山西省应一中2017-2018学年高一下学期第六次月考数学

应 县 一 中 高 一 年 级 月 考 六
数 学 试 题 2018.4
时间：120分钟 满分：150分
一．选择题
1.要得到函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( )
A ．向左平移π3个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π6个单位长度
D ．向右平移π
6
个单位长度
2. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则( ) A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0
3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π
4.则ω的值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
4．已知一点O 到▱ABCD 的3个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，则向量OD →等
于( )
A ．a ＋b ＋c
B ．a －b ＋c
C ．a ＋b －c
D ．a －b －c
5.函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π
2
，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数
表达式为( )
A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4
B ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8x －π4
C ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4
D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8
x ＋π4
6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，
则λ等于( )
A.23
B.13 C ．－13 D ．－23
7.P 是△ABC 内的一点，AP →＝13
(AB →＋AC →
)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为
( ) A.3
2
B ．2
C ．3
D ．6 8．已知函数y ＝2sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－2,1]，则b －a 的值不可能是( )
A.5π6 B ．π C.7π6
D ．2π
9．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右
平移π
3个单位后关于y 轴对称，则( )
A ．ω＝2，φ＝π
3
B ．ω＝2，φ＝π
6
C ．ω＝4，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π
2
个单位，若所得图象与原图象
重合，则ω的值不可能等于( )
A.4 B ．6 C ．8 D ．12
11．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到
点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π
6
C ．t ＝12，s 的最小值为π3
D ．t ＝32，s 的最小值为π
3
12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝
2π
3
时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2) 二．填空题
13．函数y ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________．
14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6
个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＝________. 15．已知P 1P →＝23
PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→
，则λ等于________．
16．定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 三．解答题
17．如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13
CD →
，用a ，
b 表示OM →、ON →、MN
→.
18．设a ，b 是不共线的两个非零向量．
(1)若OA →＝2a －b ，OB
→＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线．
(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．
19．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，π3的最值及相应的x 的值．
20．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝
⎛
⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与
x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π
2
，且图象上的一个最低点为M ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，π2时，求f (x )的值域．
21．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)．．．．．．．．．．．f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π12，0，求θ的最小值．
22．函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2 x 的最小值为g (a )(a ∈R)．
(1)求g (a )；
(2)若g (a )＝1
2
，求a 及此时f (x )的最大值．
高一数学月考六答案2018.4
一．选择题
1—5 CBCBA 6—10 ACDBB 11—12 AA 二．填空题
13．x ＝－π
6. 14．22 15．－25. 16．7
三．解答题
17．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b .∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋5
6
b .
又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋2
3
b ，
∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －1
6
b.
18．(1)证明：AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，
AC →
＝OC →－OA →＝－a －2b .
所以AC →＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线． (2)解;AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A ,C ,D 三点共线，所以AC →与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )， 得⎩⎨⎧
3＝2λ，－2＝－λk ，
解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.
19．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24.
∵
π4≤x ≤π
3
，∴1≤tan x ≤ 3. ∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π
3
. 当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4
.
20．【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π
2
，
得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3，－2在图象上得 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4π3＋φ＝－1， 故
4π3＋φ＝2k π－π
2
(k ∈Z)， ∴φ＝2k π－
11π
6
(k ∈Z)． 又φ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，
故f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π12，π2，
∴2x ＋
π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，7π6，
当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )取得最大值为2； 当2x ＋
π6＝7π6，即x ＝π2
时，f (x )取得最小值为－1， 故f (x )的值域为[－1,2]．
21．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6，数据补全如下
表：
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6.
(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
则g (x )＝5sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.
因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－
π6＝k π，解得x ＝k π2＋π
12
－θ，k ∈Z. 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π12，0成中心对称， 所以令k π
2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π
3，k ∈Z.
由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6.
22．【解】 (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2 x ＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2
x )
＝2cos 2
x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝
⎛
⎭⎪⎫cos x －a 22－a 2
2－2a －1.
这里－1≤cos x ≤1.
①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a
2
时，
f (x )min ＝－a 2
2
－2a －1；
②若a 2>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ； ③若a
2
<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1.
因此g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， a <－2，－a
2
2－2a －1， －2≤a ≤2，
1－4a ， a >2.
(2)因为g (a )＝1
2
.
所以①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝1
8，矛盾；
②若－2≤a ≤2，则有－a 2
2－2a －1＝1
2，
即a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3(舍)； 若a ＜－2时，g (a )≠1
2，矛盾．
所以g (a )＝1
2时，a ＝－1.
此时f (x )＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos x ＋122＋12，
当cos x ＝1时，f (x )取得最大值5.。