福建省八县一中2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题 含答案

2015——2016学年度第二学期八县（市）一中期中联考
高中二年数学(理）科试卷
完卷时间：120 分钟满分：150 分
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1。

已知复数z满足1i(2+i)
z=+(i为虚数单位)，则||z等于（)
A。

2B。

22 C. 4 D。

8
2。

有一段演绎推理是这样的:“若一条直线平行于一个平面，则此直线平行于这个平面内的所有直线”.已知直线//b平面α，直线a⊂平面α,则直线//b直线a”．你认为这个推理( ）
A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误
3．若函数2
x=处的切线与()x
=+(e为自然对数的底数）的图象在0
f x e ax
直线230
x y
平行，则实数a的值为
( ）
A．1 B．0 C．3-D．4-
4．函数
2()2ln f x x x
=-的单调递减区间为
（ )
A ．(0,1)
B ．(－1，1)
C ．（0，＋∞）
D ．(1，＋∞） 5
．
若
2
(cos sin )2
a x x dx π
-=⎰
，则实数
a
等于
( ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3 6。

若p =
，q =0a ≥）,则p 、q 的大小关系是 （ )
A ．p q <
B 。

p q = C. p q > D 。

由a 的取值确定 7．已知函数3
21()(2)33
f x x
ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围
是 （ ）
A ．()1,2-
B ．(),1(2,)-∞-⋃+∞
C ．[]1,2-
D ．(][),12,-∞-⋃+∞ 8．设
,,x y z
（ ）
A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至多有一个小于2
D ．至少
有一个不小于2
9。

已知函数()()y f x x R =∈的图像如右图所
示，则不等式
1()0x f x '-<（）的解集为 （ ）
A ．()
1
,0(,1)2
-∞ B ．()
,0(12)-∞，
C ．1,(12)2⎛⎫
-∞ ⎪
⎝
⎭
，
D ．1,(1)2⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎝
⎭
，
10.下面给出了四个类比推理： ①
a b ，为实数，若220,a b +=则0a b ==；类比推出：12,z z 为复数，若
22
120z z +=，
则 120z z ==。

② 若数列{}n
a 是等差数列,121
n
n b
a a a n
=+++（）,则数列{}n b 也是等差数
列；类比推出：
若数列{}n
c 是各项都为正数的等比数列，12n n n
d c c c =，则数列{}
n
d 也是等比数列。

③ 若,,,a b c R ∈则()()ab c a bc =;类比推出：若a b c ,,为三个向量，则
(a b c a b c ⋅⋅⋅⋅()=).
④ 若圆的半径为a ,则圆的面积为2
a π；类比推出:若椭圆的长半轴长
为a ，短半轴长为b ,则 椭圆的面积为ab π. 上
述
四
个
推
理
中
，
结
论
正
确
的
是
（ ）
A ．① ②
B ．② ③
C ．① ④
D 。

② ④ 11．设函数()
f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则
（ ） A ．2
(2)(0)e f f ->,2(2)(0)f e f > B ．2
(2)(0)e
f f -<，2(2)(0)f e f <
C ．2(2)(0)e
f f ->，2(2)(0)f e f < D ．2
(2)(0)e
f f -<，2(2)(0)f e f >
12．已知函数()g x 满足1()()g x g x
=，当1[,1]3
x ∈时，()3ln g x x =-.若函数
()()f x g x mx =-
在区间1[,3]3
上有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．ln 31,3e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
B ．3[ln 3,)e
C ．1[ln 3,)e
D ．10e
（，）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡相应位置．)
13．复数z 满足:(12i)2i z -=+ （i 为虚数单位) ，则复数z 的共轭复数
z
= .
14．由曲线
223
y x x =-+与直线
3
y x =+围成的平面图形的面积
为 。

15。

观察下列数表：
1
3 5
7 9 11 13
15 17 19 21 23 25 27 29 … … …
设1033是该表第m 行的第n 个数，则m n +=_____________. 16. 已知实数d c b a ,,,满足
33214
a a e c
b d --==-（e 是自然对数的底数）， 则
22)()(d b c a -+-
的最小值为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分10分)已知,R m ∈复数2
(2i)(1i)z m m =+--(12i)-+（其中i 为
虚数单位）。

