高考总复习之正态分布(-教师版)

(-教师高考总复习之正态分布
版)
专题正态分布
【高考会这样考】
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【复习指导】
掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数卩、C的含义，会由其对称性求
解随机变量在特定区间上的概率.
基础梳理
1 •正态曲线及性质
2
(1) 正态曲线的定义
3
4
2. 正态分布
函数正态分布的表示 2 *o （ 0>0）为参数，我们称 正态正布密度在三个特殊区曲内取值的概率值
（2①态曲线的祈析蚊°）=0.682 6；
① 指数的自变量吾对定义域超.954 4；X €（—乂，+乂）.
② 解析式中含有两个常数:o ） = n 和97,4这是两个无理数.
③ 解析式中含有两个参数：卩和0-,其中卩可取任意实数， Q0这是正态分布的
两个特征数.
1
④ 解析式前面有一个系数为，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，
y 2 ncr
x 一 H 2
幕指数为—一一L.
2 CT x 2
2 2
,x R
机,d （x ）的图象（如图）为
六条性质
正态曲线的性质...
1 x— it2
正态曲线机«x) = _ - e—_2'2 , x € R有以下性质: 72nd 2'
(1) 曲线位于.x轴上方，与.X,轴不相交；…
(2) 曲线是单峰的，它关于直线…X三也对称；
⑶曲线在x盘倡处达到峰值.d i n?..
⑷曲线与X轴围成的图形的面积为.…1 ；
(5) 当.'一定时，曲线随着…t的变化而沿.._x _轴平移;…
(6) 当…丛一定时，…曲线的形状.由d确定，'越小，曲线越一“瘦高”…，表示总体的.
分布越集中;..一..d越大,…曲线越…“矮胖”一，表示总体的分布越分散:..…
三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概…一. 率.•…落在.三个邻域之外是小概率事件，.这也是对产品进行质量检测的理论依据:
5
6
双基自测
1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,
解析 由 P(Ev 4) = 0.8 知 P(E>4)= P(Ev 0) = 0.2, 故 P(0v Ev 2)= 03故选 C.
3. (2010 广东)已知随机变量X 服从正态分布N(3,1)，且P(2<X W 4)= 0.682 6, 则P(X >4)等于( ).
A . 0.158 8
B . 0.158 7
C . 0.158 6
D . 0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线 x = 3对称，二P(X >4) = 0.5—1
1
P(2< X < 4) = 0.5— 2X 0.682 6= 0.158 7故选 B.
4 . (2010 山东)已知随机变量X 服从正态分布 N(0, /)，若P(X>2) = 0.023,则 P(— 2< X < 2)等于( ).
A . 0.477
B . 0.628
C . 0.954
D . 0.977
解析 P(— 2< X < 2)= 1— 2P(X>2) = 0.954.
5.设随机变量X 服从正态分布N(2,9)，若P(X>c + 1)= P(X<c — 1),贝U c 等于 ().
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
c + 1 + c 1
解析•尸2,由正态分布的定义知其函数图象关于
x = 2对称，于是 - =2,二 c = 2.
x — 102 8，
则这个正态总体的平均数与标准差分别是 A. 10 与 8 B . 10 与 2 C . 8 与 10
D . 2 与 10 釘十厂小1 x —102 1
x —卩2 解析 由e —
8 = e e — 2 2 , 寸8 n
8 p 2 n (r 2 ① 2. (2011湖北)已知随机变量E 服从正态分布 可知(T = 2, [i= 10. N(2, /),且 P(Ev 4)= 0.8, A . 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
考向一正态曲线的性质
【例1】？若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
1
4顷.
(1) 求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2) 求正态总体在(-4,4］的概率.
［审题视点］要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数卩，c的值，其中卩决定曲线的对称轴的位置，c则与曲线的形状和最大值有关.
解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对
1 1 、
称，即尸0.由尸=k ，得尸4，故该正态分布的概率密度函数的解析式寸2nc寸2冗4
是
1 x2
柿，狀戶乔-32, x€ i，i).
(2)P(-4<X< 4) = P(0- 4<X< 0+ 4)
=P( p— c<X W p+ C —0.682 6.
7
解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响.
【训练1】设两个正态分布N（w,赦声＞0）和N（烬，d2）（o2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）.
