人教版八年级数学下册18.2.2第1课时菱形的性质教案

菱形
第 1 课时菱形的性质
1．掌握的定义和性质及菱形面积的求
法； (要点 )
2．灵巧运用菱形的性质解决问题．(难点 )
一、情境导入
将一张矩形的纸对折再对折，而后沿着
图中的虚线剪下，翻开，你发现这是一个什么
样的图形呢？这就是另一类特别的平行四边形，即菱形．
二、合作研究
研究点一：菱形的性质
【种类一】利用菱形的性质证明线段
相等
如图，四边形 ABCD 是菱形， CE
⊥AB 交 AB 延伸线于 E， CF ⊥ AD 交 AD
延伸线于 F .求证： CE＝ CF .
分析：连结 AC.依据菱形的性质可得AC 均分
∠ DAB ，再依据角均分线的性质可
得 CE ＝FC .
证明：连结 AC，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC 均分∠ DAB.∵ CE⊥ AB，CF ⊥ AD，
∴CE＝ CF.
方法总结：菱形的两条对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角；角均
分线的性质：角的均分线上的点到角的两边
的距离相等．
【种类二】利用菱形的性质进行有关
的计算
如图，O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点， CD＝ 5cm，OD ＝ 3cm.过点 C 作 CE∥ DB ，过点 B 作 BE∥ AC， CE 与 BE
订交于点 E.
(1)求 OC 的长；
(2)求四边形 OBEC 的面积．
分析： (1)在直角三角形OCD 中，利用勾股定理即可求解； (2)利用矩形的定义即可
证明四边形OBEC 为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥ BD.在直角三角形OCD中，OC＝CD 2－OD 2＝52－ 32＝ 4(cm)；
(2)∵CE∥DB， BE∥AC ，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD ，即
∠ COB ＝ 90°，∴平行四边形OBEC 为矩形．∵ OB＝ OD ，∴ S 矩形OBEC＝ OB·OC＝ 4×3＝12(cm2)．
方法总结：菱形的对角线相互垂直，则
菱形对角线将菱形分红四个直角三角形，所以能够利用勾股定理解决一些计算问题．
【种类三】运用菱形的性质证明角相
等
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、 BD 订交于点 O， DH ⊥AB 于 H ，连结 OH ，求证：∠ DHO ＝∠ DCO .
分析：依据“菱形的对角线相互均分”可得 OD ＝ OB，再依据“直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半”可得 OH＝OB，∠ OHB
＝∠OBH ，依据“两直线平行，内错角相等”求出∠ OBH＝∠ ODC ，而后依据“等
角的余角相等”证明即可．
证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ OD
＝OB，∠ COD ＝ 90°.∵ DH ⊥ AB，∴ OH＝
1
2 BD ＝OB，∴∠OHB＝∠OBH .又∵AB∥CD，∴∠ OBH ＝∠ ODC ，∴∠ OHB ＝∠ ODC .在
Rt△ COD 中，∠ ODC ＋∠DCO ＝ 90°.在
Rt△ DHB 中，∠ DHO ＋∠OHB ＝ 90°，
∴∠ DHO ＝∠ DCO .
方法总结：此题考察了菱形的对角线相
互垂直均分的性质，直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角
相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解
题的要点．
【种类四】运用菱形的性质解决研究
性问题
感知：如图①，在菱形 ABCD 中，AB ＝BD，点 E、F 分别在边 AB 、AD 上．若
AE ＝DF ，易知△ ADE≌△ DBF .
研究：如图②，在菱形ABCD 中， AB
＝ BD ，点 E、F 分别在 BA、AD 的延伸线
上．若 AE ＝DF ，△ADE 与△DBF 能否全等？
假如
全等，请证明；假如不全等，请说明原因．
拓展：如图③，在 ?ABCD 中，AD＝ BD，
点 O 是 AD 边的垂直均分线与 BD 的交点，点 E、F 分别在 OA、AD 的延伸线上．若 AE
＝DF ，∠ ADB ＝50°，∠ AFB ＝ 32°，求∠ ADE
的度数．
分析：研究：△ ADE 与△ DBF 全等，利用菱形的性质第一证明三角形ABD 为等边三角形，再利用全等三角形的判断方法即
可证明△ ADE ≌△ DBF ；拓展：由于点 O 在AD 的垂直均分线上，所以OA＝ OD，再通过证明△ ADE ≌△ DBF ，利用全等三角形
的性质即可求出∠ADE 的度数．
解：研究：△ ADE 与△ DBF 全等．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝ AD .∵ AB＝
BD ，∴ AB＝ AD＝ BD ，∴△ ABD 为等边三角形，∴∠ DAB ＝∠ ADB ＝ 60°，∴∠ EAD ＝∠ FDB ＝ 120°.∵ AE ＝ DF ，∴△ ADE ≌△ DBF ；
拓展：∵点O 在 AD 的垂直均分线上，
∴OA ＝ OD.∴∠ DAO ＝∠ ADB ＝ 50°，∴∠EAD ＝∠ FDB ＝ 130°.∵ AE＝ DF ，AD ＝
DB ，∴△ ADE≌△ DBF ，∴∠ DEA ＝∠ AFB ＝32°，∴∠ EDA ＝∠ OAD－∠ DEA ＝18°.
方法总结：此题考察了菱形的性质、等边三角形的判断和性质以及全等三角形的
判断和性质的综合运用，解题时必定要熟习
有关的基础知识并进行联想．
研究点二：菱形的面积
已知菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 订交于点 O，∠ BAD ＝ 120°，AC＝ 4，则该菱形的面积是 ()
A．16 3B．8 3C．4 3 D ．8
分析：∵四边形 ABCD是菱形，∴ AB
1
AC ＝2，OB＝
1
＝ BC，OA＝BD ，AC⊥ BD，
22
∠ BAD ＋∠ ABC ＝ 180°.∵∠ BAD ＝ 120°，∴∠ ABC＝ 60°，∴△ ABC 是等边三角形，
∴AB ＝ AC ＝ 4 ，∴OB ＝ AB2－OA2＝
42－ 22＝ 2 3，∴ BD＝2OB＝ 43，∴ S 菱形11
3＝ 8 3.应选 B. ABCD ＝AC·BD＝×4×4
22
方法总结：菱形的面积有三种计算方
法：① 将其当作平行四边形，用底与高的积来求；② 对角线分得的四个全等三角形面积之和；③ 两条对角线的乘积的一半．
三、板书设计
1．菱形的性质
菱形的四边条都相等；
菱形的两条对角线相互垂直均分，而且每一条对角线均分一组对角．
2．菱形的面积
1
S 菱形＝边长×对应高＝2ab(a， b 分别是两条对角线的长)
经过剪纸活动让学生主动研究菱形的
性质，大部分学生能所有获得结论，少量需要教师加以指引．可是学生获得的结论，有一些是他们的猜想，能否正确还需要证明，
所以问题就上涨到证明这个环节．在整个新知生成过程中，研究活动起了重要的作
用．讲堂中学生一直处于察看、比较、归纳、总结和踊跃思想状态，亲身感觉到自己是学
习的主人．为学生此后获得知识、研究发现
和创建打下了优秀的基础，更加强了敢于实践，勇于研究，不停创新和努力学习数学知
识的信心和勇气．。