2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学(理)试题(解析版)
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A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．
【详解】
函数 是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．
由 ，得 ， ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列下标和性质的应用，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．将 的展开式按 的降幂排列，若第三项的系数是 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意求出第三项的系数，可得出关于 的方程，即可解出 的值.
A． B．2C． D．3
【答案】B
【解析】设 ， ，并设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，两曲线的焦距均为 ，利用椭圆、双曲线的定义，以及勾股定理可得出 ，由此可得出 的值.
【详解】
设 ， ，并设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，两曲线的焦距均为 ，
由椭圆的定义得 ，由双曲线的定义得 ，
由勾股定理得 ，
A．16B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．
【详解】
正方体的棱长为2，则其内切球的半径 ，
正方体的内切球的体积 ，
又由已知 ， ．
故选C．
【点睛】
本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．
6．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数 的图象大致是
故选：A．
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题．
8．2021年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )
因此，正确的命题为①③④.
故选：C.
【点睛】
本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题.
3．设等差数列 前 项和为 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得出 ，利用等差数列求和公式可求出 的值.
【详解】
所以，直线 的方程为 ，将原点代入直线 的方程得 ，得 .
所以，直线 的函数解析式为 ，
如上图所示，所求区域的面积为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用定积分计算平面区域的面积，同时也考查了过点的函数的切线方程的求解，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
11．已知椭圆、双曲线均是以线段 的两端点为焦点的曲线，点B是它们的一个公共点且满足 ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 （）
7．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得 与 夹角的余弦值。
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系得：
， ， ，
设 即SA与BC所成角的余弦值为
9．如图所示框图，若输入三个不同的实数 ，输出的 值相同，则此输出结果 可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图知，本题是输出函数 的函数值，设输出的 值为 ，可知直线 与函数 的图象有 个交点，利用数形结合思想得出 的取值范围，从而可得出输出 的可能值.
【详解】
由题意可知，程序框图是输出函数 的函数值，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查图形中数量积的计算，一般利用基底法结合平面向量数量积的定义和运算律来计算，也可以建立坐标系，利用坐标来计算，考查计算能力，属于中等题.
15．已知函数 ，设 ， ， 请将 、 、 按照由大到小的排列顺序写出____ _____ _______.
【答案】
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数 为偶函数，利用复合函数的单调性判断出函数 在区间 上为减函数，可知，该函数在区间 上为增函数，再比较 、 和 这三个正数的大小，从而可得出 、 、 的大小关系.
10．平面直角坐标系中，过坐标原点 作曲线 的切线 ，则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出切线 的函数解析式，以及切点坐标，确定被积函数与被积区间，然后利用定积分思想计算出所围成的封闭图形的面积.
【详解】
如下图所示，设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
【详解】
将 的展开式按 的降幂排列，第三项的系数为 ，
即 ，整理得 .
，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用项的系数求指数的值，解题的关键就是利用二项展开式的通项得出系数的表达式，考查计算能力，属于中等题.
5．魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ： 若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
（2）结合（1）知三角形 为等腰三角形 ， ， 在三角形 中利用余弦定理求出 ，利用三角形的面积公式即可求出三角形 的面积．
【详解】
解：（1）
，又 为三角形的内角，
；
（2）结合（1）知三角形 为等腰三角形 ， ，又因为点 为 边上靠近点 的一个四等分点则 ，在三角形 中利用余弦定理
，解得 ，
则 ．
【点睛】
2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可.
【详解】
由于： ，
故由题意可知： ，结合交集的定义可知： .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，然后利用空间向量法计算出二面角 余弦值的大小.
【详解】
，所以，函数 的图象关于直线 对称，
又 函数 为偶函数，所以， ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数，
作出函数 与函数 在区间 上的图象如下图所示：
由图象可知，函数 与函数 在区间 上的图象都关于直线 对称，两个函数在区间 上的图象共有 个交点，有 对关于直线 对称，还有一个交点的横坐标为 .
【详解】
对任意的实数 ， ，则 恒成立，所以，函数 的定义域为 ，
，所以函数 为偶函数，
当 时， ，则 ，
内层函数 为减函数，外层函数 为增函数，
所以，函数 在区间 上为减函数，则该函数在区间 上为增函数，
， .
对数函数 在 上为增函数，则 ，即 .
指数函数 为增函数，则 ，即 .
指数函数 为增函数，则 ， ，
三、解答题
17． 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若角 ,点 为 边上靠近点 的一个四等分点，且 ，求 的面积 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1）将已知等式右边提取 ，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出 的值，由 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数；
【详解】
根据题意，设圆C的半径为r，
以点 为圆心的圆C与直线 相切，则圆心到直线的距离为半径，则有 ，
则圆C的方程为 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
【答案】
【解析】由题设可得 ，即 ，也即 ，所以 ，令 可得 ，将以上 等式两边相加可得 ，所以 ，即 ，令 ，则 ，解之得 或 ，应填答案 。
点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组 ，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】基本事件总数n 6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．
【详解】
今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，
则基本事件总数n 6，
他们选课相同包含的基本事件m＝1，
∴他们选课相同的概率p ．
故选：D．
【点睛】
本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.
