微分及其在近似计算中的应用

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3.3 微分及其在近似计算中的应用

即 y 2x0 x f '( x0 ) x
x0
这个结论具有一般性
x
x
x0 x
x0 x
x0
y 设 y f ( x) 在点 x 处可导, lim 即 f ( x), x 0 x y f ( x) ( 是 x 0时的无穷小量), 因而 x y f ( x)x x ( lim 0),
例3. 用微分的不变性求下列函数的微分： x (2) y esin x (1) y ln(1 e ) ex dx (1)dy d ln(1 ex ) 1 x d(1 e x ) 解： x 1 e 1 e sin x (2)dy d(e ) esin x d(sin x) cos x esin xdx 例4 在等式左端的()中填入适当的函数,使等式成立
1 (2)d(ln(1 x) C ) 1 x 1 (4)d( dx x C ) 2 x (6)d(sin 2 x) ( 2sin x )dsin x
小结
微分的定义及其求法
作业
P25 6（3）（4）
P27 10、11
ln 0.99 ln[1 (0.01)] 0.01
练习在下列括号内填入适当的函数,使等式成立
(1)d(
2x C ) 2dx
1 1 C ) 2 dx (3)d( x x e2 x (5)d( ) e 2 xdx C 2 1 (7) dx ( 1 )d(arctan2 x) 1 4 x 2 2
dx
(2 x tan x x sec x)dx
2 2
练 1、求函数 y x 2 1在 x 1, x 0.1时的改变量与微分.
解： y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.1) f (1)

一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则

d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，

微分求近似值

微分求近似值
微分求近似值是数学中的一个常见问题,旨在找到一个函数的近似值,使其与原函数的误差达到最小。

在数学、物理、工程等领域中,近似值非常重要,可以帮助我们进行各种分析和计算。

本文将探讨微分求近似值的方法和应用。

微分求近似值的方法可以分为两类:基于函数的导数和基于函数的极值。

其中,基于函数的导数的求近似值方法是最常用的方法。

在这种方法中,我们首先求出函数的导数,然后利用导数的正负性来近似原函数。

具体来说,设我们要计算的函数为$f(x)$,则我们可以对其求导数,得到$f'(x)$。

然后,我们利用导数的正负性来决定如何近似$f(x)$。

如果$f'(x)>0$,则我们通常可以沿$x$轴正方向求近似值;如果$f'(x)<0$,则我们通常可以沿$x$轴负方向求近似值。

这种方法可以有效地将原函数近似为$f(x)+k$,其中$k$是一个常数。

基于函数的极值的求近似值方法相对较为复杂。

在这种方法中,我们首先需要找到函数的极值点,然后利用这些极值点来近似$f(x)$。

这种方法比较适用于一些比较复杂的函数,比如$e^x$函数。

微分求近似值的应用非常广泛。

在数学领域中,微分求近似值可以用来计算各种数值,比如微积分、微分方程等。

在物理领域中,微分求近似值可以用来计算物理量的大小,比如速度、加速度等。

在工程领域中,微分求近似值可以用来计算各种实际问题,比如机械效率、电路中的电流等。

微分求近似值的方法可以有效地求解很多实际问题,实现重要的近似计算。

不仅如此,还可以为其他数值求解提供一个重要的数学工具。

微分的定义、计算和应用领域

微分的定义、计算和应用领域
汇报人：XX
目录
微分的定义
微分的计算
微分的应用领域
微分在数学建模中的应用
微分在经济学中的应用
微分的定义
微分表示曲线在某一点的切线斜率微分可以理解为函数值随自变量变化的近似值微分的大小表示函数图像在相应点的变化率微分的正负号表示函数图像在相应点的增减性
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的变化率微分由函数在该点的导数定义，记作f'(x) 微分运算可以用线性近似的思想来理解，即用线性函数近似非线性函数微分是高等数学中的基本概念之一，是研究函数变化规律的重要工具
线性方程：通过微分法将线性方程转化为可解的形式非线性方程：利用微分法寻找方程的根微分方程：通过微分法求解微分方程，得到函数的变化规律积分方程：通过微分法将积分方程转化为可解的形式
概率分布函数的导数：描述随机变量的变化趋势
随机变量的方差和协方差：计算随机变量的变异程度和相关性
添加标题
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随机变量的概率密度函数：计算概率密度函数的值
大数定律和中心极限定理：研究随机变量的极限性质和分布规律
微分在经济学中的应用
定义：微分在经济学中用于描述函数边际变化的概念。
计算方法：通过求导数来计算边际值。
应用领域：边际分析常用于企业决策、市场分析等领域，帮助决策者了解经济变量的变化趋势和影响。
求导
参数式函数的微分：导数的
线性主部
参数式函数的微分法则：适用于参数式函数数是指函数关系由一个等式来表示，而非显式地给出自变量和因变量之间的函数关系。
应用领域：隐式函数的微分法则在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用，例如解决物理问题、优化问题、控制系统等领域。

