2015年高考数学总复习配套教案：2.4函数的奇偶性及周期性

第二章函数与导数第4课时函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13～14
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考点分析考点新知
①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命
题的热点，命题时主要是考查函数的概念、
图象、性质等.
②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期
性分析和解决有关问题．
①了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇
偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.
②掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并
能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.
③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期
性解决一些问题.
1. (必修1P45习题8改编)函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________．
答案：
1
2
解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝
1
2.
2. (必修1P43练习5改编)函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.
答案：原点
解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．
3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________．
答案：1
解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.
4. (必修1P43练习4)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：
① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； ③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； ④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数． 其中，正确的说法是________．(填序号) 答案：①③
解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函
数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x>0，
x ＋2，x<0，
由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．
5. (必修1P 54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x 3＋x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
答案：x 3＋x －1
解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x 3－x ＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x 3＋x －1.
1. 奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2. 判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
(1) 考查定义域是否关于原点对称．
(2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．
若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
若存在x 使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．
3. 函数的图象与性质
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系
(1) 注意函数y ＝f(x)与y ＝kf(x)的单调性与k(k ≠0)有关．
(2) 注意函数y ＝f(x)与y ＝
1
f （x ）
的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相反的单调性． 5. 函数的周期性
设函数y ＝f(x)，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f(x ＋T)＝f(x)，
则称函数f(x)为周期函数，T 为函数f(x)的一个周期．(D 为定义
域)
题型1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 3－1
x ；
(2) f(x)＝1－x 2
|x ＋2|－2；
(3) f(x)＝(x －1)
1＋x
1－x
； (4) f(x)＝3－x 2＋x 2－3.
解：(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．
由⎩
⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，
x ≠0且x ≠－4. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0. 从而有f(x)＝1－x 2
x ＋2－2＝
1－x 2
x
， 这时有f(－x)＝
1－（－x ）2
－x
＝－
1－x 2
x
＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．
(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数． 备选变式（教师专享） 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 4＋x ；
(2) f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x<0），
－x 2＋x （x>0）；
(3) f(x)＝lg(x ＋x 2＋1)．
解：(1) 定义域为R ，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x 2＋x)＝－f(x)(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x 2＋x)＝－f(x)(x ＞0)．故函数f(x)为奇函数．
(3) 由x ＋
x 2＋1>0，得x ∈R ，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x ＋
x 2＋1)＋lg(x ＋
x 2＋1)＝lg1
＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
题型2 函数奇偶性的应用
例2 (1) 设a ∈R ，f(x)＝a·2x ＋a －2
2x ＋1(x ∈R )，试确定a 的值，使f(x)为奇函数；
(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．
解：(1) 要使f(x)为奇函数， ∵ x ∈R ，∴ 需f(x)＋f(－x)＝0. ∵ f(x)＝a －2
2x ＋1
，
∴ f(－x)＝a －2
2－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1
.
由⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
a －2x ＋1
2x ＋1＝0，得2a －2（2x ＋1）2x ＋1
＝0， ∴ a ＝1.
(2) 由f(x)的定义域是()－1，1，知⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，
－1<4－a 2
<1，
解得3<a< 5.
由f(a －2)－f(4－a 2)<0，得f(a －2)<f(4－a 2)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a －2|)<f(|4－a 2|)．
由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a －2|<|4－a 2|，解得a<－3或a>－1且a ≠2. 综上，实数a 的取值范围是3<a<5且a ≠2. 变式训练
(1) 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，
ax 2＋bx ，x>0是奇函数，求a ＋b 的值；
(2) 已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－
m 2)<0，求实数m 的取值范围．
解：(1) 当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x 2－x ＝－ax 2－bx. 从而a ＝－1，b ＝1，所以a ＋b ＝0. (2) 由f(x)的定义域是[－2，2]，
知⎩
⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.
因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m 2)，即f(1－m)<f(m 2－1)． 由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减， 所以在[－2，2]上是递减函数， 所以1－m>m 2－1，解得－2<m<1. 综上，实数m 的取值范围是－1≤m<1. 题型3 函数奇偶性与周期性的综合应用
例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0，
2]时，f(x)＝2x －x 2.
