山东省聊城市凤凰中学2020-2021学年高一数学理模拟试卷含解析

山东省聊城市凤凰中学2020-2021学年高一数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若实数x，y满足条件，则目标函数z＝2x－y的最小值（）
A. B. －1 C. 0 D. 2
参考答案：
A
【分析】
线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。

【详解】
可行域如图所示，当目标函数平移到A点时z取最小值，
故选A
【点睛】线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。

2. 在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若，，则在中最大的是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
C 【分析】
由题意知．由此可知，所以在中最大的是．
【详解】由于，
所以可得．
这样，
而，
所以在在中最大的是．
故选C．
【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
3. 函数图象的一条对称轴方程是( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
4. （5分）集合A={x|2≤x＜5}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}则（?R A）∩B等于（）
A．? B．{x|x＜2} C．{x|x≥5}D．{x|2≤x＜5}
参考答案：
C
考点：交、并、补集的混合运算；全集及其运算．
专题：计算题．
分析：先求集合A的补集，再化简集合B，根据两个集合交集的定义求解．
解答：∵A={x|2≤x＜5}，
∴C R A={x|x＜2或x≥5}
∵B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，
∴B={x|x≥3}
∴（C R A）∩B={x|x≥5}，
故选C．
点评：本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
5. 若tanθ=3，则cos2θ=（）
A．B．C．﹣D．﹣
参考答案：
C
【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由条件利用角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2θ的值．
【解答】解：∵tanθ=3，则cos2θ====﹣，
故选：C．
6. 在平面直角坐标内A，B两点满足：
1．点A，B都在函数y＝f(x)的图象上；
2．点A，B关于原点对称，则称A，B为函数y＝f(x)的一个“黄金点对”．
则函数f(x)＝的“黄金点对”的个数为 ( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
参考答案：
D
7. 动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0
时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）
A．[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12] 参考答案：
D
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】由动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在[0，12]变化时，点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间．
【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上
，在[7，12]上，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．
故选D．
8. 方程和的根分别是、，则有（）
A. ＜
B. ＞
C. =
D. 无法确定与的大小
参考答案：
A
9. 函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据正切函数的定义域可知，化简即可求出.
【详解】因为，
所以
故函数的定义域为 ，选D.
10. 已知函数
，则
( )
A.30
B.6
C.9
D.20
参考答案：
D
考点：函数值
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率
分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60
）元的同学的概率为
.
参考答案：
略
12. 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。