高等数学教学过程中理论与实际相结合之“微分在近似计算中的应用”教学设计

第 33 卷第 8 期2020 年 8 月江西电力职业技术学院学报Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of ElectricityVol.33 No.8Aug.2020高等数学教学过程中理论与实际相结合之“微分在近似计算中的应用”教学设计游磊（江苏旅游职业学院，江苏扬州 225000）摘要：在高等数学中，微分和积分是微积分的两大重要分支，这足以说明“微分”的重要地位。

微分在数学、物理、工程等相关领域中有着非常重要的应用，而近似计算是在解决问题过程中常用的一种方法，是一个非常有效的解题工具。

分析利用微分把一些复杂的计算用简单的近似来代替，并对微分的数字设计进行探讨。

关键词：微分；近似计算；应用；教学设计中图分类号：O13；G642.4 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2020)08-0020-03The Teaching Design of "the Application of Differential in Approximate Calculation" in Advanced MathematicsYOU Lei(Jiangsu V ocational College of Tourism, Yangzhou 225000,China)Abs t ract: In advanced mathematics, differential and integral are two important branches of calculus, which is sufficient to illus trate the important position of "differential". Differential has very important application in mathematics, physics, engineering and other related fields. Approximate calculation is a commonly used method in the process of solving problems, which is a very effective problem-solving tool. This paper analyzes the application of differential to replace some complex calculations with simple approximations, and probes into the digital design of differential.Keywords: Differential; Approximate Calculation; Application; Teaching Design1 教学背景“高等数学”课程是高职院校工科各专业一门必修的公共基础课，也是提升学生综合素质不可缺少的一门重要课程。

微分的运算法则_微分在近似计算中的应用

微分的运算法则_微分在近似计算中的应用微分是微积分的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。

在微分中，有一些运算法则可以帮助我们简化复杂的函数求导过程，而微分在近似计算中也有广泛的应用。

一、微分的运算法则1.常数微分法则：如果常数函数f(x)=C，其中C为常数，那么它的导数f'(x)=0。

2.幂微分法则：如果函数f(x) = x^n，其中n为常数，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。

3.和差微分法则：如果函数f(x)=g(x)±h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)±h'(x)。

4.乘积微分法则：如果函数f(x)=g(x)*h(x)，那么它的导数f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。

5.商微分法则：如果函数f(x)=g(x)/h(x)，那么它的导数f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^26.复合函数微分法则：如果函数f(x)=g(h(x))，那么它的导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

