题型突破(06) 二次函数与几何综合类问题

在,请说明理由.
图Z6-2
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
1.[2018·怀化] 如图 Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交
于点 C,点 D 是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式.
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x 轴
15
(8)设过点 A(-1,0)和点 E - , 的直线的
24
的一个交点为 A(-1,0).
解析式为 y=k1x+b1,
(8)在 y 轴上是否存在一点 S,使得|SE-SA|的
不存在,请说明理由.
【分层分析】
图Z6-1④
点 A 关于 y 轴对称的点为点 A',要使 ME+AM=ME+MA'最小,根据两点之间线段最短,可知连接 EA',EA'与
y 轴的交点即为点 M,进而可求得点 M 的坐标.
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
(7)点 A 关于 y 轴对称的点为点 A',要使 ME+AM=ME+MA'最小,
中的抛物线上,且点 E 与点 A 在此抛
∵点 E 在抛物线 y=x2+4x+3 上,
图Z6-1②
物线对称轴的同侧,求 E 点的坐标;
【分层分析】
由 E 点到坐标轴的距离特征设出点的坐标,代入抛物线的
解析式求解.
(5)由点 E 是第二象限内到 x 轴,y 轴的距
1
∴5k=4k2-8k+3,解得 k=4或 k=3,
∴抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标
【分层分析】
为(-3,0).
抛物线与 x 轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称.
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x
轴的一个交点为 A(-1,0).
据抛物线的对称性,可知点 C 的坐标为
于点 C,点 D 是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式.
(2)请在 y 轴上找一点 M,使△ BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标.
(3)试探究:在抛物线上是否存在点 P,使以点 A,P,C 为顶点,AC 为直角边
的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存
3
7
1
2 = ,
= 0,
7 20
3
3
由
得 1
(舍)
∴P 点坐标为 3, 9 .
20
2 = ,
= - 2 + 2 + 3, 1 = 3,
9
= - + 3,
1
1
3
3
如图②,当△ ACP 是以点 A 为直角顶点时,易得直线 AP 的解析式为 y=- x- .
1
10
1
2 = ,
= -1,
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x
轴的一个交点为 A(-1,0).
离比为 5∶2 的点,设点 E 的坐标为
(5)点 E 是第二象限内到 x 轴,y 轴的
(-2k,5k),
距离比为 5∶2 的点,如果点 E 在(4)
3
3
3
由
得 1
(舍)
13 ∴P 点坐标为
2

