用数学思维彰显教学内容的数学味

用数学思维彰显教学内容的数学味
作者：王俊
来源：《小学教学研究》2013年第04期
《数学课程标准》（2011年版）明确规定了义务教育阶段数学课程的学习内容。

这些内容是依据社会的需求、数学的特点和学生的认知规律来确定的，它是每一个合格公民必须具备的数学基础知识。

如何让学生理解和掌握这些基础知识，是一线教师应积极探索的重要课题。

在课程改革再出发的今天，面对课标规定的教学内容，一线老师有了更自主的处理方式和更广阔的创新平台。

我认为，让教学内容彰显出数学味就意味着发挥自己的主观能动作用，根据数学教育的本质特点，对现有的教学内容进行合理处理，使之更能促进学生数学素养的提升。

我们不妨借用数学的思维来进行彰显数学味的探索。

一、加法和减法
加法和减法是数学中两种最基本的运算方法，但同时也是两种不同的思维策略。

我们这里说的是后者。

首先是加法的策略。

数学学习内容原本就具有数学味，这是毋庸置疑的。

但是，在实际操作的过程中，由于要结合学生的生活经验，要照顾到学生的接受能力，有时候还要考虑到课堂教学的观赏性（特别是一些公开课），常常会使得数学味丢失。

比如，教学《长方形和正方形的认识》时，我们许多老师会呈现出许多生活中的长方形和正方形，让学生一起欣赏图片。

事实上，不仅仅是几何图形，还有“找规律”“观察物体”“数对”等内容，老师们都喜欢在公开课安排图片欣赏的环节。

当然，就结合儿童的认知特点、加强数学与生活的联系而言，这样做无可厚非，但是如果所有的课堂教学都这样做，就有泛滥成灾之疑了。

我们除了听到孩子们发出“哇哇”的赞叹声之外，根本就看不出学生把这些图片和数学作了怎样的联系。

面对这种数学味的丢失，我们可以在保持生活味的同时加入数学的元素。

比如，我们让学生观赏完长方形和正方形桌子的图片之后，可以提出这些问题：为什么中国人的桌子喜欢做成正方形的八仙桌，而西方人的桌子喜欢做成长方形的西餐桌？这其中的数学原理又是什么？经过思考，我们不难找出答案：中国人是共餐的，为了使得放在中间的菜让每个成员都能够得着，饭桌做成正方形比较方便；而吃西餐的时候，每个人都把菜装在自己的盘子里，就不要考虑夹菜的问题，因而做成长方形就无所谓了。

这些都是跟图形的特征息息相关的，这就使得原本平面化的内容有了数学味。

再来说说减法的策略。

为了体现数学在生活中的应用，教材安排了许多生活情境，学两位数加两位数的时候是买东西的情境，学三位数加三位数的时候还是买东西的情境，学加法是买
东西的情境，学减法、乘法、除法还是买东西的情境。

买东西的时候需要用到数学这固然不错，可是如果每学一个新知都需要用这样的情境来导入的话，就是一种教学的浪费了。

首先，买东西要用到数学这个道理学生是懂的，学生在生活中买东西的时候，也会动用他的知识技能去全力解决问题，无需我们喋喋不休地强调学习的“情感、态度与价值观”；其次，一堂课的时间非常宝贵，只有短短的40分钟，如果每学一个计算都要从情境入手，都要从问题解决入手，那势必会占用很多的时间，这是非常可惜的。

其实无论是做加法还是做减法，它们本质的指向是共同的。

那就是既让学生体验到数学在生活中的存在，又要对数学的本质有深刻的认识。

但其中不容忽视的一点，就是不能让生活认识取代数学认识。

一个目不识丁的老奶奶，她也认识圆，但她所认识的圆和数学上的圆肯定不是同一回事。

老奶奶肯定不具备观察、分析、对比、归纳等数学知识和技能，不会举一反三、推而广之的数学思维方式。

而这些正是所谓的数学味，是我们要通过教学促使学生形成的数学素养。

二、合并与拆分
数学中有乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），反过来，a×（b+c）=a×b+a×c，按照从左到右的次序来看，前者是合并，后者是拆分。

合并和拆分的数学思维对我们处理教材具有启迪意义。

正如“a×b”和“a×c”，数学教学内容中也存在着相同的“公因数”。

比如“加法交换律”和“乘法交换律”就存在着“公因数”——“交换律”。

一般情况下，教材在安排加法、乘法的定律时，都是先安排加法交换律、加法结合律，接着是乘法交换律、乘法结合律。

但是如果根据a×b+a×c=a×（b+c）的思路，我们也可以把加法交换律和乘法交换律合并在一起，将“交换律”凸显出来，从而帮助学生更好地掌握数学技能。

在教学实践中，我大胆地进行了尝试，将加法交换律和乘法交换律重组在一起，并给课题取名为“探索交换律”。

教学时，由学生已有的感性经验出发，按照“猜想—验证—总结—应用”的线索逐步推进。

探索加法交换律时老师半扶半放，探索乘法交换律时由学生自主探索。

由于交换律本身比较直观，再加上师生共同努力，一堂课下来基本形成了清晰的“猜想—验证—总结—应用”的模型。

事实上，许多数学研究正是沿着这个路线探索的。

这就使得原本看似简单的教学内容体现了数学探究的全貌，包含了浓浓的数学味。

与合并相反的是拆分。

教过六年级的老师都有这样的体验，用分数乘法解决问题和用分数除法解决问题分属不同的单元，学生在学习用分数乘法解决问题时，非常顺利，可是学习用分数除法解决问题时，问题就来了，不但新学的用分数除法解决问题不能理解，连用分数乘法解决问题也不会了。