7.反函数微分法则：如果函数y=f(x)有反函数x=g(y)，那么f'(x)*g'(y)=1，也就是说f'(g(y))=1/g'(y)。

微分在近似计算中有很多应用，以下介绍其中的几种常见应用。

1.切线近似法：利用微分的定义，可以得出函数在其中一点的切线方程。

利用切线方程，我们可以近似得到函数在该点附近的函数值。

这在物理学中常用于速度和加速度的计算中。

2.极值问题的求解：在求解函数的极值问题时，可以利用函数在临界点附近的导数信息。

通过求导找到函数的临界点，计算函数在这些临界点处的函数值，比较函数值的大小，就可以得到函数的极值。

3.弧长的计算：将弧长表示为函数关于自变量的微分形式，通过计算微分形式的积分，就可以得到两个点之间的弧长。

函数的微分在近似计算中的应用

函数的微分在近似计算中的应用函数的微分在近似计算中有着非常重要的应用。

通过对函数进行微分，我们可以获得函数在其中一点的局部线性近似，从而可以用这个近似来进行计算。

这种方法有着广泛的应用，比如在工程、计算机科学、物理学等领域中经常会用到。

首先，函数的微分在近似计算中可以用来求解函数在其中一点的近似值。

通过对函数进行微分，我们可以得到函数在该点的切线，切线方程可以用来计算函数在该点附近的近似值。

这个方法可以用来解决很多实际问题，比如在物理学中，可以用来计算物体在其中一点的速度，加速度等。

其次，函数的微分在数值计算和优化问题中也有着广泛的应用。

在数值计算中，常常需要对函数进行数值积分或求解方程。

通过利用函数的微分，可以将这些计算问题转化为求解微分方程或微分方程组的问题，从而简化计算过程。

在优化问题中，函数的微分可以用来找到函数的最小值或最大值的位置。

通过求解函数的导数为零的方程，可以找到函数的极值点，从而解决优化问题。

此外，函数的微分在图像处理和计算机图形学中也有着重要的应用。

在图像处理中，常常需要对图像进行平滑、边缘检测等操作。

通过利用函数的微分，可以设计出滤波器等算法来实现这些操作。

在计算机图形学中，常常需要对曲面进行光线跟踪、着色等计算。

通过利用函数的微分，可以计算曲面在其中一点的法向量，从而进行光线跟踪等计算。

此外，函数的微分还在机器学习和数据分析中有着重要的应用。

在机器学习中，常常需要对损失函数进行最小化。

通过利用函数的微分，可以找到损失函数的最小值，从而进行模型学习。

在数据分析中，常常需要对数据进行拟合、回归等操作。

通过利用函数的微分，可以对模型进行参数估计，从而进行数据分析。

最后，需要指出的是，函数的微分在实际应用中并不是一种绝对准确的近似方法，因为近似值的精度取决于所选择的近似点。

如果近似点选得不好，那么近似值的误差就会较大。

因此，在应用函数的微分进行近似计算时，需要选择合适的近似点，并根据具体问题进行误差分析和合理的精度控制。

函数的微分及其在近似计算中的应用

3
3、问题：函数可微的条件是什么？ A = ? 问题：函数可微的条件是什么？可微, 则有(1)成立成立，设函数 y = f (x) 在点 x0 可微则有成立，即
∆y = A∆x + o(∆x)
等式两端除以 ∆x , 得
o( ∆ x ) ∆y = A+ . ∆x ∆x
于是, 于是当 ∆x → 0时, 由上式就得到 o(∆x ) ∆y = lim A + lim = A. f ′( x 0 ) = ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x 可微，因此, 因此如果函数 f (x) 在点 x 0 可微，则 f (x)在点 x 0也一定可导且也一定可导,
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作函数在任意点的微分称为函数的微分记作 dy 或 df ( x ), 即称为函数的微分 dy = f ′( x ) ∆ x . 如函数 y = cos x 的微分为
dy = (cos x )' ∆ x = − sin x ∆ x 显然，显然，函数的微分 dy = f ′( x )∆x 与 x 和 ∆x 有关。有关。
′
1 d (log a x ) = dx, x ln a 1 d (ln x ) = dx , x 1 d (arcsinx) = dx, 2 1− x 1 d (arccosx) = − dx, 1 − x2 1 d (arctanx) = dx, 2 1+ x
1 (arccot x) = − 2 . 1+ x
dy = ( x 3 )′∆x = 3 x 2 ∆x.
再求函数当 x = 2 , ∆ x = 0 . 02 时的微分
dy
x =2 ∆x =0.02

微分在近似计算中的应用教案

微分在近似计算中的应用教学目的：1、理解微分的几何意义2、掌握微分在近似计算的应用3、掌握微分在误差估算的应用教学重点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学难点：1、微分在近似计算的应用2、微分在误差估算的应用教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算2、导入新课3、讲授新课（1）1、理解微分的几何意义（2）微分在近似计算的应用（3）微分在误差估算的应用4、例题分析5、课堂小结6、布置作业微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。

1．函数增量的近似计算如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '∆=∆+∆=+∆, 当||x ∆很小时,有 0()y f x x '∆≈∆例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ∆=厘米，则22100.05A dA r r πππ∆≈=⋅∆=⨯⨯=（2厘米）例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。

因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ∆，所以它就是球体体积343V R π= 当R 自0R 取得增量R ∆时的增量，我们求V 对R 的导数:003204()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π∆≈⋅∆ 将0 1, 0.01 R R =∆=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ∆≈⨯⨯⨯= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ⨯=2．函数值的近似计算由00()()y f x x f x ∆=+∆-，00()()dy f x dx f x x ''==∆，y dy ∆≈得000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆,令0x x x =+∆, 有000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+说明：（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。

