机械波波动方程ppt课件

2
1
( t2
t1
)
t
T
2
T是波在时间上的 周期性的标志20
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
t时刻的波形方程
y(
x
)
A cos[ (
t
x u
)0]
y
u t t t
t+t时刻的波形方程
O
x
y(
x
)
A cos[ (
t
t
x u
)
0]
x x
t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离
y Acos[(t
x u
)
0
]
或
y
Acos[2 ( t
T
x)
0 ]
y
Acos[ 2 t
2x
)0
]
y
A cos[
2
(
ut
x
)
0
]
Acos[
k(
ut
x
)0]ຫໍສະໝຸດ k 2 波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的
数目。
16
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 t
y
2
y
A cos[ (
t
x u
)
0
]
求t 的二阶导数
2y t 2
A
2
cos[ (t
x u
)
0
]
求x的二阶导数
2y x 2
2
A u2
cos[ (t
x u
)
0
]
1 u2
2y t 2
2y x 2
1 u2
2y t 2
平面波的波动 微分方程
23
小结
求解波动方程方法:
1 找任意一点 x0 的振动方程
y 0.05cosπ[2.50t x] (SI)
解：方法一（比较系数法）.
y Acos2π ( t x )
T
把题中波动方程改写成
比较得
y 0.05cos2π[ 2.50t x ] 22
T 2 0.8 s 2.5
2.00 m
u 2.50 ms1
T
26
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
大学物理学电子教案
机械波、波动方程
13-1 机械波的基本概念 13-2 平面简谐波的波动方程
1
第十三章
机械波和电磁波
波动是振动的传播过程. 振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动
电磁波 交变电磁场在空间的传播.
2
13-1 机械波的基本概念
一、机械波产生的条件 机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1、有做机械振动的物体，即波源；
6
波前
波面
*
球面波
波线
平面波
7
四、描述波动的几个物理量
1、波速 u 振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为波速 ，也称之相速
在固体媒质中横波波速为
u
G
在固体媒质中纵波波速为 u//
E
G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
8
在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
B
u//
B为介质的容变弹性模量
为密度
9
2、波的周期和频率 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波
的数目，用表示。
3、波长
T 2 1
同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。
T u u 介质决定 波源决定
10
例1 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， 水中的声速 u2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz
x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u
14
沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程
相位落后法
y Acos(t x )
A y u
u
P
x
Ox *
A
点 P 比点 O 落后的相位 p O
点
p
2π
x
P 振动方程
2π x x
Tu u
yp Acos
(t
x) u
15
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 Acos(t 0 )
22
27
2）求t 1.0s 波形图.
y 1.0cos(t 2 x)
22
t 1.0s
波形方程
y (1.0m)cos[ π π x] 2
(1.0m)sinπ x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图 28
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
y 1.0cos(t 2 x)
幅 A 1.0m ，T 2.0s， 2.0m. 在 t 0时坐标原
点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动. 求
1）波动方程 解 写出原点处质点的振动方程
y0 Acos(t )
O
A
y
t0 x0
π
y 0, v y 0
2
t
2 /T
y0
1.0cos(t
2
)
y 1.0cos(t 2 x)
➢ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
注:生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波,情况比较复杂 5
三、波线和波面 波场--波传播到的空间。 波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。 波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。 波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
2、有连续的介质—弹性介质.
波源
机
+
弹性作用
械
介质
波
注意
波是运动状态的传播，介质的
质点并不随波传播.
3
二、横波和纵波
(1)横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. 如绳波(机械横波仅在固体中传播)、电磁波
➢ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
4
(2) 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. 如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
解
由
u
，频率为200
Hz和2000
Hz
的声波在
空气中的波长
1
u1
1
340m s1 200Hz
1.7
m
2
u1
2
0.17
m
在水中的波长
1
u2
1
1450m s1 200Hz
7.25 m
2
u2
2
0.725 m
11
13-2 平面简谐波的波动方程
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系
y(
x
x , t
t
)
Acos[( t t Acos[( t x
u
x ut
u )0]
)0]
y( x x,t t ) y( x,t ) 21
y( x x,t t ) y( x,t )
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
u t t t
O
x
x x
22
三、平面波的波动微分方程
(t
x) 200
237
0
小结
1 机械波 1) 产生条件 2) 描述波动的物理量
2 波动方程 1) 波动方程的推导 2) 波动方程的物理意义 3) 波动方程的求解 (重点)
38
作业 习题册:17-24
39
u
8m 5m 9m
10m
C
B oA
Dx
B
C
2π
xB
xC
2π
8 10
1.6π
C
D
2π
xC
xD
2π
22 10
4.4π
33
思考 1）给出下列波动方程所表示的波的传播方
向和 x 点0 的初相位.