这是什么道理呢？原来，学生学习用分数乘法解决问题时，并不是真正理解了其中的数量关系式，而是在套用公式。

在本单元中学生看到的都是类似“红绳长20米，蓝绳比红绳长■，
蓝绳长多少米”的问题，他们只需记住用乘法和加法（或减法）来解决问题，而且屡试不爽，于是就不去思考问题的本质究竟是什么。

这种廉价的“正确”，表面上是学生会解题了，实质上是数学味的丢失。

学生只是单纯依靠简单的模仿和记忆解决问题，并没有多少思维的参与。

要解决这一问题，我们不妨采用拆分的思路，把集中在一起出现的用分数乘法解决问题分成若干个板块。

学生对用分数乘法解决问题有了初步认识之后，不忙着用很多类似的习题来巩固技能，而是适时加入其他看似相同但实质不同的问题，如“红绳长20米，蓝绳比红绳长■米，蓝绳长多少米”，促使学生关注问题的本质。

我的一位同事更为大胆，她在学生刚刚接触用分数乘法解决问题时就把分数除法解决问题引进来，如“红绳长20米，红绳比蓝绳长■，蓝绳长多少米”，这样就让原本一前一后呈现的教学内容变成了两条相互交叉的螺旋线，学生可以随时对分数乘法和分数除法进行甄别，从而理解各自的本质。

实践证明，这种拆分对比式的教学效果很不错，学生在解决问题的时候有了更多的数学味。

“天下大势，合久必分，分久必合。

”从某种意义上来看，教学内容也在经历着分分合合的演变，这是因为任何教学手段都是一把双刃剑，无论是内容的合并还是内容的拆分都没有绝对的好，也没有绝对的不好。

就像a×b+a×c和a×（b+c），我们很难说哪种计算方式是最简便的。

对于（40+4）×25来说，改成a×b+a×c的形式是简便的；对于36×25+64×25来说，改成
a×（b+c）的形式是简便的。

教学内容究竟怎样合并和拆分才更有数学味，还要视具体情况而定。

三、归纳与演绎
归纳和演绎是两种相对的思维方式。

归纳是从特殊到一般，演绎是从一般到特殊。

我们在处理教学内容时也可遵循这两种不同的思维方式，可让自己的教学更具数学味。

以具体可见的内容来说，苏教版教材安排了“解决问题的策略”，这是很有意义的尝试，可以帮助学生在解题过程中形成更高一级的智慧，对学生形成生活智慧也很有帮助。

但到了实际操作的层面，我们这些一线老师却常常很为难。

把策略讲得具体点吧，就像是在讲一道道奥数题，讲得抽象一点吧，学生又没有足够的感性经验，分寸很难把握。

以五年级下册的“倒推”为例，教材中安排了2个例题和一道“试一试”。

例1 甲、乙两杯果汁共400毫升，从甲杯倒入乙杯40毫升，两杯果汁同样多，甲、乙两杯果汁原各有多少毫升？
例2 小明原有一些邮票，今年又收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。

小明原来有多少张邮票？
“试一试” 小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多一张送给小明，自己还剩25张，小军原来有多少张画片？
一线老师在平时的课堂上讲解这三道题，起码要40分钟。

即便这样，学生对怎样倒推可能还不甚了了。

因为，学生已经被变幻的情境和其他策略（比如列表、摘录条件）干扰了视线，只见树木不见森林。

所谓“倒推”，并没有成为学生真正理解的策略。

为此，我在处理这段教材的时候，先进行归纳。

倒推的本质究竟是什么？经过仔细研究，发现所谓倒推就是已知变化的结果和变化的过程，求变化之前的情况。

倒推时有两个本质的特点：一是倒过来想，二是反过来算。

抓住这样的本质，我对教学内容重新进行处理：先出示例2，构建出倒推策略的一般模型，再通过情景表演研究“试一试”，深化对模型的认识，最后再让学生独立解决例1。

实践证明，由于老师事先对教学内容进行了归纳，构建出模型，三道题围绕模型展开教学，无需在细节上纠缠，很好地体现了“简洁、有序、高效”。

再来看演绎，如前所说，演绎是从一般到特殊。

其实，教学本身就是“演绎”，是老师将自己对数学一般性的理解用各种方式传递给学生的过程。

这就要求我们首先对所教学的内容有一个正确、全面、深刻的认识，才能保证自己的数学课有数学味。

新课程增加了许多新内容，“统计与可能性”“平移与旋转”，这些内容许多老师做学生时都没有学过，它们出现在教材中之后，大家又没有仔细研究，结果就经常犯“科学性”错误。

现举一些我所听到过的错例：
一名老师在上《用分数表示可能性大小》时和学生作了这样的交流：如果老师问一个问题，喊中你回答的可能性是多少？学生说■，老师说“对”。

老师又问：如果老师问100个问题喊中你的可能性是多少呢？学生说是■，老师说“对”。

——呜呼，概率怎么会是■呢？
同样的课题，一名老师拿着平分成红蓝两个区域的转盘，问指针转100次，落到红色区域里有多少次。

学生说50次，老师说“对”。

——这样的问题是可能性问题吗？
教学《平移旋转》时，一些老师这么归纳：平移是沿着直线运动的，旋转就是沿着曲线运动的。

——平移和旋转或许不会这么简单吧。

……
如果教师自身对数学都理解错了，那么他所传递给学生的数学味究竟是什么味儿呢？数学老师自身的数学素养是演绎推理的“大前提”，要知道，只有“大前提”正确了，才能推出正确的“结论”啊。

是的，提升自身的数学素养是彰显数学味的根本途径，而正是数学素养，让我们可以从加法和减法、合并与拆分、归纳与演绎这些数学思维方式的角度来彰显数学课中的数学味，这也算是“取之于数，用之于数”的自我回报吧。