微分及其在近似计算中的应用

微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。

利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。

在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。

一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。

对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。

函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。

根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。

二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。

我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。

这个近似的精度，就可以通过微分来度量。

对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。

这个公式被称为“一阶微分公式”。

根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。

举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。

我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。

微分在近似计算中的应用

微分在近似计算中的应用微分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

其中，微分的近似计算在实际问题的求解中具有重要意义。

本文将从近似计算的思想、微分的近似计算方法以及应用实例三个方面，对微分在近似计算中的应用进行详细阐述。

一、近似计算的思想在实际问题中，我们往往需要求解一些复杂的函数或方程。

这些函数或方程可能没有解析解，或者解析解十分复杂难以计算。

此时，我们可以考虑利用微分的近似计算方法，通过对原函数进行适当的近似，得到问题的近似解。

近似计算的思想是基于函数的局部性质，即在一个小区间内，函数的变化是平滑且连续的。

我们可以选择一个足够小的区间，然后利用函数在该区间上的局部性质来近似整个函数的行为。

这种思想也体现了微分的基本概念，即通过函数的导数来描述函数变化的速率。

二、微分的近似计算方法微分的近似计算方法主要有以下两种：1.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒公式的近似计算方法。

对于一个光滑的函数f(x)，其在其中一点a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。

当我们取展开式的前几项作为近似，可以得到：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这也是函数f(x)在点a处的线性近似。

通过泰勒展开法，我们可以利用函数在其中一点的导数来近似整个函数的行为。

2.有限差分法有限差分法是一种基于函数的导数定义进行近似的方法。

对于一个函数f(x)，其在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/h为了近似函数f(x)在其中一点的导数，我们可以选择一个足够小的步长h，然后计算f(x+h)和f(x)之间的差别，再除以步长h，得到近似的导数值。

函数的微分及其在近似计算中的应用

函数的微分及其在近似计算中的应用一、函数的微分1.导数的定义对于函数y=f(x)，如果函数在一些点x0处的导数存在，那么这个导数称为函数在这个点的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。

导数的几何意义可以理解为函数曲线在其中一点处的切线斜率。

2.导数的计算常见的函数导数的计算公式包括：常数函数的导数为0；幂函数的导数为幂次-1乘以系数；指数函数和对数函数的导数；三角函数和反三角函数的导数。

3.高阶导数对于函数的导数也可以再进行求导，得到的导数称为高阶导数。

高阶导数的理解可以理解为导数的导数，可以表示函数的更加详细的变化情况。

二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有广泛的应用。

利用导数的定义，可以利用线性近似来计算函数在其中一点的近似值。

设函数在x0点处的导数为f'(x0)，那么在x0+h处的函数值可以表示为f(x0+h) = f(x0) + hf'(x0)，这种方法又被称为泰勒展开。

因此，我们可以利用导数来计算复杂函数在一些点的近似值，从而简化计算过程。

2.最优化问题在求解最优化问题时，微分也是一个重要的工具。

对于单变量函数，通过求导可以得到函数的极值点，进而求解最大值或最小值。

对于多变量函数，微分可以帮助我们找到最优解的方向，通过迭代方法逐步逼近最优解。

3.数值计算微分在数值计算中也有重要的应用。

在数值积分中，我们可以利用导数来进行数值积分，例如利用梯形法则或辛普森法则。

在数值解微分方程的过程中，也需要计算函数的导数来逼近微分方程的解。

4.概率论和统计学微分在概率论和统计学中也有广泛的应用。

通过对概率密度函数进行微分，可以得到概率密度函数的导数（即概率密度函数的变化率），从而求得随机变量的期望、方差等统计特征。

总结：函数的微分是微积分的基本概念，它描述了函数在其中一点的局部变化率。

微分的计算和应用在近似计算中有广泛的应用，包括数值计算、优化问题等。

通过近似计算、最优化问题、数值计算以及概率论和统计学等领域的应用，微分帮助我们简化计算过程、求解最优解、逼近函数的解以及分析概率分布等问题。

微分在近似计算中的应用

所以 sinx ≈sin0+ cos0 · x=x
所以 ln(1+x ) ≈x
由于 (ln(1+ x)) = 1/(1+x) 由于 (e x) =e x
所以 e x ≈ x
总结
1.微分的近似计算的方法就是利用函数曲线在某点的附近的近似直线（切线）来计算函数近似值的方法
2.如果函数在某点函数值及其导数值容易计算时，就可以利用微分近似计算公式来计算函数在该点附 .
解设 f (x) = arctan x , 所以 f (x ) =(arctan x)=1/(1+x2)
设 x0=1, x=0.05 ，所以 f (1 ) =arctan 1= /4
由得
f (1 ) =1/(1+12) = 1/2
f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x f (1.05 ) ≈f (1)+ f (1)· 0.05

4
0.025
当 |x| << 1 时，由近似公式 f (x0+x ) ≈f (x0)+ f (x0)· x
即当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
f (x ) ≈f (0)+ f (0)· x 如当 x0=0 ,|x| = |x| << 1 时，
由于 (sin x) =cos x
微分在近似计算中的应用
淮南职业技术学院
什么是瞬时速度？
怎样计算函数值呢？计算近似值也是需要的。
切线方程： y=f (x0)+f (x0)(x-x0)
y = f(x) y0
x0
微分在近似计算中的应用 !

