2020-2021学年人教A版高中数学必修五：单元评估验收(二)

2020-2021学年人教A版高中数学必修五：单元评估验收（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n＝2 014，则序号n等于( )
A．667B．668C．669D．672 2．数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若
S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2B．－1
C．0D．1
3．公比为2的等比数列{n a} 的各项都是正数，且3a11a=16，则5a= ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．数列{a n}的通项公式是a n＝(n＋2)9
10n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，那么在此数列中( )
A．a7＝a8最大B．a8＝a9最大
C．有唯一项a8最大D．有唯一项a7最大5．数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44B．3×44＋1
C．44D．44＋1
6．数列{(－1)n·n}的前2 013项的和S2 013为( )
A．－2 013B．－1 017
C．2 013D．1 007
7．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2
B ．1或－2
C ．1或2
D ．－1或－2
8．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1
n
a 的前5项和为 A ．
158
或5 B ．
3116
或5
C ．
3116
D ．
158
9．已知数列{}n a ，2
2n a n n λ=-+,若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6)
B ．(－∞，4]
C ．(－∞，5)
D ．(－∞，3]
10．在数列{a n }中,a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n≥2,n ∈N *),则
3
5
a a 的值是( ) A ．
1516
B ．
158
C ．
34
D ．38
11． 某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年
平均增长率为( )
A ．q
B ．12q
C ．(1＋q )12
D ．(1＋q )12－1
二、多选题
12．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
三、填空题
13． 设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为
12，前三
项的积为48，则它的首项是________.
14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6=__．
15．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则该数列的通项公式n a =______
16． 设数列{a n }的前
n 项和为S n (n ∈N *)，有下列三个命
题：
①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1； ②若S n ＝a n (a 为非零常数)，则{a n }是等比数列； ③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列. 其中真命题的序号是________.
四、解答题
17．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2． (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7．问：b 6与数列{a n }的第几项相等？
18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.
19．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为1
,n n n
S b S =. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T
20． 求数列
1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项
和.
21． 等差数列{a n }前
n 项和为S n ，已知232S a =，且
S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.
22．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.
(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
(2)证明： 121113 (2)
n a a a +++<.
参考答案
1．D 【解析】
由数列的通项公式有：2 014＝1＋3(n －1)， 解得n ＝672. 本题选择D 选项.
2．B 【解析】
等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋b n ，不含常数项，
题中的通项公式即：2
21n S n n λ=+++，
所以λ＝－1. 本题选择B 选项.
点睛：等差数列与函数的区别：一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数；二是公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.
3．A 【解析】
试题分析：在等比数列中，由31116a a ⋅=知74a =，7
514
a a ==，故选A ． 考点：等比数列的性质． 4．A 【解析】
n a =(n+2)⎛⎫
⎪⎝⎭
n 910，()1
19310n n a n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以
1310
29
n n a n a n ++=⨯+， 令1
1n n
a a +≥，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞….
所以a 7＝a 8最大． 本题选择A 选项.
5．A
【解析】解：由a n+1=3S n ，得到a n =3S n-1（n≥2）， 两式相减得：a n+1-a n =3（S n -S n-1）=3a n ， 则a n+1=4a n （n≥2），又a 1=1，a 2=3S 1=3a 1=3，
得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列， 所以a n =a 2q n-2=3×4n-2（n≥2） 则a 6=3×44，选A 6．D
【解析】S 2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013
＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013) ＝(－1)＋(－1)×1 006 ＝－1 007. 本题选择D 选项.
点睛：分组转化法求和的适用范围：
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式．
7．A 【解析】
分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：
546,,a a a -成等差数列，
所以5642a a a -+=，
24442a q a q a ∴-+=，
220q q ∴--=，
()()120q q ∴+-=，
1q ∴=-或2，故选A.
点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用. 8．C 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q, ∵9S 3=S 6,
∴8(a 1+a 2+a 3)=a 4+a 5+a 6, ∴8=q 3,即q=2, ∴a n =2n-1,
∴1n a =112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
, ∴数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是首项为1,公比为1
2的等比数列, 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前5项和为
51112112
⎡⎤
⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3116. 故选C. 9．A 【解析】 【分析】
若数列{a n }为单调递减数列，则a n +1﹣a n ＜0对于任意n ∈N *都成立，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可． 【详解】
解：∵对于任意的n ∈N *，a n ＝﹣2n 2+λn 恒成立，
∴a n +1﹣a n ＝﹣2（n +1）2+λ（n +1）+2n 2﹣λn ＝﹣4n ﹣2+λ， ∵{a n }是递减数列， ∴a n +1﹣a n ＜0， ∴﹣4n ﹣2+λ＜0 ∴λ＜4n +2
∵n ＝1时，4n +2取得最小值为6， ∴λ＜6． 故选A ． 【点睛】
本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用． 10．C 【解析】
由已知得a 2=1+(-1)2=2,∴a 3·a 2=a 2+(-1)3, ∴a 3=
12,∴12a 4=1
2
+(-1)4, ∴a 4=3,∴3a 5=3+(-1)5,∴a 5=
2
3
, ∴35a a =12×32=3
4
.故选C. 11．D 【解析】
设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.
则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，
第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为212
11
1S S S S S -=-＝(1＋q )12－1. 本题选择D 选项.
12．BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 13．2 【解析】
设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±
2，又{a n }递增， 所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2.
