复杂载荷下弯管的极限载荷

复杂载荷下弯管的极限载荷
李建;周昌玉
【摘要】考虑几何和材料的非线性相互作用,采用有限元方法研究复杂载荷下弯管的极限载荷.通过对比过去的研究成果,分析了内压、面内弯矩及其组合下的极限载荷规律.根据有限元结果,研究了直管强化及内压的强化对极限载荷的影响.最后提出了弯矩以及内压、弯矩联合作用下的极限压力、极限弯矩与弯管几何尺寸的定量关系.提出的计算公式扩大了弯曲系数λ的使用范围,反映了弯管强化作用.
【期刊名称】《南京工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(036)006
【总页数】5页(P83-87)
【关键词】弯管;面内弯矩;内压;极限载荷;有限元
【作者】李建;周昌玉
【作者单位】南京工业大学机械与动力工程学院,江苏南京211800;南京工业大学机械与动力工程学院,江苏南京211800
【正文语种】中文
【中图分类】TQ055.8
弯管是压力管道系统中的重要组成部分,广泛应用于石油、化工及核电行业。

弯管既可以改变管线的方向,又可以通过其局部变形吸收系统中由于热膨胀等因素产生的力和力矩,同时释放出能量[1]。

因此,弯管对于维护管道系统的完整性起到十分重
要的作用,研究弯管的极限载荷意义重大。

Chattopadhyay等[2-3]研究了内压对弯管极限弯矩的影响,并根据有限元分析结果提出了内压与弯矩作用下弯管极限载荷经验公式。

Kim等[4-5]和Min等[6]通过对弯管的有限元分析,研究了内压及弯矩单独作用时直管对极限载荷的影响。

Michael等[7]通过有限元模拟研究了弯矩载荷下,截面椭圆化及壁厚不均匀性对极限载荷的影响。

由此可见,研究人员对弯管极限载荷的研究开展了大量工作,但复杂载荷下弯管极限载荷分析仍然不完善,复杂载荷下弯管结构及尺寸变化对极限载荷的影响规律有待深入探讨。

在弯矩及内压弯矩联合作用时,由于几何和材料的非线性相互作用,弯管常常表现出与直管截然不同的力学特性,弯管的塑性破坏行为非常复杂。

笔者通过三维非线性有限元分析,研究内压、弯矩及其联合作用下弯管的极限载荷,对过去的研究作进一步完善。

1 研究方法
1.1 模型尺寸
本文研究选用的弯管尺寸为外直径Do=323.9 mm,弯曲角度为90°,为了降低直管长度对弯管极限弯矩的影响[6],直管应足够长(L>3ro，其中：L为相连直管段长度;ro为弯管截面外半径[8],取为1 000 mm)。

弯管厚度T分别设为7.15、14.3、21.45和28.6 mm。

弯曲半径R分别设为338.05、438.05、538.05和638.05 mm。

根据4水平2因素的全析因设计,组成16组不同尺寸的模型。

详细尺寸如表1所示。

表1 弯管尺寸Table 1 Dimension parameters of elbow编号弯管尺寸
/(mm×mm)弯曲半径R/mm 1#ϕ323.9×7.15338.05 2#ϕ323.9×14.3338.05 3#ϕ323.9×21.45338.05 4#ϕ323.9×28.6338.05 5#ϕ323.9×7.15438.05
6#ϕ323.9×14.3438.05 7#ϕ323.9×21.45438.05 8#ϕ323.9×28.6438.05
9#ϕ323.9×7.15538.05 10#ϕ323.9×14.3538.05 11#ϕ323.9×21.45538.05 12#ϕ323.9×28.6538.05 13#ϕ323.9×7.15638.05 14#ϕ323.9×14.3638.05 15#ϕ323.9×21.45638.05 16#ϕ323.9×28.6638.05
1.2 有限元模型
有限元建模采用ABAQUS软件。