微分及其在近似计算中的应用

∴dy＝f(u)du 。
9
复合函数的微分的求法
（1）用微分定义直接去求；（2）利用复合函数的微分法则去求。
（例1）4、求下y列函ln数s的in微x1分
解：
dy
1 sin
1
d (sin
1) x
1 sin
1
cos
1 x
d(1) x
1 x2
cot
1 x
dx
x
x
10
（2） y e13x cosx
解：
函数 y＝f(x)在点 x 处的微分 dy 就是曲线 y＝f(x)在点
M (x , f (x )) 处的切线的纵坐标对应于 x 的增量。
例1、计算函数 y＝ x 2 在点 x 1处的微分。
解： dy y dx 2dx 。 x1
例 2、求函数 y ln(1 2x) 在点 x 1处的微分。
dx (t)dt
dy f (t)dt
dy f (t)dt f (t) dx (t)dt (t)
19
x 例 9、设
y
t t
1 t
1
，求dy dx
。
t
解： dx (1 1 )dt t2
dy
(1
1 t2
)dt
1 1 dy t 2
t2 1
dx 1 1 t 2 1
t2
20
例
10、已知椭圆的参数方程为xy
s gtt 1 (t)2 s gtt s(t)t
2
2
二、微分的概念
y
y＝f（x）
M
y
P
Q
O
x
x x x O
y＝f（x）
M
T
P

微分与函数的常用近似公式

微分与函数的常用近似公式微分与函数是微积分的基本概念，它们相互关联，相互影响。

在实际问题中，我们经常需要对函数进行近似处理，以简化计算和分析。

为了实现这一目的，我们可以利用一些常用的近似公式。

本文将介绍一些常见的微分与函数的近似公式及其应用。

1. 泰勒展开泰勒展开是一种重要的函数近似方法，它将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，使得我们可以用有限项来近似计算。

泰勒展开的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)、f''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶导数等。

泰勒展开适用于函数具有足够多的可导性质的情况，可以通过增加展开项数来增加近似的精度。

2. 线性近似线性近似是泰勒展开的特殊情况，当我们只保留泰勒展开的前两项时，即取a处的函数值和一阶导数，得到线性近似公式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)线性近似常用于计算简单函数的近似值，特别是在计算微小变化范围内的函数值时，可以快速估算结果。

3. 二次近似当我们保留泰勒展开的前三项时，即取a处的函数值、一阶导数和二阶导数，得到二次近似公式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!二次近似在某些情况下比线性近似更精确，特别是当函数曲线在点a附近呈现凸性或凹性时。

4. 拉格朗日余项在使用泰勒展开进行近似计算时，我们可以通过引入拉格朗日余项来估计近似误差。

拉格朗日余项的一般形式如下：Rn(x) = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，Rn(x)表示拉格朗日余项，f^(n+1)(c)表示函数的(n+1)阶导数在a和x之间某一点c的函数值。

微分在近似计算中的应用

*
近似计算的举例
误差的类型
误差的例
2-8 微分在近似计算中的应用
近似计算的原理
近似计算原理
01
02
03
04
得：可近似表示为的线性形式。（线性化的有很小时, 且在的相对误差也很小，即
*
得：
由
*
举例
例2 利用微分计算
的近似。
例3 计算
的近似。
例1 有一批半径为1cm的球，
（
）
2、今后，有时，绝对误差限也常叫做绝对误差；相对误差限也常叫做相对误差。
4、绝对误差限：
则称
为
若
5、相对误差限：
为测量A
的绝对误差限，
若
则
*
误差举例
即
的绝对误差限约为
的相对误差限约为
例1 设测得园钢截面的直径D=60.03mm，
绝对误差限，
试估计面积误差。
测量D的
解：误差可看作增量，
要镀上一层铜，
用铜多少克（铜的密度是
)?
为了提高球面的光洁度，
厚度定为0.01cm。
估计一下每只球需要
*
误差的类型
值为
那么
叫做
的绝对误差。
就叫做
的相对误差。
1、间接测量误差：
由于测量仪器的精度、测量条件和
测量方法等各种因素的影响，
测得的数据往往有误差，
而根
据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，
我们把它
叫做间接测量误差。
2、绝对误差：
如果某一个量的精确度为A，
它的近似
3、相对误差：
那么，
的绝对误差为
如果