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 当x ∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)的值．
(1) 证明：因为f(x ＋2)＝－f(x)，
所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：因为x ∈[2，4]，
所以－x ∈[－4，－2]，4－x ∈[0，2]， 所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x 2＋6x －8.
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x 2＋6x －8，即f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，4]． (3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
备选变式（教师专享）
已知定义在R 上的函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，且当x ＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－23
.
(1) 求证：f(x)为奇函数；
(2) 求证：f(x)在R 上是减函数；
(3) 求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．
(1) 证明：令x ＝y ＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y ＝－x ，可得f(x)＋f(－x)＝f(x －x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2) 证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，于是f(x 1－x 2)＜0.从而f(x 1)－f(x 2)＝f[(x 1－ x 2)＋x 2]－ f(x 2) ＝ f (x 1－ x 2) ＋f(x 2)－ f(x 2) ＝ f (x 1－ x 2)＜0.所以f(x)为减函数．
(3) 解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.
1. (2013·苏州期初)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x ＋4)＝f(x)．当x ∈(0，2)时，f(x)＝－x ＋4，则f(7)＝________．
答案：－3
解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.
2. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．
答案：(－5，0)∪(5，＋∞)
解析：作出f(x)＝x 2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x 表示函数y ＝f(x)的图象在y ＝x 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．
3. (2013·天津)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a 满足f(log 2a)＋f(log 12
a)≤2f(1)，则a 的取值范围是________．
答案：⎣⎡⎦⎤12，2
解析：因为f(log 12
a)＝f(－log 2a)＝f(log 2a)，所以原不等式可化为f(log 2a)≤f(1)．
又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以|log 2a|≤1，解得1
2
≤a ≤2.
4. (2013·盐城二模)设函数y ＝f(x)满足对任意的x ∈R ，f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2(x)＝9.已知当x ∈[0，1)时，有f(x)＝2－|4x －2|，则f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝________．
答案：5
解析：由题知f ⎝⎛⎭⎫12＝2，因为f(x)≥0且f 2(x ＋1)＋f 2
(x)＝9，故f ⎝⎛⎭⎫32＝5，f ⎝⎛⎭⎫52＝2，f ⎝⎛⎭⎫72＝5，如此循环得f ⎝⎛⎭⎫6712＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4×168－12＝5，即f ⎝⎛⎭⎫2 0136＝ 5.
1. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x>0，则f(2 014)＝
________．
答案：1
解析：由已知得f(－1)＝log 22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2 014)＝f(4)＝1. 2. 已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________．
答案：7
解析：由条件，当0≤x ＜2时，f(x)＝x(x ＋1)(x －1)，即当0≤x ＜2时，f(x)＝0有两个根0，1，又由周期性，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根2，3，当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根4，5，而6也是f(x)＝0的根，故y ＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为7. 3. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f(x ＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________．
答案：[2，＋∞)
解析：∵ 当x ≥0时，f(x)＝x 2且f(x)是定义在R 上的奇函数，又f(x ＋t)≥2f(x)＝f(2x)，易知f(x)在R 上是增函数，∴ x ＋t ≥2x ，∴ t ≥(2－1)x.
∵ x ∈[t ，t ＋2]，∴ t ≥(2－1)(t ＋2)，∴ t ≥ 2.
4. 已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a)≤f(x －2)恒成立，求实数a 的取值范围．
解：∵ f(x)是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，不等式f(1＋xlog 2a)≤f(x －2)等价于f(|1＋xlog 2a|)≤f(2－x)．
又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴ |1＋xlog 2a|≤2－x ， ∴ x －2≤1＋xlog 2a ≤2－x ，∴ 1－3x ≤log 2a ≤1
x －1，
上述不等式在x ∈⎣⎡⎦⎤
12，1上恒成立， ∴ ⎝⎛⎭
⎫1－3
x max
≤log 2a ≤⎝⎛⎭⎫
1x －1min
，
∴ －2≤log 2a ≤0，解得1
4≤a ≤1.
1. 函数奇偶性的判断，本质是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0或f(x)－f(－x)＝0)是否成立．
2. 若f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．
请使用课时训练（A ）第4课时（见活页）.
[备课札记]。