， ，
化简得 ，即 ，因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线与椭圆离心率关系的计算，同时也涉及了椭圆和双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ,则函数 在区间 的所有零点之和为（）
A．-7B．-6C．-5D．-4
【答案】A
【解析】利用定义推导出函数 是周期为 的函数，并作出函数 与函数 在区间 上的图象，可知两函数在区间 上的图象关于直线 对称，然后利用数形结合思想得出函数 在区间 上的零点之和.
14．在矩形 中， ， ， ，则 __________.
【答案】
【解析】作出图形，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，然后利用坐标计算出 的值.
【详解】
如下图所示，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，则点 、 ，
，则 ，则点 ， ， .
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．
18．如图，已知直三棱柱 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 余弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明出 ，可得出 ，即有 ，再证明出 平面 ，可得出 ，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出 平面 ；
设输出的 值为 ，可知直线 与函数 的图象有 个交点，
如下图所示：
由图象可知，当 时，直线 与函数 的图象有 个交点，
因此，此输出结果 可能是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查程序框图与函数的综合问题，读懂程序框图的功能是解题的关键，同时也涉及了由两函数图象的交点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
由于函数 在区间 上为增函数，因此， .
故答案为： ； ； .
【点睛】
本题考查函数值的大小比较，涉及了函数单调性与奇偶性的判断，在涉及偶函数的性质时，一般结合性质 来判断，同时要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．已知数列 中， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为__________．
【详解】
对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确；
对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误；
对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由 ，得 ，所以，复数 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确.
2．在复平面内，给出以下四个说法：
①实轴上的点表示的数均为实数；
②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；
③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；
④已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于第四象限.
其中说法正确的个数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数的几何意义可判断出命题①②的正误，根据共轭复数的概念判断命题③的正误，利用复数的除法求出复数 ，结合复数的几何意义可判断出命题④的正误.
因此，函数 在区间 的所有零点之和为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的零点之和，转化为两函数图象的交点并结合图象的对称性求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题
13．已知以点 为圆心的圆C与直线 相切，则圆C的方程为______．
【答案】
【解析】根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得 ，结合圆的标准方程分析可得答案．
C． D．
【答案】B
【解析】根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．
【详解】
函数 是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．
由 ，得 ， ，因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列下标和性质的应用，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．将 的展开式按 的降幂排列，若第三项的系数是 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意求出第三项的系数，可得出关于 的方程，即可解出 的值.
A． B．2C． D．3
【答案】B
【解析】设 ， ，并设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，两曲线的焦距均为 ，利用椭圆、双曲线的定义，以及勾股定理可得出 ，由此可得出 的值.
【详解】
设 ， ，并设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，两曲线的焦距均为 ，
由椭圆的定义得 ，由双曲线的定义得 ，
由勾股定理得 ，
A．16B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．
【详解】
正方体的棱长为2，则其内切球的半径 ，
正方体的内切球的体积 ，
又由已知 ， ．
故选C．
【点睛】
本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．
6．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数 的图象大致是
故选：A．
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题．
8．2021年广东新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )
因此，正确的命题为①③④.
故选：C.
【点睛】
本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题.
3．设等差数列 前 项和为 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得出 ，利用等差数列求和公式可求出 的值.
【详解】
所以，直线 的方程为 ，将原点代入直线 的方程得 ，得 .
所以，直线 的函数解析式为 ，
如上图所示，所求区域的面积为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用定积分计算平面区域的面积，同时也考查了过点的函数的切线方程的求解，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
11．已知椭圆、双曲线均是以线段 的两端点为焦点的曲线，点B是它们的一个公共点且满足 ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 （）
7．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得 与 夹角的余弦值。
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系得：
， ， ，
设 即SA与BC所成角的余弦值为
9．如图所示框图，若输入三个不同的实数 ，输出的 值相同，则此输出结果 可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据程序框图知，本题是输出函数 的函数值，设输出的 值为 ，可知直线 与函数 的图象有 个交点，利用数形结合思想得出 的取值范围，从而可得出输出 的可能值.
【详解】
由题意可知，程序框图是输出函数 的函数值，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查图形中数量积的计算，一般利用基底法结合平面向量数量积的定义和运算律来计算，也可以建立坐标系，利用坐标来计算，考查计算能力，属于中等题.
15．已知函数 ，设 ， ， 请将 、 、 按照由大到小的排列顺序写出____ _____ _______.
【答案】
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数 为偶函数，利用复合函数的单调性判断出函数 在区间 上为减函数，可知，该函数在区间 上为增函数，再比较 、 和 这三个正数的大小，从而可得出 、 、 的大小关系.
10．平面直角坐标系中，过坐标原点 作曲线 的切线 ，则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出切线 的函数解析式，以及切点坐标，确定被积函数与被积区间，然后利用定积分思想计算出所围成的封闭图形的面积.