A.卩＜襌，由＜出
B.小＜図，4＞出
C.屈＞爲VVd2
D. 2 ＞p2， *＞手
解析根据正态分布N（p，（?）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x = 平缓；反过来，？越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选 A. 答案A
考向二服从正态分布的概率计算
[例2】？设X〜N(1,21 2)，试求
1
解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x = 1对称，所以P( E>2)= P( g 0)= 0.3, P( g 2)= 1 —0.3= 0.7.
考向三正态分布的应用Lt
8
(1) P(—1<X < 3);
(2) P(3<X< 5);
(3) P(X > 5).
[审题视点]将所求概率转化到(卩—硏叶间.(卩―2 c,叶2o]或[卩―3叭叶3 c] 上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解.
解T X 〜N(1,22), • • fj.-— 1, O J— 2.
(1) P(—1<X < 3)—P(1 —2<X < 1 + 2)
—P( j—O<X W j+ 0 —0.682 6.
(2) T P(3<X W5)—P( —3<X<—1),
1
• P(3<X W 5) —2[P(—3<X W 5)—P( —1<X W 3)]
1
【例3】?2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 升,并且汽车的耗油量E服从正态分布N(8, d)，已知耗油量& ［7,9］的概率为0.7,那么耗油量大于9升的汽车大约有
________ 辆
［审题视点］根据正态密度曲线的对称性求解.
解由题意可知E〜N(8, d)，故正态分布曲线以卩=8为对称轴，又因为
P(7< &C9) = 0.7, 故P(7< 9) = 2P(8< 梓9) = 0.7,所以P(8< 齐9) = 0.35, 而P( 8) = 0.5，所以P( E> 9) = 0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200X 0.15= 180 辆.
9
—2【P(1 —4<X W 1 + 4) —P(1—2<X W 1 + 2)] —2【P( j—2(<X W j+ 2 0—P( j_ 0<X W j+ 0] 1
—(0.954 4—0.682 6)
—0.135 9.
(3) T P(X > 5)—P(X w —3),
1
• P(X > 5) —2【1 —P( —3<X W 5)]
1
—2[1—P(1 —4<X W 1+ 4)]
1
—2【1 —P( j—2 o<X W j+ 2 0]
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求服从正态分布的随机变量在某个区
间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个
区间上.
【训练2】随机变量E服从正态分布N(1, d2),已知P( g0)= 0.3,则P( g 2)
服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和
x轴之间的曲边梯形的面积，根据
X1 + x2
正态密度曲线的对称性，当P( A X1)= P( EV X2)时必然有=卩，这是解决正态分布类试题的一个重要结论.
1
【训练3】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N 4, 9，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5］这个尺寸范围的零件大约有多少个？
1 1
解T X〜N 4，9，二尸4， 0= 3.
•••不属于区间(3,5］的概率为
P(X< 3)+ P(X> 5)= 1 —P(3V X< 5)
=1 —P(4 —1V X < 4+ 1)
=1 —P(卩一3 oV X w 卩+ 3 0
=1 —0.997 4= 0.002 6" 0.003,
••• 1 000X 0.003 = 3(个)，即不属于区间(3,5］这个尺寸范围的零件大约有 3
阅卷报告19——正态分布中概率计算错误
【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然 不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的 一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误.
【防范措施】 对正态分布N （« C ）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透 彻并记住，且注意第二个数值应该为 c 而不是c 同时，记住正态密度曲线的
六条性质.
分以上的考生所占的百分比为（ ）. A . 0.3%
C . 1.5%
态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错. 实录同学甲 A 同学乙 B 同学丙 C
正解依题意，尸116, 0= 8，所以 U 3 c — 92，卩+ 3 0— 140,而服从正态分布
的随机变量在（厂3 c ，叶3®内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间（92,140 内的考生所占百分比约为 99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比
答案 D
个.
【示例】？已知某次数学考试的成绩服从正态分布
N(116, 64)，则成绩在 140
0.23% 0.15% 错因（1）不能正确得出该正态分布的两个参数 卩,
c 导致计算无从下手.（2）对正 “ 1-99.7% 为 2
=0.15%.故选 D.
_ _ 1
【试一试】在正态分布NO, 9中，数值落在( — 8,— 1)U (1,+x )内的概率
为()•
A. 0.097 B . 0.046
C. 0.03 D . 0.002 6
1
解析•••卩=0, 6= 3，二P(x V—1 或x > 1) = 1 —P( —K x< 1) = 1 —P(卩―
3 o< x < 卩+ 3 6 = 1 —0.997 4= 0.002 6.
答案D
—2^ (1—0.954 4)—0.022 8.。