根据几何及载荷的对称性,建立1/2结构的有限元模型,边界条件见图1。

内表面施加内压,右端面施加相应的轴向力。

对称面上采用XOY面内的对称约束;左端面为固定约束。

右端面建立一个点面耦合约束,采用分布耦合,施加弯矩,载荷施加见图2。

有限元单元为六面体20节点二次减缩单元(C3D20R),有限元网格如图3所示。

1.3 极限载荷的确定
设定材料弹性模量E=160.5 GPa,泊松比γ=0.3，屈服强度σf=66.1 MPa。

由有限元计算获得载荷-变形曲线,并应用2倍弹性斜率准则确定极限载荷。

图1 模型的边界条件Fig.1 Finite element model with boundary condition
图2 模型的载荷施加Fig.2 Finite element model with loads
图3 有限元网格 Fig.3 Finite element mesh
2 弯管极限载荷研究
2.1 极限内压
内压作用下的极限载荷研究已经比较成熟。

Goodall[9]根据弯管的膜应力解得出极限载荷的下限计算式,给出了弯管的极限压力的计算式见式(1)。

式中:po为弯管极限内压;r为弯管截面平均半径。

郭茶秀[10]得出的弯管极限压力的计算式见式(2)。

式(1)和式(2)是目前常用的极限内压解析解。

图4
为式(1)和式(2)的极限内压解析解与有限元结果的对比。

定义为相同尺寸直管的极限载荷为弯管的相对极限内压。

以R/r值表示弯管的弯曲程度,R/r大,表示弯管弯曲程度小;以r/T值表示弯管薄厚程度,r/T大,表示弯管薄。

由式(1)、式(2)及图4可知,弯曲程度大而管壁薄的弯管,极限内压小;弯曲程度小而管壁厚的弯管,极限内压大。

式(2)解析解比式(1)解析解更接近于有限元解。

以上结果同时也证明了有限元分析结果的有效性和可靠性。

2.2 极限弯矩
弯矩作用下弯管极限载荷研究较内压复杂,研究结果众多。

不同的研究结论适用于一定范围内的弯曲系数λ,超出一定的范围,结果偏差会很大。

图4 极限内压解析解与有限元结果比较Fig.4 Comparison of theoretical limit pressure solutions with the FE results
早期研究主要是基于小变形假设,不考虑弯管的几何非线性。

比较典型的结论是Calladine[11]根据经典的极限分析理论得到的下限值。

Goodall[9]在小变形塑性极限弯矩的基础上,考虑大变形的影响,确定了弯管的塑性极限弯矩的计算式(式(3))。

式中:Mo为弯管极限弯矩;β为修正系数。

Kim等[4]用非线性有限元方法考虑弯管的几何非线性后得到弯管塑性极限载荷。

式中：为相同尺寸直管的极限载荷；为弯管的相对极限弯矩。

图5 式(3)、式(5)大变形结果与有限元结果比较Fig.5 Comparison of Eq.(3) and Eq.(5) based on large displacement analysis with the FE results
图5表示有限元结果与Goodall[9]、Kim等[4]的结果比较,图5中的纵坐标为对数坐标，Kim等[4]较Goodall[9]研究结果大,有限元结果与Kim等[4]结果很接近。