【详解】
如下图所示，设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，
【详解】
将 的展开式按 的降幂排列，第三项的系数为 ，
即 ，整理得 .
，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用项的系数求指数的值，解题的关键就是利用二项展开式的通项得出系数的表达式，考查计算能力，属于中等题.
5．魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ： 若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
（2）结合（1）知三角形 为等腰三角形 ， ， 在三角形 中利用余弦定理求出 ，利用三角形的面积公式即可求出三角形 的面积．
【详解】
解：（1）
，又 为三角形的内角，
；
（2）结合（1）知三角形 为等腰三角形 ， ，又因为点 为 边上靠近点 的一个四等分点则 ，在三角形 中利用余弦定理
，解得 ，
则 ．
【点睛】
2020届四川省成都市树德中学高三11月阶段性检测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可.
【详解】
由于： ，
故由题意可知： ，结合交集的定义可知： .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，然后利用空间向量法计算出二面角 余弦值的大小.
【详解】
，所以，函数 的图象关于直线 对称，
又 函数 为偶函数，所以， ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数，
作出函数 与函数 在区间 上的图象如下图所示：
由图象可知，函数 与函数 在区间 上的图象都关于直线 对称，两个函数在区间 上的图象共有 个交点，有 对关于直线 对称，还有一个交点的横坐标为 .
【详解】
对任意的实数 ， ，则 恒成立，所以，函数 的定义域为 ，
，所以函数 为偶函数，
当 时， ，则 ，
内层函数 为减函数，外层函数 为增函数，
所以，函数 在区间 上为减函数，则该函数在区间 上为增函数，
， .
对数函数 在 上为增函数，则 ，即 .
指数函数 为增函数，则 ，即 .
指数函数 为增函数，则 ， ，
三、解答题
17． 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若角 ,点 为 边上靠近点 的一个四等分点，且 ，求 的面积 .
【答案】（1） （2）
【解析】（1）将已知等式右边提取 ，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，求出 的值，由 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数；
【详解】
根据题意，设圆C的半径为r，
以点 为圆心的圆C与直线 相切，则圆心到直线的距离为半径，则有 ，
则圆C的方程为 ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
【答案】
【解析】由题设可得 ，即 ，也即 ，所以 ，令 可得 ，将以上 等式两边相加可得 ，所以 ，即 ，令 ，则 ，解之得 或 ，应填答案 。
点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组 ，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】基本事件总数n 6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．
【详解】
今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，
则基本事件总数n 6，
他们选课相同包含的基本事件m＝1，
∴他们选课相同的概率p ．
故选：D．
【点睛】
本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.
， ，
化简得 ，即 ，因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线与椭圆离心率关系的计算，同时也涉及了椭圆和双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
12．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ,则函数 在区间 的所有零点之和为（）
A．-7B．-6C．-5D．-4
【答案】A
【解析】利用定义推导出函数 是周期为 的函数，并作出函数 与函数 在区间 上的图象，可知两函数在区间 上的图象关于直线 对称，然后利用数形结合思想得出函数 在区间 上的零点之和.
14．在矩形 中， ， ， ，则 __________.
【答案】
【解析】作出图形，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，然后利用坐标计算出 的值.
【详解】
如下图所示，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，则点 、 ，
，则 ，则点 ， ， .
此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．
18．如图，已知直三棱柱 中， ， ， 是 的中点， 是 上一点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 余弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明出 ，可得出 ，即有 ，再证明出 平面 ，可得出 ，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出 平面 ；
设输出的 值为 ，可知直线 与函数 的图象有 个交点，
如下图所示：
由图象可知，当 时，直线 与函数 的图象有 个交点，
因此，此输出结果 可能是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查程序框图与函数的综合问题，读懂程序框图的功能是解题的关键，同时也涉及了由两函数图象的交点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
由于函数 在区间 上为增函数，因此， .
故答案为： ； ； .
【点睛】
本题考查函数值的大小比较，涉及了函数单调性与奇偶性的判断，在涉及偶函数的性质时，一般结合性质 来判断，同时要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16．已知数列 中， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为__________．
【详解】
对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确；
对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误；
对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由 ，得 ，所以，复数 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确.
2．在复平面内，给出以下四个说法：
①实轴上的点表示的数均为实数；
②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；
③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；
④已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于第四象限.
其中说法正确的个数为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数的几何意义可判断出命题①②的正误，根据共轭复数的概念判断命题③的正误，利用复数的除法求出复数 ，结合复数的几何意义可判断出命题④的正误.
因此，函数 在区间 的所有零点之和为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的零点之和，转化为两函数图象的交点并结合图象的对称性求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题
13．已知以点 为圆心的圆C与直线 相切，则圆C的方程为______．
【答案】
【解析】根据题意，设圆C的半径为r，由直线与圆的位置关系可得 ，结合圆的标准方程分析可得答案．