的输入或者结果的输出
处理框（执行框） 判断框（选择框）
流程线
赋值、计算，传送结果
根据给定条件判断，成立时 出口为“是”，否则为“否”
连接程序框，表示流程方向
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目
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二 习题4.4
二 习题4.4
学而时习之
1.讨论下列函数的零点个数：
(1) f(x)=ex－1+4x－4 ；
计算函数零点的二分法
CONTENTS
目
1
计算函数零点的二分法
录
2
习题4.4
3
数学实验
一 计算函数零点的二分法
一 计算函数零点的二分法
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了 故障.这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆.想一想：维修 工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？
f(0.5)·f(0.75)＜0，可知零点在［0.5，0.75］上； 第三次，取［0.5，0.75］的中点 0.5 0.75 0.62，5 求出f(0.625)≈0.07＞0，由 2
于f(0.625)·f(0.75)＜0，可知零点在［0.625， 0.75］上.
一 计算函数零点的二分法
为了表述清楚，记零点所在区间为［a，b］,其中点 m 1 a b . 继续计算
6.函数f(x)=x2－2x+a在区间(－2，0)和(2，3)内各有一个零点，求实数a的取
值范围.
*7.参考前面的二分法步骤框图编写程序，求函数f(x)=ln x－1的零点的近似值
(误差不超过0.01% ).
二 习题4.4
8.（数学探究活动）仔细观察本节例4 表格中的计算数据. 第二次运算求出 f(0.75)≈－0.27，而第三次运算求出f(0.625)≈0.07. 区间［0.625，0.75］左端处函 数值绝对值0.07要比右端处函数值绝对值0.27小得多. 一个合理的想法是：函数的 零点可能更接近区间的左端.如果下一个点不取中点，而按照两端函数值绝对值大 小的比例来分割区间，是不是更合理呢？尝试把这个想法实现为一系列操作步骤， 列表做例4，与二分法做比较.
(4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5) f(m)与f(a)同号则令a =m，否则令b=m，再执行(2).
一 计算函数零点的二分法
想一想：步骤(5)的根据是什么？计算一定会终止吗？要取多少次中点？ 参考上述操作步骤，可以画出程序框图（图4.4-5）：
开始
定义f(x)
似值(误差不超过0.01)．
二 习题4.4
温故而知新
5.若a<b<c，则函数f(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a)的两个零
点分别位于区间（
）
(A) (a，b)和(b，c)内
(B) (－∞，a)和(a，b)内
(C) (b，c)和(c，+∞)内 (D) (－∞，a)和(c，+∞)内
(2)
f(x)=
1
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
x
.
2.用图象法判定方程log2x=－(x－1)2+2的根的个数．
3.借助计算机作出函数f(x)= 1 x3 4x 4 的图象，并讨论方程 1 x3 4x 4 0
3
3
的根的个数与分布情况.
4.借助计算器或计算机，用二分法求方程2－x=x+2在区间[－1，0]上的根的近
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三 数学实验
三 数学实验
用二分法求方程的近似解 实际问题：如图1(a)，有一个轴线水平放置的直径为2m的圆柱形储油罐， 当储油量为油罐容积的 2 时，油的深度是多少?
3
图1
三 数学实验
问题可以化为更一般的数学问题：如图1(b)，弦AB把半径为R的圆分成两块，
1 要使较小的一块是圆面积的 a ，如何确定弦AB到圆心的距离？
如图4.4-4，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的 中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所 用的这种方法称作二分法.
图4.4-4
二分法还可以用来寻找函数的零点，迅速地缩小搜索范围，接近零点的 准确位置.
一 计算函数零点的二分法
例 4 在例3中，我们已经说明了f(x)=x3－3x2+1在［0，1］上恰有一个零点. 试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值(误差不超过0.001).
的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0 |≤ε.
(1)在D内取一个闭区间［a，b］⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)＜0；
(2)取区间［a，b］的中点 m 1 a b ；
2
(3)如果|m－a|＜ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止；
三 数学实验
因此油的深度为1+0.2647＝1.2647（m）. 使用“网络画板”或“超级画板”中的表达式测量和动画按钮赋值功能， 可以用鼠标操作控制二分法计算步骤，如图2.
图2
三 数学实验
如图3，左边是二分法的通用程序，右边是它在“超级画板”的程序工作区 运行4.4.2节例4 中的问题的情形．
ln x=2－x，即ln x－2+x=0，即交点的 横坐标是函数y= f(x)=ln x+x－2的零点
(参看图4.4-6).
图4.4-6
一 计算函数零点的二分法
由f(1)=－1<0和f(2)=ln 2>0可知f(x)在区间(1，2)内有一个零点；由f(x)单
调递增可知它只有这一个零点. 用二分法计算，列表如下：
设AB的中点为M，∠AOM＝k°，则弦AB到圆心的距离OM＝Rcos k°.这时，
扇形OAB的面积是 k R2 ，而△OAB的面积是 R2 sin k cos k ，于是，问题化为求
180
满足下列等式的数k：
k R2 R2 sin k cos k R2 .
180
a
化简后得到关于未知数k的方程：
图3
返
回
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结束