(Ⅰ）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；
（Ⅱ）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分)已知函数3
21
1
()33
2
f x x ax x =--，且()f x 在1x =-处取得极值．
（Ⅰ）求a 的值;
（Ⅱ）求()f x 在[0,5]上的最值．
19。

数，且0)a >1(),n n a f a += n N *∈。

(Ⅰ）计算2
a ，3
a ，4
a ，并由此猜想出数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想。

20。

（本小题满分12分）已知函数1()ln ,()3
f x x
g x ax b ==+（a 、b 为常数）。

（Ⅰ）若函数()()f x g x 与的图象在1(1)f （，）处相切，求()g x 的解析式；
（Ⅱ）设函数()()a h x f x x
=+1a >（），若()h x 在],1[e 上的最小值为2，求实
数a 的值。

21．(本小题满分12分）已知某公司生产一种仪器元件，年固定成本为20万元,每生产1万件仪器元件需另外投入8.1万元，设该公司一年内共生产此种仪器元件x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为
()f x 万元，且221324(0<10)10
()3241000(10).
x x f x x x
x ⎧
-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩。

（Ⅰ）写出年利润y（万元）关于年产品x（万件）的函数解析式；（Ⅱ)当年产量为多少万件时,该公司生产此种仪器元件所获年利润最大？
(注：年利润=年销售收入－年总成本）
22。

（本小题满分12分）已知函数()(3)22ln()
=--+-∈．
f x a x a x a R
(Ⅰ)若3
a≤，试讨论函数()f x的单调性；
上恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若函数()f x x>在1(0,)
2
2015——2016学年度第二学期八县(市)一中期中联考
高中 二 年 数学（理科） 试卷参考答案
一、选择题:（每题 5 分，共 60 分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分。

请把答案填在答题卡相应位置．)
13．i - 14．92
15. 16 16. 20
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解:2
2(21)(2)i
z m m m m =--++-，…………………………………………………
………….2分
（
1)
由
题
意
得
22
21020
m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩,………………………………………………………………
(3)
解得12
m =-。

12
m ∴=-
时，复数
z
为纯虚
数。

…………………………………………………………………。

5分 （
2)由题意得
22
21020
m m m m ⎧-->⎨+-<⎩，………………………………………………………………
(7)
解得122
m -<<-，
122
m ∴-<<-
时，复数
z
对应的点位于第四象限.. ……………………………………………。

10分 18
．
解
：
(
Ⅰ
）
2()3f x x ax '=--，……………………………………………………………
……….1分
因
为
()
f x 在
1
x =-处取得极值， 所以
2(1)(1)30f a '-=-+-=， (4)
分
解得2a =, 经
检
验
，
2
a =符合题意，因此2a =．……………………………………………………………。

