2019学年高一数学5月月考试题 文人教 新版

2019高一下第二次月考
数学(文科)试题
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. 把答案填在答题卡的相应位置）
1. 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A
B =（ ）
A ．()1,3-
B ．()1,0-
C ．()0,2
D ．()2,3 2．ππ
2sin
cos 1212
的值是（ ）
A ．1
B ．
2
C ．12
D ．1
4
3. 已知)0,1(=a ，)1,(λ=b ，若+与垂直，则λ的值是( ) A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±
4. 设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ∥n ，n α⊂，则m α∥ B ．m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n ∥ C. αβ∥，m α⊂，则m β∥ D ．m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥
5. 数列{n a }中，()1n
n a n =-，则1210a a a ++
+=（ ）
A . 5
B . 5-
C . 10
D . 10- 6. 已知5
2
)tan(,21tan -=-=
βαα，那)2tan(βα-的值为（ ） A ．43 B ．89 C.89- D ．12
1
7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，
已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ． 4
B ．6+．2
8. 已知4log 0.7a =，2log 3b =，0.6
0.2
c =，则,,a b c 的大小关系是( )
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
9. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒（即 30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处， 测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向 上，且仰角为30︒．则此山的高度CD ＝( )
A ．
B ．
C ．m
D ．
10. 三棱柱111A B C ABC -中，1A A ABC ⊥平面，AC BC ⊥ 12A A =、1AC =、
BC =，则该三棱柱111A B C ABC -的外接球的表面积为( )
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．10π
11. 如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ,2AB =,3AC =,
BC =则⋅AO BC 等于( )
A .
3
2
B .
5
2
C . 2
D .3 12. 已知函数21(0)
(),()(1)(0)
x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实
数a 的取值范围为（ ）
A ．(,1]-∞
B ．[0,)+∞
C ．[0,1)
D ．(,1)-∞
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分.）
13．已知第二象限的角α的终边与单位圆的交点(2
P m ，则tan α= ． 14. 若向量a 与b 满足：||2,||2,||2a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为________
15. 已知数列{}n a ，11a =,1
122n n n a a --=+, 则5a =__
16. 如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论： ① //BD 平面11D CB ；
② 二面角111C D B C --的正切值是2；
③ 1AC ⊥平面11D CB ；
④ 1AC 与底面ABCD 所成角的正切值是2； 其中，所有正确结论的序号为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）
17. （本小题10分）已知)3,1(,4||-==. （1）若//，求的坐标；
（2）若与的夹角为0
120，求||-
18、（本小题12分）
已知函数R x x x x x f ∈++=,1cos sin 3cos )(2
（1）求)(x f 的最小正周期和最值
（2）设α是第一象限角，且,1021)62(=
+π
αf 求)
22cos()4sin(αππ
α++
的值。

19．（本小题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2AD ＝2，
PD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AB ，PC 的中点．
(1)求证：EF ∥平面PAD ；
(2)求证：平面PDE ⊥平面PEC .
20．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，
4AP AC +=．
（Ⅰ）求边AC 的长；
（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．
21. （本小题12分）如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD ，沿着较短的对
角线BD 对折，使得平面ABD BCD ⊥平面平面，O 为BD 的中点. （Ⅰ）求证：；平面BCD AO ⊥ （Ⅱ）求三棱锥C ABD -的体积； （Ⅲ）求二面角B AC D --的余弦值.
22.(12分)已知函数2() 1 (,),,f x ax bx a b x =++∈R 为实数() (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩
（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当[2, 2]x ∈-时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;
（3）设0,0m n ><, ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?请说明理由。