14．63 【详解】
若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且等比数列{a n }是递增数列，
所以2
3131
1,4=4a a a q a ==∴=，即q=2,()
661611263112
a q S q --∴===--
故答案为：63 15．12n - 【分析】
根据1121S a =-求出1a ；利用11n n n a S S ++=-得到12n n a a +=，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果. 【详解】
由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-
11122n n n n n a S S a a +++∴=-=-，即12n n a a +=
又1121S a =-，则11a =
由此可得，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 则12n n
a
本题正确结果：12n - 【点睛】
本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用n S 证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式. 16．①③ 【解析】
易知①是真命题，
由等比数列前n 项和(
)1111111n
n n a q a a
S q q
q q
-=
=
----知②不正确，③正确． 据此可得真命题的序号是①③.
17．(1)a n ＝2n ＋2；(2)b 6与数列{a n }的第63项相等. 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，利用数列的通项公式表示已知条件，解方程组求出1a 和d ，写出通项公式；等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q ，列出2b 与3b ，解方程组求出1b 和q ，求出6b ，设{}n a 中的第n 项等于6b ，解出n . 试题解析：
(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.
又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)．
(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.
由128＝2n ＋2得n ＝63.
所以b 6与数列{a n }的第63项相等． 18．（1）(
)42n a n n N *
=+∈（2）详见解析
【分析】
（1）根据等差数列前n 项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式，由此求得数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的表达式，利用裂项求和法求得n T 的的表达式，进而根据单调性等知识求得n T 的取值范围. 【详解】
解：(1)解：因为数列{}n a 是等差数列， 所以()11n a a n d +-=，()
112
n n n S na d -=+
依题意，有527
22270,
.S a a a =⎧⎨=⎩
即()()()12
1
1151070
621a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得16a =，4d =.
所以数列{}n a 的通项公式为(
)42n a n n N
*
=+∈.
(2)证明：由(1)可得2
24n S n n =+.
所以()2
1112422n S n n n n ==++111()42
n n =-+. 所以123
111111n n n T S S S S S -=
++++
+=11111111143424435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111141142n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭11113111142128412n n n n ⎛⎫⎛⎫
+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
.
因为311108412n T n n ⎛⎫-
=-+< ⎪++⎝⎭，所以38
n T <. 因为11110413n n T T n n +⎛⎫
-=-> ⎪++⎝⎭
，所以数列{}n T 是递增数列，
所以116n T T ≥=，所以1368
n T ≤<. 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项和前n 项和基本量的计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题. 19．（1）22b n n n =+；（2）21
n
n +. 【解析】
试题分析：（1）求出等差数列的前n 项和，即可求数列{}n b 的通项公式；（2）直接利用裂项法求解数列{}n b 前n 项和n T ．
试题解析：（1）∵等差数列{}n a 中11a =，公差1d =
∴21(1)22
n n n n n
S na d -+=+=
∴212n n b S n n
=
=+ (2)∵222
(1)
n b n n n n ==++
∴
12311111111111
2[]2(1)
122334(1)223341
n b b b b n n n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯++21
n
n =
+ 点睛：本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点
的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；（2）
1
k
=；（3）
()()
1111
212122121
n n n n
⎛⎫
=-
⎪
-+-+
⎝⎭
；（4）()()()()()
1111
122112
n n n n n n n
⎡⎤
=-
⎢⎥
+++++
⎢⎥
⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
20．()
()
2
1
2
,1
2112
,1
1
1
n n n
n
n a
a a
S a na
a
a
a
-
⎧=
⎪⎪
-
=⎨+-
+≠
⎪-
-
⎪⎩
【解析】
试题分析：
当a=1时，由等差数列前n项和公式可得2
n
S n
=，当1
a≠时，错位相减可得
()
()
1
2
2112
1
1
n n n
n
a a a na
S
a
a
-
-+-
=+
-
-
，
据此可得数列的前n项和为()
()
2
1
2
,1
2112
,1
1
1
n n n
n
n a
a a
S a na
a
a
a
-
⎧=
⎪⎪
-
=⎨+-
+≠
⎪-
-
⎪⎩
.
试题解析：
当a＝1时，S n＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.
当a≠1时，
S n＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)a n－2＋(2n－1)a n－1，
aS n＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)a n－1＋(2n－1)a n，
两式相减，有：
(1－a)S n＝1＋2a＋2a2＋…＋2a n－1－(2n－1)a n＝
1＋2－(2n－1)a n，
此时S n＝＋.
综上，S n ＝
点睛：一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．
21．a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．
【解析】
试题分析：
由题意结合2
32S a =可得a 2＝0或a 2＝3，分类讨论可得：
a 2＝0时不合题意，a 2＝3，d ＝0或d ＝2.
则数列{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)． 试题解析： 设{a n }的公差为d .
由S 3＝a ，得3a 2＝a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )． 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；
若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )， 解得d ＝0或d ＝2.
因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．
22．（1）证明见解析，1
13322
n n a -+=；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比
数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1
n
a ，然后转化为等比数列求
和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22
n n a a ++=+，所以
11
2312
n n a a ++
=+
，所以12n a ⎧
+⎫⎨⎬⎩
⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =
312
n -. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n
a =-， 因为当1n ≥时，13123n
n --≥⋅，所以1
113123n n -≤-⋅，于是1
1a +21a +1
n
a 11113
3n -≤++
+
=31(1)23n -32
<， 所以
11a +2
1a +1n a 3
2
<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n ≥时，
13123n n --≥⋅，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.。