6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得3
21()33
f x x
x x =--, 2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-,
令
()0,
f x '=解
得
121,3
x x =-=…………………………………………………………………
…. 8分
当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表
……………………………………………………………………………………………10分
由上表知： 当
5
x =时，
()
f x 有最大值
53
；当
3
x =时，
()
f x 有最小值
9-． (12)
分
19．解：（Ⅰ）由已知得，1()1n
n n n
a a
f a a +==
+， 所以21()1a a f a a ==+，321()1211a
a
a a f a a a a
+==+++=，
4312()13112a
a
a a f a a a a
+==++
+=，…………………………………………………………4分
由
此猜想数列的通项公式应为
()1)n a
a n N n a
*=
∈-1+(…………………………………6分
（Ⅱ)①当
1
n =时，猜想显然成立…………………………………………………………………7分
②
假
设
n k
=)
k N *∈（时
,
猜
想
成
立
，
即
1)k a
a k a
=
-1+(………………………………8分
则当1n k =+时，11)111(1)k k k k a
a a a k a
a f a a +a ka k a k a
+-=++-1+(（）====1+1+[(+1)-1]，
即当
1
n k =+时，猜想成
立．……………………………………………………………… 11分
由①②知，
1)n a a n a
=
-1+(对一切正整数
n
都成
立．…………………………………… 12分 20
．
解
：
（
Ⅰ
）
由
已
知得
1
()0,f x x x
'=>（） (1)
分
函数()()f x g x 与的图象在1(1)f （，）处相切，
所以
1(1),
3(1)(1),
f a f
g ⎧'
=⎪⎨
⎪=⎩ 即
1
13
103
a a
b ⎧=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩，………………………………………………3分
解
得
3,1a b ==-,…………………………………………………………………
……5分
故
()1g x x =-…………………………………………………………………
…………6分
（Ⅱ）由()ln (0)a h x x x x
=+>得，
/221().a x a
h x x x x
-=-=…………………………………………………………
………7分
①若1a e <<，由/
()0h x =得x a =，
当1x a <<时，/
()0h x <，即()h x 在(1,)a 上为减函数；
当a x e <<时，/
()0h x >，即()h x 在(,)a e 上为增函数;
所以x a =是函数()h x 在[1,]e 上的极小值点，也就是它的最小值点， 因此()h x 的最小值为()ln 12h a a =+=， 即
,1a e a e =<<这与矛盾，故舍去
……………………………………………………
………9分
②若a e ≥， 则/
()0h x ≤在],1[e 上恒成立（仅当,a e x e ==时/
()0h x =），
此时()[1,]h x e 函数在上为减函数，因此()h x 的最小值为()12a h e e
=+=，
即
a e =.………………………………………………………………………
………………… 11分
综上所述，
a e =………………………………………………………………………
…………12分
21．解：(Ⅰ)当010x <≤时，3()(208.1)24.32010
x y xf x x x =-+=--………………
3分
当
10
x >时
，1000
()(208.1)3048.1y xf x x x x
=-+=-
-…………………………………5分
所
以
3
24.320,(010)1010003048.1,(10)x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨
⎪-->⎪⎩
……………………………………………………… 6分
（Ⅱ）①当010x <≤时，由2
324.3010
x y '=-=，得9x =（负值舍去）.
当(0,9)x ∈时,0y '>；当(9,10)x ∈时,0y '<；
∴当9x =时，y 取得极大值也是最大值，
3max 1
24.39920125.810
y =⨯-
⨯-=………………………………………………………9分
②当10x >
时，1000304(8.1)304124y x x
=-+≤-= 当且仅当
1000
8.1x x
=，即
1009
x =
时,max
124y
= (11)
分
综合①、②知9x =时，y 取最大值,
所以当年产量为9万件时，该公司生产此种仪器获利最大. ……………………………………12分 22
．解：
(Ⅰ)2
()3)(0)f x a x x
'=
-->（，………………………………………………… 1分
当3a <时,由()0,f x '>得2
,3x a
>- 由
()0,
f x '<得
2
0,3x a
<<
-…………………………………………………………………3分
所以
()
f x 的单调递增区间是
2
(
,)3a
+∞-，单调递减区间是
2
(0,
)3a
-。

…………………4分 当3a =时,()0f x '<在(0,)+∞上恒成立， 此
时
()
f x 的
单
调
递
增
区
间是
(0,)+∞， (5)
分
综上，当3a =时,()f x 的单调递增区间是(0,)+∞； 当3a <时,
()
f x 的单调递增区间是2
(
,)3a
+∞-，单调递减区间是
2
(0,
)3a
-。

……… 6分
(Ⅱ）由题意得(2)(1)2ln 0a x x --->在1(0,)2
上恒成立，
即
对
1(0,)
2
x ∈，
2ln 21
x a x >-
-恒成
立,……………………………………………… 7分
令
2ln ()21
x g x x =-
-，
则
/222ln 2()(1)x x g x x +
-=
-，
……………………………………… 8分
再令21()2ln 2,(0,)2h x x x x ==+-∈,则/
2
2
22
2(1)
()0,x h x x x
x -=-=-
< 故
()
h x 在
1(0,)2
上是减函数，于是
1
()()22ln 202
h x h >=->, (10)
分
从而/
()0,g x >所以()g x 在1(0,)2上是增函数，1
()()24ln 22
g x g <=-,……… 11分
故要2ln 21
x
a x >--恒成立,只要24ln 2a ≥-,
所以实数a的取值范围为，）.………………………………………………12分
-+∞
[24ln2
（其他做法酌情给分)。