=
0,
1
2 = - ,
= - + 2 + 3,
9
= - - ,
7 20
综上,符合条件的点 P 的坐标为 ,
3 9
或
10 13
3
,-
9
.
10 13
3
,-
9
.
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
2.[2018·齐齐哈尔] 如图 Z6-3①所示,直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A(-4,0),与 y 轴交于点 C,抛物线 y=-x2+bx+c
理由.
【分层分析】
因为 AE 的长为定值,要使△ APE 的周长最小,即要使 PA+PE 的值最小,由点 A,B
关于抛物线的对称轴对称,可知 BE 与抛物线的对称轴的交点即为点 P,即可得
PA+PE 的值最小,即△ APE 的周长最小.
图Z6-1③
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
(6)点 A 关于对称轴 x=-2 对称的点为点 B,△ PAE 的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE,AE 的长为定值,要使
1
1
2
4
当 h=- 时,d 有最大值 .
1
5
2
4
当 h=- 时,y=h2+4h+3= ,
15
所以 H - , .
24
-2 + 2 = 0,
2 = 3,
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
针对训练
1.[2018·怀化] 如图 Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交
1
15
4
24
当 k= 时,点 E - , ;当 k=3 时,点
E(-6,15)(不符合题意,舍去).
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x 轴的一个交点为 A(-1,0).
(6)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△ APE 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明
解得
1 = ,
2
5
1 = .
2
5
5
∴直线 AE 的解析式为 y=2x+2,当 x=0
5
时,y= ,
2
5
∴点 S 的坐标为 0,2 .
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1 [2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x 轴的一个交点为 A(-1,0).
(9)若点 H 是抛物线上位于 AD 下方的一点,过点 H 作 y 轴的平行线,交 AD 于点 K,设点 H 的横坐标为 h,线
解得
图Z6-2
31 + 1 = 0,
-1 + 1 = 4,
1 = -1,
则直线 BD1 的解析式为 y=-x+3,令 x=0 可得 y=3,则点 M 的坐标为(0,3).
1 = 3,
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
1.[2018·怀化] 如图 Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交
段 HK=d.
①求 d 关于 h 的函数关系式;
②求 d 的最大值及此时 H 点的坐标.
【分层分析】
图Z6-1⑥
①分别将 x=h 代入抛物线及直线 AD 的解析式中,得到点 H,K 的纵坐标,再由点
H 在点 K 的下方,表示出 HK,可得到 d 关于 h 的函数关系式;②利用二次函数的
性质求最值,即可得 d 的最大值,进而求出 H 点的坐标.
(3)点 D 是抛物线与 y 轴的交点,1122
(-4,m),S 梯形 ABCD= (AB+CD)×OD= ×
点 C 是抛物线上的一个点,且以
AB 为一底的梯形 ABCD 的面积
(3)由题意可知点 D 的坐标为(0,m),根
(2+4)m=9,解得 m=3,所以 D 点坐标为
图Z6-1①
为 9,求 D 点坐标;
△ PAE 的周长最小,即使 PB+PE 最小,根据两点之间线段最短,可知连接 BE,BE 与对称轴的交点即为点 P,
15
设过点 B(-3,0)和点 E - , 的直线的解析式为 y=kx+b,
24
1
5
1
= ,
= - + ,
1
3
1
2
4
2
由
解得
3 ∴直线 BE 的解析式为 y=2x+2,当 x=-2 时,y=2,
值最大?若存在,求出点 S 的坐标;若不存在,
请说明理由.
5
由
图Z6-1⑤
【分层分析】
当 A,E,S 三点共线且 S 不在线段 AE 上时,有|SE-SA|=AE,从而得
到当点 S 在 AE 或 EA 的延长线上时满足条件,求出直线 AE 与 y
轴的交点坐标即可.
4
5
1
= - 1 + 1 ,
2
0 = -1 + 1
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
(9)①设过 A(-1,0),D(0,3)的直线的解析式为 y=k2x+b2,则
解得
2 = 3,
∴直线 AD 的解析式为 y=3x+3,
2 = 3,
当 x=h 时,d=(3h+3)-(h2+4h+3)=-h2-h.
1
1
4
4
1 2 1
+ .
2
4
②d=-h2-h=- h2+h+ + =- h+
【分层分析】
以 AB 为一底的梯形 ABCD 中,AB∥CD,C,D 关于抛物线的对
称轴对称.由点 D 是抛物线与 y 轴的交点,可知 D(0,m),由梯
形的面积公式可求出 m 的值,从而求出 D 点坐标.
(0,3).
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x
于点 C,点 D 是该抛物线的顶点.
(3)试探究:在抛物线上是否存在点 P,使以点 A,P,C 为顶点,AC 为直角边
的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存
在,请说明理由.
图Z6-2
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
(3)存在.
1
如图①,当△ ACP 是以点 C 为直角顶点时,易得直线 CP 的解析式为 y=- x+3.
15
根据两点之间线段最短,可知连接 EA',EA'与 y 轴的交点即为点 M,设过点 A'(1,0)和点 E - , 的直线的
24
5
1
=- ,
5
5
= - + ,
6
2
解析式为 y=mx+n,由 4
解得
∴直线 A'E 的解析式为 y=-6x+6,
5
= .
0=+
6
5
5
5
6
6
当 x=0 时,y= ,∴点 M 的坐标为 0, .
(2)请在 y 轴上找一点 M,使△ BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标.
(2)如图,作点 D 关于 y 轴的对称点 D1,连接 BD1 交 y 轴于点 M,则点 M 为所求.
由抛物线解析式可得 D 点的坐标为(1,4),则 D1 的坐标为(-1,4).
设直线 BD1 的解析式为 y=k1x+b1,则
题型突破（六）
二次函数与
几何综合类问题
题型解读
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起考查,解决这类问
题需要用到数形结合思想,把“数”与“形”结合起来,互相渗透.存在探索型问题是指
在给定条件下判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题,解决这类
问题的一般思路是先假设结论存在,然后在这个假设下进行演绎推理,若推出矛盾
轴的一个交点为 A(-1,0).
(4)因为 A(-1,0),B(-3,0),所以设抛物线的
解析式为 y=a(x+3)(x+1),
(4)在(3)的条件下,求此抛物线的解析式;
∵点 D(0,3)在抛物线上,∴3=3a,解得
【分层分析】
a=1,∴抛物线的解析式为 y=x2+4x+3.
根据前面所求的 A,B,D 三点的坐标,用待定系数法求解析式.
= 3,
- + = 0,
解得
∴直线 AC 的解析式为 y=3x+3.
= 3.
= 3,
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
1.[2018·怀化] 如图 Z6-2,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交
于点 C,点 D 是该抛物线的顶点.
图Z6-2
解:(1)将点 A(-1,0)和 B(3,0)的坐标代入抛物线 y=ax2+2x+c 中,可得:
-2 + = 0,
解得 = -1,
9 + 6 + = 0,
= 3.
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3.令 x=0,则 y=3,∴点 C 的坐标为(0,3).
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则
= .
0 = -3 +
2
1
∴点 P 的坐标为 -2,2 .
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x 轴的一个交点为 A(-1,0).
(7)在 y 轴上是否存在点 M,使 MA+ME 的和最小?若存在,求出点 M 的坐标;若

抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=- .
2
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x
(2)∵该抛物线与 x 轴的一个交点为
轴的一个交点为 A(-1,0).
A(-1,0),且对称轴为直线 x=-2,
(2)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标;
,即可否定假设;若推出合理,则可肯定假设.
类型1 二次函数与线段、周长有关的问题
例 1[2018·天水改编] 已知:抛物线 y=ax2+4ax+m(a>0)与 x
轴的一个交点为 A(-1,0).
解:(1)抛物线 y=ax2+4ax+m 的对称轴
为直线 x=-2.
(1) 求抛物线的对称轴;
【分层分析】