参考答案：
25 略
13. 通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是，其中，
是被测地震
的最大振幅，
是“标准地震”的振幅，
为震级．请问2013年10月31日台湾花莲县6.7级地
震的最大振幅是2013年10月30日福建仙游县4.3级地震最大振幅的______________倍．
参考答案：
略
14. 函数f （x ）=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2．当x∈（﹣
2.5，3]时，f （x ）的值域是 ．
参考答案：
{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3} 【考点】函数的值域．
【分析】由题意，函数f （x ）=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数，这个整数必须是小于等于x 的最大整数，对x 进行分段讨论即可．
【解答】解：∵函数f （x ）=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数，
当x∈（﹣2.5，3]时，对其分段： 当﹣2.5＜x ＜﹣2时，f （x ）=﹣3；
当﹣2≤x＜﹣1时，f （x ）=﹣2；当﹣1≤x＜0时，f （x ）=﹣1；当﹣1≤x＜0时，f （x ）=0； 当1≤x＜2时，f （x ）=1；当2≤x＜3时，f （x ）=2；当x=3时，f （x ）=3； 综上可得：当x∈（﹣2.5，3]时，f （x ）的值域是{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故答案为：{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}
15. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组
后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，若抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落人区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．
参考答案：
7
【考点】系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n =9+（n ﹣1）30=30n ﹣21，由751≤30n ﹣21≤981 求得正整数n 的个数，即为所求． 【解答】解：∵960÷32=30，
∴由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列， 且此等差数列的通项公式为a n =9+（n ﹣1）30=30n ﹣21．
落人区间[751，960]的人做问卷C ， 由 751≤30n ﹣21≤960， 即772≤30n≤981 解得
≤n≤
．
再由n 为正整数可得 26≤n≤32，
∴做问卷C的人数为32﹣26+1=7，故答案为：7
16. 函数取最大值时的值是
.
参考答案：
17. 在等比数列{a n}中,a 5a7=6,a 2+a 10=5,则等于_____________
参考答案：
或.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 定义在R 上的单调递增函数，对任意都有
（1）求证：为奇函数；
（2）若对任意恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案：
解：
（1）证明：（），①
令，代入①式，得，即
令，代入①式，得，又，
则有，即对任意成立.
所以是奇函数.
（2）解：∵为增函数且为奇函数
∴恒成立
即恒成立
即设令，
∴（）
∵对称轴，∴
∴
19. 已知函数解析式为.
（1）求；
（2）画出这个函数的图象,并写出函数的值域；
（3）若,有两个不相等的实数根，求的取值范围.
参考答案：
（1）；（2）图见解析，值域为；（3）.
【分析】
（1）将-1代入求得即可求；（2）做出图象，进而得值域；（3）转化为与有两个交点即可求解
【详解】（1）=-6，故=-1
（2）图象如图，值域为
（3）原题转化为与有两个交点，故
【点睛】本题考查分段函数及性质，求值域，函数零点问题，考查数形结合思想，中档题，注意易错点
20. 已知sinα=﹣，tan（α+β）=﹣3，π＜α＜，0＜β＜π．
（Ⅰ）求tanβ；
（Ⅱ）求2α+β的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]得值．
（Ⅱ）先求得tan（2α+β）=tan[（α+β）+α]的值，再根据2π+＜2α+β＜，求得
2α+β得值．
【解答】解：（Ⅰ）因为π＜α＜，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==，
∴tanβ=tan[（α+β）﹣α]= = =7．
（Ⅱ）因为tan（α+β）=﹣3，tanα=，所以tan（2α+β）=tan[（α+β）
+α]= = =﹣1．
由（Ⅰ）知tanβ＞1，所以＜β＜．
又因为π＜α＜，所以2π+＜2α+β＜，所以2α+β=2π+=．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于中档题．
21. 数列{a n}中，，且．
（1）求a3，a4；
（2）求数列{a n}的通项a n；
（3）若数列{b n}的前n项和，求数列{a n b n}的前n项和T n．参考答案：
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】（1），且．可得a3=．同理可得
a4．
（2）由．可得：a n+2﹣a n+1=（a n+1﹣a n），a2﹣a1=．利用等比数列的通项公式可得：a n+1﹣a n，再利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．
（3）数列{b n}的前n项和，n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1．n=1时，a1=S1=，上式也成立．可得
b n=．a n b n=×（2n﹣1）﹣（2n﹣1）×．设{（2n﹣1）×}的前n项和为A n，利用错位相减法即可得出．
【解答】解：（1）∵，且．
∴a3==．
a4==37．
（2），且．
由．
可得：a n+2﹣a n+1=（a n+1﹣a n），a2﹣a1=．
∴数列{a n+1﹣a n}是等比数列，首项与公比都为．
∴a n+1﹣a n=，
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=+…++
=+=﹣．
（3）数列{b n}的前n项和，
∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1==．n=1时，b1=S1=，上式也成立．
∴b n=．
a n
b n=×（2n﹣1）﹣（2n﹣1）×．
设{（2n﹣1）×}的前n项和为A n，
则A n=+5×+…+（2n﹣1）×．
=++…+（2n﹣3）×+（2n﹣1）×，
∴=+2×+…+﹣（2n﹣1）×=+2×
（2n﹣1）×，
可得A n=10﹣（6n+15）×．
∴数列{a n b n}的前n项和T n=﹣10+（6n+15）×
=﹣10+（6n+15）×．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、数列递推关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. （15分）如图所示的多面体A1ADD1BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1∥DD1∥CC1，
2AB=2AA1=CC1=DD1=4，且AA1⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面CDD1C1；
（Ⅱ）求多面体A1ADD1BCC1的体积V．参考答案：
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（I）取DD1的中点M，连结A1M，CM，易证四边形AA1MD为平行四边形，进而A1M∥AD，A1M=AD，结合底面ABCD为正方形，可得A1M∥BC，A1M=BC，即四边形A1BCM为平行四边形，故有A1B∥CM，结合线面平行的判定定理，可得A1B∥平面CDD1C1；
（Ⅱ）由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面A1ADD1及BC⊥平面CDD1C1，由
V=+，代入棱锥体积公式可得答案．
解答：证明：（I）取DD1的中点M，连结A1M，CM
由题意可得AA1=DM=2，AA1∥DM
∴四边形AA1MD为平行四边形
即A1M∥AD，A1M=AD
又由底面ABCD为正方形
∴AD∥BC，AD=BC
∴A1M∥BC，A1M=BC
∴四边形A1BCM为平行四边形
∴A1B∥CM
又∵A1B?平面CDD1C1，CM?平面CDD1C1；
∴A1B∥平面CDD1C1；
（II）连结BD
∵AA1⊥底面ABCD，AB?底面ABCD
∴AA1⊥AB
又∵AD⊥AB，AD∩AA1=A
∴AB⊥平面A1ADD1，
同理可证BC⊥平面CDD1C1，
∴V=+=×（+4×2×2）=
点评：本题主要考查空间线与线，线与面的位置关系，体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力．。