y Acos2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
y Acos (t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
求 O、a、b、c 各
点振动初相位.
t =0 A y
Oa
(π ~ π )
A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
π 2
35
例4 一平面简谐波以波速u=200m·s-1 沿 x 轴正方向传播, 在 t = 0 时刻的波形如图所示。
(1) 求 o 点的振动方程与波动方程 ； (2) 求 t = 0.1 s , x = 10 m 处质点的位移、振动速度和加速度。
22
x 0.5m 处质点的振动方程
y 1.0cos[π t π]
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
29
例3 一平面简谐波以速度 u 20m / s沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程 yA 3102 cos 4 π t .
y0 Acos(t )
2 写出沿 x 轴传播的波动方程
y Acos(t 2 x x0 ) 沿 x 轴传播
y Acos(t 2 x x0 ) 沿 x 轴传播
24
或
y Acos[(t x) ]
u
y Acos[(t x) ]
u
沿 x 轴传播 沿 x 轴传播
25
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
2
A cos[ (t
x) u
]
17
二、波动方程的物理意义 y
T
y
A cos[ (
t
x u
)0]
O
1、如果给定x，即x=x0
t T
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
y( t ) Acos( t 2x0
x0处质点的振动初相为
0 )
2x0
0
2x0
为x0处质点落后于原点的位相
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
y表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为p点在x轴的坐标
13
时间推迟方法
yu
x
O点振动状态传到p点需用
t
x u
Ox
p
t 时刻p处质点的振动状态重复
t x 时刻O处质点的振动状态
u p点的振动方程：
y
A cos (t
x)
u
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动.
是波在空间上的周期性的标志
18
波线上各点的简谐运动图
19
同一波线上任意两点的振动位相差
2
1
x2
x1
2
x
2
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x)
y
A cos[ (
t0
x u
)0]
Y
u
表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布
x1 x2 X
，即给定了t0 时刻的波形
同一质点在相邻两时刻的振动位相差
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
➢ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
12
一、平面简谐波的波动方程 一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线
设原点振动表达式： y0 Acost
45
x (m)
波动方程
y
0.02 cos100
(t
x) 200
2
4m
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点
位移
y
0.02
cos100
(t
x 200
)
2
0
速度
v
y t
0.02 100
sin100
(t
x )
200
2
2
加速度
a
2 y t 2
0.02 (100
)2
cos100
解： A
u 200 50Hz
4
0.02
y (m) t = 0 时波形
2 100s1
u = 200m·s-1
o
12
3
45
x (m)
4m
36
(1) O 点振动方程
y (m) t = 0 时波形
0.02
u = 200m·s-1
y Acost
0.02 cos 100t
2
o
12
3
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3102 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos(t 2 x x0 )
y 3102 cos(4 t 2 x )(m)
10
30
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3102 cos 4 π t
C
B oA
Dx
点 C 的相位比点 A 超前
yC
3102
cos[4 π t
2π
AC ]
3102 cos[4 π t 13 π]
点 D 的相位落后于点 A
5
yD
3102
cos[4 π t
2π
AD ]
3102 cos[4 π t 9 π]
32
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA 3102 cos 4 π t
u
8m 5m 9m
C oB A
Dx
B
A
2π
xB
xA
2π 5 10
π
B π
yB 3102 cos(4 π t π)
y 3102 cos(4t π 2 x )(m)
10
31
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u 8m
yA (3102 m) cos 4 π t
5m 9m
10m
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
式中 A, B为,C正常数，求波长、波速、波传播方向上
相距为 的两d 点间的相位差.
y Acos(Bt Cx) y
Acos2 π ( t
x)
T
2π T 2π u B 2π d dC
C
B
TC
34
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，