B O
C D A
2019高一下第二次月考 数学(文科)试题 参考答案
13 . 3- 14 .
3
π
15 . 80 16 . ① ② ③ 17、解：（1）∵)3,1(-=，∴2||=，与共线的单位向量为)23,21(||-±==b c .
∵//,4||=，∴)32,2(||-==或)32,2(-.
（2）∵0120,,2||,4||>=<==，∴4,cos ||||->=<=⋅， ∴282)(2
2
2
=+⋅--=-，∴72||=-b a . 18、解：(1)12sin 2
3
212cos )(+++=
x x x f …………………………………..2分 23
2sin 232cos 21++=
x x 2
3)62sin(++=πx …………………………………..4分 )(x f 函数∴的最小正周期是π，最大值为
2
5
，最小值为
2
1
……………………..6分 （2）,10
21)6
2
(=
+
π
α
f 则1021236)6
2(
2sin =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ
α
则53)2sin(=+
π
α 即5
3
cos =α………………………….8分 又α为第一象限的角 则5
4
sin =α
ααααππ
α2cos )
cos (sin 22
)22cos()
4sin(+=
++
……………………………………..10分
=22
cos )22cos sin cos sin αααααα
+=--225-=………………………..12分
19．证明 (1)如图1，取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点， 所以GF ∥DC ，且GF ＝1
2
DC .
又E 是AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝1
2DC ，
所以GF ∥AE ，且GF ＝AE ，
所以四边形AEFG 是平行四边形，故EF ∥AG . 又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD
.
图1
AD AE ∴= BC BE =
045AED BEC ∴∠=∠=
DE CE ∴⊥
20． 解（Ⅰ）在APC ∆中，设AC x =，则4AP x =-由余弦定理得：
2222cos PC AC AP AC AP PAC =+-∠g
即：2
2
14(4)2(4)2
x x x x =+--⨯⨯-⨯ 解之得：122x x == 即边AC 的长为2
（Ⅱ）由（1）得APC ∆为等边三角形
作AD BC ⊥于D ，则sin 60AD PA =︒=
∴122APB S PB AD ∆=
⨯=2PB = 故4PB = 23
BPA π∠= ∴在ABP ∆中，由余弦定理得：
AB ==∴在ABP ∆中由正弦定理得：
sin sin PB AB
BAP BPA =∠∠ ∴4sin 2
BAP =∠
∴sin
7BAP ∠=
= 21. （1）证明
AO BD ⊥
ABD BCD D ⊥又
平面平面且交线为B AO ABD ⊂平面
AO D ∴⊥平面BC ……….4分
（Ⅱ）324
3
2=⨯=
∆BCD S , C ABD A BCD V V --=
1
1133
C AB
D BCD
V S
AO -∴=⋅== ………………..8分 （Ⅲ）设E 是AC 的中点
,AB BC AD DC ==
,BE AC DE AC ∴⊥⊥
DEB ∴∠是二面角B AC D --的平面角 ……………..10分
AO CO AC ==∴=
BE DE ∴==
10103
2cos 5BED +-∴∠==
DEB ∴∠是二面角B AC D --的平面角的余弦值为2
5
……………..12分
22.(14分)已知函数2() 1 (,),,f x ax bx a b x =++∈R 为实数() (0)
() () (0)
f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩
（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为),0[∞+ ,求)(x F 的表达式;
（2）在（1）的条件下, 当[2, 2]x ∈-时, kx x f x g -=)()(是单调函数, 求实数k 的取值范围;
（3）设0,0m n ><, ,0>+n m 0>a 且)(x f 为偶函数, 判断)(m F ＋)(n F 能否大于零?请说明理由。

22. （1） ∵0)1(=-f , ∴10a b -+= ①
又函数()f x 的值域为),0[∞+ , 所以0a ≠
且由224()24b a b y a x a a -=++知2
404a b a
-=即240a b -= ②
由①②得 1,2a b ==
∴22)1(12)(+=++=x x x x f . ∴⎪⎩⎪⎨⎧
<+->+=)
0( )1()0( )1()(2
2
x x x x x F （2） 由（1）有1)2(12)()(2
2
+-+=-++=-=x k x kx x x kx x f x g
2
22(2)()124
k k x --=++-
, 当
222k -≥或222
k -≤-时, 即6k ≥或2k ≤-时, ()g x 是具有单调性.
（3） ∵()f x 是偶函数
∴,1)(2+=ax x f ∴2
2
1 (0)() 1 (0)
ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨
--<⎪⎩, ∵0,0,m n ><设,m n >则0n <.又0, 0,m n m n +>>-> ∴|| ||m n >-
∴)(m F ＋)(n F 2222()()(1)1()0f m f n am an a m n =-=+--=->, ∴()F m ＋()F n 能大于零.。