四川省遂宁市第二中学2021-2022高二数学上学期期中试题

四川省遂宁市第二中学2021-2022高二数学上学期期中试题
（考试时间120分钟，总分150分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）
A.030
B. 045
C. 060
D. 0120
2．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）
A.()-21，
B.()2,1--
C.()2,1
D.()2,1-
3.圆02:2
2
1=-+x y x O 和圆04:2
2
2=-+y y x O 的位置关系是（ ） A.相交 B.外离 C.外切 D. 内切
4．若直线20x y a -+=与圆()2
211x y -+=有公共点，则实数a 的取值范围（ ）
A
．22a -<<- B ．
22a --≤≤-+ C
．a ≤≤
．a <<5．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下列四个说法：
①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ⊥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确说法的序号是( )
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
6．如果ac ＜0且bc ＜0，那么直线ax ＋by ＋c ＝0不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A ．3x －2y －6＝0
B ．2x ＋3y ＋7＝0
C ．3x －2y －12＝0
D ．2x ＋3y ＋8＝0
8.若x,y 满足约束条件x 0
x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是（ ）
A. [0,6]
B. [0,4]
C. [6, +∞）
D. [4,
+∞）
9．下列命题中，错误的是（ ）
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B.平行于同一平面的两条直线一定平行
C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D.若直线l 不平行于平面α，，且l 不在平面α内，则在平面α内不存在与l 平行的直线
10．已知圆22
:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小
值为( ) A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
11.曲线4)2(412+-=-+=x k y x y 与直线有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,
0 B.⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 12．在平面直角坐标系中，()4,0A -，()1,0B -，点()(),0P a b ab ≠满足2AP BP =，则
22
41a b +的最小值为（ ） A ．4
B ．9
C ．
32
D ．
94
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝________. 14.经过点()3,4P --,且与两坐标轴的截距相等的直线方程是 . (用一般式方程表示）
15．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，F 是AC 的中点，E 是PC 上的点，且EF ⊥BC ，则
PE
EC
=________.
16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与
1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.
①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于
3
6
； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点
M ，使得1
2S S .
三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）（1）求过点(2,1)且与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程； （2） 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．
18．已知圆C 的圆心在直线x ﹣2y ﹣3=0上，并且经过A （2，﹣3）和B （﹣2，﹣5），求圆C 的标准方程．
19．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求证：AC ⊥EF .
20. 电视台为某个广告公司特约播放两套片集，其中片集甲播映时间为20min ，广告时间为1min ，收视观众为60万；片集乙播映时间为10min ，广告时间为1min ，收视观众为20万.广告公司规定每周至少有6min 广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于
86min 的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？
21（文科）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA AD ==，120PAB PAD ∠=∠=︒，E 为PD 的中点，AE EC ⊥．（1）求证：//PB 平面EAC ；（2）求三棱锥B ACE -的体积．
21（理科）.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝2BC ＝2，BC ⊥DC ，∠BAD ＝60°，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，△PAD 为正三角形，M 是棱PC 上的一点(异于端点)．
(1)若M 为PC 的中点，求证：PA ∥平面BME ；
(2)是否存在点M ，使二面角MBED 的大小为30°.若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由．
22 . 已知点()
11,0P ，)
2
1,0P ，()31,1P 均在圆C 上.
（1）求圆C 的方程； （2）若直线310x y -+=与圆C 相交于A 、B 两点，求AB 的长； （3）设过点()1,0-的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，试问：是否存在直线l ，使得以MN 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
遂宁二中高2021级2021—2021第一学期半期考试 数学答案
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.C 2 A 3.A 4 C 5. C 6. C 7. D 8. D
9【解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A 正确；平行于同一直线的两个平面有两种位置关系，可能平行，也可能相交，B 错误；如果一个平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α一定垂直于平面β，故C 正确．若直线l 不平行于平面α，且l 不在α内，则l 与α相交，则在平面α内不存在与l 平行的直线；故选B ． 10. A 11.D
12【解】2AP BP =，()
()
2
2
2242
1a b a b ++=++224a b +=，则
22
144
a b +=，由基本不等式得2222222
2222222414155924444444
a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，
22
41a b +的最小值为9
4，故选：D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13． 4
14.430x y -=或70x y ++=
15【解析】在三棱锥P －ABC 中，因为PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，所以AB ⊥平面APC . 因为EF ⊂平面PAC ，所以EF ⊥AB ，因为EF ⊥BC ，BC ∩AB ＝B ，
所以EF ⊥底面ABC ，所以PA ∥EF ，因为F 是AC 的中点，E 是PC 上的点， 所以E 是PC 的中点，所以
PE
EC
＝1.答案：1.
16【解】 ①如图
当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1
BC BD B =，所
以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；
②如图
取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为
11AC AC ，所以
111
2
OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1
MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M
NO ，且11A D
B C ，111A M
A D A =，
1NO
B C C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面
11B CD ，故正确；
③如图
作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：1126
33
A M ⨯=
=，根据对称性可知：16
3
A M DM ==
，又2AD =，所以1A DM 是等腰三角形，则122
1
623
22
326A DM
S
⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故错误； ④如图
设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面
11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以111
1122222
A D M a S S a ∆==⨯⨯=，122121222222
B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：1
3
a =，故正确. 故
填：①②④.
