微分及其在近似计算中的应用
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则称 函数y f ( x)在点x0处 可微 ,其中 A x 称为
函数 f ( x)在 x0 处的 微分 , 记为 dy xx0 , 即
dy x x0 A x
【注】(1 )函数的微分 Ax是 x的 线性函数 , 它与 y 相差一个比 x 高阶的无穷小 （ 2）当 A 0时 , A x 是 y 的 主要部分 , 所以也称微分dy是 y 的 线性主部.
x0 x
x0
wenku.baidu.com
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
f ( x0 )
存在 , 根据极限与无穷小的关系 , 则有
y x
f ( x0 )
其中 lim 0 x0
从而 y f ( x0 ) x x
这里 f ( x0 )是不依赖于x的常数， x 是当 x 0 时
比x高阶的无穷小 ，( 因为 lim x lim 0)
（3）当| x | 很小时 , 可以用微分dy作改变量y
的近似值 , 即
y
dy
x x0
A
x
下面讨论函数 f ( x)在点 x0 处可导与可微的关系.
一方面 , 如果函数 f ( x) 在 x0 点可微 , 则依定义
有 y Ax o(x)
上式两端除以 x ,
y A o(x)
1 d(arcsin x) 1 x2 dx
d(e x ) e xdx
d (ln
x)
1 x
dx
d(cos x) sin x dx
d(cot x) csc2 xdx
d(csc x) csc xcot xdx
第五节 微分及其在近似计算中的应用
一、微分概念
首先看一个例子 例1 一个金属正方形薄片，当
x0 ︷x
x0x
(x)2 x
受冷热影响时，其边长由x0变 到x0 x (| x | 很小), 如图所示，
求其面积A的改变量的近似值.
x x0x 0
解 边长为x的正方形薄片的面积 A x 2 ,
所以当 |x| 很小时 , 可以略去 (x)2 ,仅用第一部分
x的线性函数 2x0 x作为 A的近似值 ,
即 A 2x0x
x0
由此 , 我们引进微分概念
x0x
︷x
(x)2 x
x x0x 0
定义 若函数 y f ( x) 在 x0处的改变量 y 可以表示 为 x线性函数 A x（A是常数）与一个比 x高阶 的无穷小之和 y A x o(x)
dx
数的微分dy与自变量的微分dx之商 , 故导数
也称微商.
例2 求 函数 y x2 1 在 x 1 处当x 0.1 时 的 改变量 y 和微分dy 的 值.
解 y f ( x x) f ( x) ( x x)2 1 ( x2 1) 2xx ( x)2
所以 y x 1 2×1×0.1 (0.1)2 0.21 x 0.1
而 dy f ( x)x ( x2 1) x 2xx
所以 dy x 1 2 ×1×0.1 0.2 x 0.1
下面给出微分的几何意义:
函数 y f ( x) 的图形是一曲线 , 当自变量 x 由 x0 变到 x0 x 时 , 曲线上的对应点 M ( x0 , y0 ) 变到 P( x0 x, y0 y) , 从图可知 MN x , NP y 过点 M 作切线 MT , 它的倾角为 q , 则
dy xx0 f ( x0 )dx …………………………(2) 这是函数微分的常见写法.
若函数 f ( x)在某区间内每一点都可微 ,
则称f (x)是该区间内的可微函数 , 记为
dy f ( x)dx
由此式 , 可得
f ( x) dy dx
这表明 , 函数的导数 f ( x) dy 可以看作函
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
x
x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim x0
A
o(x) x
A
即 A f ( x0 )
这说明:函数 f ( x) 在点 x0 可微 , 则函数在点 x0必可导.
且 f ( x0 ) A
反之，如果 f (x) 在点 x0 可导 ,
即 lim y x0 x
函数 f ( x)在 x0 处的 微分 , 记为 dy xx0 , 即
dy x x0 A x
【注】(1 )函数的微分 Ax是 x的 线性函数 , 它与 y 相差一个比 x 高阶的无穷小 （ 2）当 A 0时 , A x 是 y 的 主要部分 , 所以也称微分dy是 y 的 线性主部.
x0 x
x0
wenku.baidu.com
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
f ( x0 )
存在 , 根据极限与无穷小的关系 , 则有
y x
f ( x0 )
其中 lim 0 x0
从而 y f ( x0 ) x x
这里 f ( x0 )是不依赖于x的常数， x 是当 x 0 时
比x高阶的无穷小 ，( 因为 lim x lim 0)
（3）当| x | 很小时 , 可以用微分dy作改变量y
的近似值 , 即
y
dy
x x0
A
x
下面讨论函数 f ( x)在点 x0 处可导与可微的关系.
一方面 , 如果函数 f ( x) 在 x0 点可微 , 则依定义
有 y Ax o(x)
上式两端除以 x ,
y A o(x)
1 d(arcsin x) 1 x2 dx
d(e x ) e xdx
d (ln
x)
1 x
dx
d(cos x) sin x dx
d(cot x) csc2 xdx
d(csc x) csc xcot xdx
第五节 微分及其在近似计算中的应用
一、微分概念
首先看一个例子 例1 一个金属正方形薄片，当
x0 ︷x
x0x
(x)2 x
受冷热影响时，其边长由x0变 到x0 x (| x | 很小), 如图所示，
求其面积A的改变量的近似值.
x x0x 0
解 边长为x的正方形薄片的面积 A x 2 ,
所以当 |x| 很小时 , 可以略去 (x)2 ,仅用第一部分
x的线性函数 2x0 x作为 A的近似值 ,
即 A 2x0x
x0
由此 , 我们引进微分概念
x0x
︷x
(x)2 x
x x0x 0
定义 若函数 y f ( x) 在 x0处的改变量 y 可以表示 为 x线性函数 A x（A是常数）与一个比 x高阶 的无穷小之和 y A x o(x)
dx
数的微分dy与自变量的微分dx之商 , 故导数
也称微商.
例2 求 函数 y x2 1 在 x 1 处当x 0.1 时 的 改变量 y 和微分dy 的 值.
解 y f ( x x) f ( x) ( x x)2 1 ( x2 1) 2xx ( x)2
所以 y x 1 2×1×0.1 (0.1)2 0.21 x 0.1
而 dy f ( x)x ( x2 1) x 2xx
所以 dy x 1 2 ×1×0.1 0.2 x 0.1
下面给出微分的几何意义:
函数 y f ( x) 的图形是一曲线 , 当自变量 x 由 x0 变到 x0 x 时 , 曲线上的对应点 M ( x0 , y0 ) 变到 P( x0 x, y0 y) , 从图可知 MN x , NP y 过点 M 作切线 MT , 它的倾角为 q , 则
dy xx0 f ( x0 )dx …………………………(2) 这是函数微分的常见写法.
若函数 f ( x)在某区间内每一点都可微 ,
则称f (x)是该区间内的可微函数 , 记为
dy f ( x)dx
由此式 , 可得
f ( x) dy dx
这表明 , 函数的导数 f ( x) dy 可以看作函
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
x
x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim x0
A
o(x) x
A
即 A f ( x0 )
这说明:函数 f ( x) 在点 x0 可微 , 则函数在点 x0必可导.
且 f ( x0 ) A
反之，如果 f (x) 在点 x0 可导 ,
即 lim y x0 x