对式(3)～式(7)以及图5中的不同研究结果分析可以看出,弯曲半径越大，壁厚越薄的弯管极限弯矩越小，反之亦然。

该结论与弯管极限压力具有一致性。

Goodall[9]的研究没有考虑直管的作用,Kim等[4]的研究考虑了直管作用。

因为直管对弯头部位具有强化作用[6],因此，有限元结果比Goodall[9]的结果偏大,随着弯曲半径的增加,强化作用减弱。

总而言之,弯曲程度越大,管壁越薄,直管的强化越明显,同样大变形的弱化作用也越明显。

为寻求能反映极限载荷变化规律的简单表达式,将Kim等在文献[4]中的数据采用另一种形式回归分析,可得到与式(5)不同的式(8)。

可以直观地看出上述分析结果,厚度是影响极限载荷的主要因素,直观明了地反映极限载荷的规律。

根据本文有限元计算结果,按照式(8)形式回归式见式(9)。

(9)
图6表示本文有限元结果及式(9)回归结果。

图6的纵坐标为对数坐标。

由图6可见,本文有限元回归获得的式(9)与文献[4]数据回归得到的式(8)系数和指数均很接近。

从另一角度验证本文提出公式形式的一般性、可重复性、有效性和准确性,同时本文的结果扩大了弯曲系数λ的使用范围。

图6 有限元结果以及拟合式(9)对比Fig.6 Limit moment based on large displacement analysis with the FE results and the prediction of Eq.(9)
2.3 内压和弯矩共同作用的极限载荷
Kim等[12]通过小变形有限元模拟提出了式(10)。

式中:ML为组合载荷下弯管极限弯矩;pL为组合载荷下弯管极限内压。

从式(10)可以看出：弯矩ML随着压力pL的增大而减小,内压的存在会减弱极限弯矩,且随着内压的增加,极限弯矩逐渐降低。

目前的研究结果说明,若考虑大变形的影响,内压对弯管具有强化作用,随着内压的增加,弯管的极限弯矩先增大后减小。

弯矩载荷存在时,弯管截面易发生椭圆化,一定程度减小截面的净惯性矩,导致极限弯矩相对于圆截面时减小。

而内压的存在会一定程度地阻碍截面椭圆化,提高弯管的极限弯矩。

当内压增加到一定值时,极限弯矩也是随着内压的增加而减小,这是因为弯头部位的应力尤其是环向应力随之增大进而掩盖了内压的强化作用[3]。

Chattopadhyay等[3]通过有限元模拟得到式(11)
mL=1.122λ2/3+0.175X/λ-0.508X2(0.24≤λ≤0.6,0≤pL≤1.0)
(11)
式中:为组合载荷下弯管相对极限弯矩;X=pLr/(Tσf)为组合载荷下弯管相对极限内压。

图7表示本文有限元结果与式(11)回归结果的对比。

由图7可知,有限元结果与Chattopadhyay等[3]的结论一致,但部分数据误差还较大。

与此同时,式(11)的表达形式以及图7也没能反映内压对弯管的强化与弯管几何特征的关系。

笔者提出以ML/Mo-pL/po曲线表示内压弯矩共同作用时的极限载荷,曲线与两坐标轴围成的区域可以很好地表示这种强化作用。

所围的面积越大,强化作用越强。

有限元结果如图8所示,有限元结果还进一步说明内压的强化作用随着r/T的增大而增强,随着R/r的减小而增强。

壁厚对内压的强化起主导作用。

由于弯管的极限弯矩随着内压的增大先增大后减小,根据有限元结果回归公式见式(12)。

(12)
其中：
图7 有限元结果与公式(11)对比Fig.7 Comparison of the FE results and Eq.(11) 图8 内压弯矩组合作用下的极限载荷Fig.8 Combined pressure and in-plane bending limit loads with FE results
3 结论
1) 弯管只受内压载荷时,极限压力有限元解与理论解相吻合。

说明目前理论研究成
果能够完全说明内压下弯管的极限载荷规律。

2) 只受弯矩载荷时,有限元计算结果表明弯曲半径越大，壁厚越薄，极限载荷越小。

弯管弯曲半径越大且管壁厚越薄时,直管的强化明显。

笔者给出了极限弯矩计算公式,扩大了弯曲系数λ的使用范围。

3) 内压弯矩组合作用时,有限元结果证明了大变形时,内压对弯管极限弯矩的强化作用,弯管弯曲半径大且管壁薄,强化作用强。

笔者提出了能够反映弯管强化的极限压
力和极限弯矩表达式。

参考文献：
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