三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．解：（1）与2x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程可设为x －2y ＋m ＝0.又直线过点(2,1)，
所以2－2＋m ＝0，m ＝0.故所求直线方程为x －2y ＝0.
（2） 联立得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y ＋4＝0
x ＋y －4＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0
y ＝4，
∴两直线交点为(0,4)，又∵与2x+y-1=0平行的直线的斜率为－2， ∴所求直线方程为y －4＝－2x ，即2x ＋y －4＝0.
18．【解】由已知，线段AB 的中垂线所在直线与直线x ﹣2y ﹣3=0的交点即为圆C 的圆心． 线段AB 的斜率为：K AB =
=，∴线段AB 的中垂线所在直线的斜率为﹣
=﹣2，
又∵线段AB 的中点为（0，﹣4），
∴线段AB 的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x ，即2x+y+4=0． 由
，求得
，∴圆C 的圆心坐标为（﹣1，﹣2）
∴圆C的半径r满足：r2=（2+1）2+（﹣3+2）2=10，
∴圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10．
19．【解】(1)如图所示，连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.
而CD1⊂平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D. 而D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC⊂面ABCD，∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH. 因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，
而EF
⊂平面EFH，所以AC⊥EF.
21.【解】设片集甲、乙分别播映x、
y集，设收视观众为z万人，
则变量x、y满足的约束条件为
6
211186
,
x y
x y
x y N
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪∈
⎩
，目标函数为6020
z x y
=+.
作出可行域如下图所示：
平移直线6020z x y =+，当直线6020z x y =+经过点()2,4A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，max 602204200z =⨯+⨯=（万）， 答：电视台每周片集甲播映2集，片集乙播映4集，其收视率最高. 文科21.【解】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ．
∵E 为PD 的中点，O 为BD 的中点，∴EO 为PBD ∆的中位线， ∴//PB EO ，且
1
2
EO PB =
． 又EO ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ，∴//PB 平面EAC ．
（2）在PAB ∆中，2PA AB ==，120PAB ∠=︒，
由余弦定理得2222cos12012PB PA AB PA AB =+-⋅︒=，∴23PB =．∴3EO =
∵AE EC ⊥，且O 为AC 的中点，∴223AC EO ==ABO ∆中，
221BO AB AO =-=．
在平面PAD 内，作PF AD ⊥，交DA 的延长线于F ．
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =,∴PF ⊥平面ABCD ． 即PF 为点P 到平面ABCD 的距离．∵点E 为PD 的中点， ∴点E 到平面ABCD 的距离h 是PF 长度的一半．在PFA ∆中，
3
sin6023PF PA ︒=== ∴1111(3)2232
B ACE E ACB P AB
C ABC V V V S ---∆==
=⨯⨯=． 理科21【解析】 (1)证明：如图，连接AC 交BE 于点F ，连接CE .
由题意知BC ∥AE ，且BC ＝AE ，故四边形ABCE 为平行四边形，∴F 为AC 的中点，在△PAC 中，
又由M为PC的中点，得MF∥PA.又MF⊂平面BME，PA⊄平面BME ，∴PA∥平面BME.
(2)连接PE，则由题意知PE⊥平面ABCD .
故以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系E－xyz ，
则E(0,0,0)，P (0,0，)，B(，0,0)，C(，－1,0)．设＝λ＝(0<λ<1)，
则M(λ，－λ， (1－λ))．∴＝(λ，－λ， (1－λ))，＝(，0,0)．取平面DBE的法向量n1＝(0,0,1)，设平面BME的法向量n2＝(x，y，z)，
则由得
令y＝，得n2＝.又由＝cos30°，得λ＝，
即M.故存在点M满足要求，且M为棱PC上靠近端点C的四等分点．
22 .【解】（1）依题知，圆心C在()
1
51,0
P-，)
2
51,0
P的中垂线直线1
x=上，设圆心C的坐标为()
1t
，()()
22
51101
t t
-+-+-=-，
两边平方，解得2
t=-，即圆心()
1,2
C-，∴半径213
r=--=，
∴圆C的方程为()()
22
129
x y
-++=.
（2）圆心C()
1,2
-到直线310
x y
-+=的距离为
()
()2
2
3121310
31
d
⨯--+
==
+-
22
2
AB r d
∴=-
18615
29
5
=-=.
（3）设()
11
,
M x y，()
22
,
N x y，依题意知：OM ON
⊥，且OM，ON的斜率均存在，
即1
OM ON
k k⋅=-，12
12
1
y y
x x
⋅=-，
1212
x x y y
∴+=
①当直线l 的斜率不存在时，l ：1x =-
，则()
2M -
，()
1,2N - 满足12120x x y y +=，故直线l ：1x =-满足题意.
②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为()1y k x =+，
由()()()22
1291x y y k x ⎧-++=⎪⎨=+⎪⎩
消去y 得， ()()
2221221k x k k x +++- 2440k k ++-=，
则(
)212
2
221
1k k x x k +-+=-+，212
2
44
1k k x x k
+-=+ 由12120x x y y +=得，(
)
2121k x x ++ ()22
120k x x k ++=，
即()
22
22
4411k k k k k +-+++ 2
2224201k k k k ⎛⎫+-⋅-+= ⎪+⎝⎭
，解得，1k = ∴直线l 的方程为1y x =+.
综上可知，存在满足条件的直线1x =-和10x y -+=.。