华东师大版初二上册平方根讲义

华东师大版初二上册平方根讲义
例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联络．
解：〔1〕一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．
〔2〕一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．
例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一同．
〔1〕算出A 点到B 、C 、D 、E 、F 之间的长度．
〔2〕以图中A 、B 、C 、D 、E 、F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？假设有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．〝
剖析：应用勾股定理可以算出A 点与C 、D 、E 、F 各点的距离．〔2〕找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．
解 ：〔1〕3=AB cm ．171422=+=AC cm ．
5254202422=⨯==+=AD cm ．
5253422==+=AE cm ．
133222=+=AF cm ．
〔2〕图中BEF CEF ∆∆,是等腰三角形，由于2==EF EC cm ，因此CEF ∆是等腰三角形． 又由于101322=+==BF BE cm ，因此BEF ∆是等腰三角形．
例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，假定
46.13,23.9==b a ，求c 的长〔准确到0．01〕
． 剖析：依据勾股定理222c b a =+，代入相关的数据，应用求平方根的方法可求出c 的值．
解：222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ，
例4 求以下各数的平方根．
〔1〕9 〔2〕49
223 〔3〕0．81
解：〔1〕∵ 9)3(2=±
∴9的平方根是3±，即39±=±．
〔2〕∵4916949223
=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是7
13±，即.71349223±=± 〔3〕∵81.0)9.0(2=±
∴0．81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．
说明：①命标题的：给出一个正数，会求出平方根．
②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．
③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．
例5 求以下各数的平方根和算术平方根．
〔1〕0.0064 〔2〕4922 〔3〕2)13
12(1- 〔4〕2)7(- 解答：〔1〕由于0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．
〔2〕由于491004922
=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是7
10． 〔3〕由于1692513144169)1312(122=-=-，而169
25)135(2=±，所以2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是13
5． 〔4〕由于49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．
说明：此题考察求平方根和求算术平方根的方法．
由于一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易形成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了．
例6 求以下各式中的x ：
〔1〕02892=-x 〔2〕81)1(2=+x ．
剖析：依据平方根的定义，或22a x =，那么)0(≥±=a a
x ，其中〔2〕中
)1(+x 看成一个全体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值． 解答：〔1〕∵ 02892=-x ，即2892=x ．
〔2〕∵ 81)1(2=+x ，
事先91=+x ，8=x ；
事先91-=+x ，10-=x ．
例7 0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．
剖析：只需求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解方程． 解答1：由0144252=-x 得251442=
x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 事先5
12=x ，.1025213512521352==+⨯=+x 解答2：由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，
∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 假设031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．
剖析：条件是含三个未知数的等式，普通很难求出未知数的值，但留意到算术平方根非负这一条件可解．
解答： ∵ 0,03,01≥++≥-≥+z y x y x
∴应有⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x
解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==-=.231z y x
说明：求解此题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，假设假定干个
非正数的和为零，那么每个非正数都必需为零．
例9 选择题：以下命题中真命的个数是〔 〕．
〔1〕;2.04.0= 〔2〕;4
3169±= 〔3〕22-的平方根是2-； 〔4〕2)3(-的算术平方根是3-；
〔5〕5
7±是25241的平方根； 〔6〕0的平方根是0，0没有算术平方根； 〔7〕21的算术平方根是41． 〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4
剖析：判别上述命题的真假，要依托各自自身的定义．
〔1〕4.004.0)2.0(2≠=
2.0∴不是4.0的算术平方根．
故〔1〕是假命题．
〔2〕题中
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9是算术平方根，其结果是独一的，不能够是两个值，所以〔2〕也是假命题．
〔3〕题中422-=-，由平方根性质：正数没有平方根． 所以〔3〕也是假命题．
〔4〕中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个正数，不契合算术平方根的定义． 故〔4〕也是假命题． 〔5〕,25
2412549)57(2==± 25241∴的平方根是5
7±． 此为真命题． 〔6〕0的平方根0就是0的算术平方根，故〔6〕题也不正确．
〔7〕求21的算术平方根，应是对2
1停止开方运算，而非平方运算． 故此命题也不是真命题．
解答：应选〔A 〕
说明：平方根、算术平方根是十分重要的概念．
其共同点：平方根和算术平方根都是对非正数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只要一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只要一个；它们的联络是：算术平方根是平方根中的正的平方根．
例10 假设一个数的平方根是3
2-
a，那么这个数是多少？
a与15
+
剖析：首先我们观察标题中给出的是一个正数的两个平方根，依据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0．
解答：由于一个正数的两个平方根互为相反数，所以0
-
+
+a
a，
)3
)
15
2(
(=
解得4
-，故原数为49
+
3=
a，即两个平方根区分为7和7
a,事先4
=
=
a，7
说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解．。