CreditRisk+模型的算法

用 FFT 算法求组合损失的概率向量。
CR+技术文档采用了式(3)的办法，它构造了一个关于损失的概率生成函数，通过求解
概率生成函数的乘积得到一个 An 递归形式的解：
∑ ∑ λ ε An = j:v j ≤n
jv n
j
An−v j
=
j:v j ≤n
j
n
An−v j
(12)
假设一个资产组合由两个频段组成，频段 A 的敞口大小为 1, 年均违约数为 2； 频段 B 的敞口大小为 2, 年均违约数也是 2。根据式(12)和式(8)的 FFT 算法我们对此进行了计
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2. 概率生成函数
假定 X 是一非负有界的整型离散随机变量（以下简称为离散随机变量），fi=Pr{X=i}，
则我们称 X 的概率向量为： f X = [ f0 , f1, f 2 ,..., f n ] 。
对具有概率向量 fX 的离散随机变量 X，它的概率生成函数定义为：
PX (z) = f0 z 0 + f1z1 + f 2 z 2 + ... + f n z n ]
CR+技术文档对扩展模型损失分布的计算方法如下：
约定 3： k，扇区的标示号，1 ≤ k ≤ n; µk，表示 k 扇区预期违约数的均值； σk，表示 k 扇区预期违约数均值的波动性；
αk，Gamma
分布的第一个参数，αk=
µ
2 k
/σ
2 k
；
βk，Gamma
分 布 的 第 二 个 参 数 ， βk= σ
已知两个概率向量 f 和 g，如果 f=[ f0, f1, f2,…, fm-1]，g=[ g0, g1, g2,…, gk-1]，求 f*g。 1) 在 f 和 g 向量后面补零，使向量的长度 n ≥ m+k 2) 求 f 和 g 的傅立叶变换，F[f]=FFT(f), F[g]=FFT(g) 3) 计算 M(s)=F[f]·F[g] 4) 对 M(s)进行傅立叶逆变换，S=f*g=IFFT[(M(s)]
FFT(f2) 1
0.97145-0.19291i 0.88997-0.36602i 0.76716-0.50324i 0.61929-0.59497i 0.46395-0.63899i
0.3167-0.63977i 0.1889-0.60635i 0.086809-0.54986i 0.011924-0.48118i -0.037829-0.40938i
(10)
因此，如果有 N 个债务人，其年违约数均值为 λ 且均值不变，这 N 个债务人发生 n 次
违约的概率 p(ndefaults)可表示为：
p(ndefaults) = e−λλn
(11)
n!
这就是二项分布在试验次数趋于无穷大时的极限情况，p(ndefaults)服从 Poisson 分布 。
损失分布 为了减小损失分布的计算量，CR+对资产组合中大小不同的风险敞口按照不同的频段
εj，频段 j 预期损失的无量纲数，εj = vj× λj；
An=p(nL)，表示资产组合发生 n×L 损失的概率。
每 个 频 段 的 违 约 数 分 布 (违 约 概 率 向 量 ) 可 以 通 过 式 (11) 计 算 ，违 约 概 率 向 量 乘 以 敞 口 大
小 就 是 本 频 段 损 失 分 布 的 概 率 向 量 。因 此 ，要 计 算 各 频 段 组 合 的 损 失 分 布 ，就 可 采 用 式 (8 ) ，
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算，表一是计算的结果。表中 f1、f2 是 A、B 两个频段损失分布的概率向量，IFFT 一栏是 式(8)算法的结果。
表一
0L 1L 2L 3L 4L 5L 6L 7L 8L 9L 10L
f1 0.13534 0.27067 0.27067 0.18045 0.090224 0.036089 0.01203 0.0034371 0.00085927 0.00019095 3.82E-05
IFFT 0.018316 0.036631 0.073263 0.097683
0.1221 0.12699 0.12373 0.10792 0.088845 0.067706 0.049079
从表一中可以看出，FFT 数值算法的精度非常高。
4.2. CreditRisk+扩展模型
CR+的扩展模型考虑了违约之间的相关性，债务人 i 的年均违约率 pi 是可变的。在 CR+ 的技术文档中，受同一因素影响的资产被置于同一扇区，扇区预期违约数均值μ的波动性 σ 通过扇区中各债务人年均违约率的波动性来获得，μ是一随机变量且μ服从双参数[α,β] 的 Gamma 分布。
p(ndefaults)，表示 N 个债务人发生 n 次违约事件的概率。
为了计算 p(ndefaults)，CR+的技术文档构造了一个概率生成函数
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∞
F (z) = ∑ p(ndefaults)z n
(9)
n=0
经 推 导 （ 过 程 略 ）：
∑∞
F(z) =
e−λ λn z n
n=0 n!
PN+K(z)= (0.92 z0+0.8z1 )(0.95z0+0.5z1 )= 0.874 z0+0.122z1+0.004z2
也就是说，在由 A,B 两个债务人组成的资产中，不违约的概率、一次违约的概率、都 违约的概率分别为 0.874、0.122、0.004。
3. 卷积定理
对任何离散随机变量 X，X 的谱函数（特征函数，即 X 的傅立叶变换）定义为：
CreditRisk+模型（以下简称为 CR+）借鉴了保险行业的应用，它不分析违约的原因， 将违约看成是外生的不可预知事件，不再是由公司资产价值决定的内生事件。此模型只考 虑违约或不违约两种状态，μ是预期违约数，用每一个交易对手ｉ的违约率 pi 加总得到。 CR+的基本模型认为违约事件是相互独立的且 pi 不变。CR+的扩展模型考虑了违约之间存 在相关性，并将受同一因素影响的资产置于同一扇区，扇区下资产的预期违约数μ是一随 机变量且μ服从 Gamma 分布。在 CR+的技术文档中，资产组合的损失分布是用概率生成 函数的方法来计算的，此方法可以给出 CR+基本模型损失分布的递归形式解，在 CR+扩展 模型下，单扇区资产组合的损失分布也能得到递归解，但多扇区情况下的损失分布得不到 解析解。本文从概率生成函数和卷积定理出发，结合 CR+模型技术文档已有的成果，提出 一种便于计算机实现的分阶段混合算法，使得 CR+的基本模型和多扇区情况下的扩展模型 都能得到准确的数值解。
CreditRisk+模型的算法
前沿公司 工作报告
[摘 要] 本文提出了概率生成函数与 FFT 的混合算法，使 CreditRisk+模型在任何情况下 都能得到精确的数值解。 [关键词] 信用风险 概率生成函数 FFT
1. 引言
基 于 VaR 思 想 的 现 代 信 用 风 险 模 型 在 过 去 的 十 年 中 得 到 了 极 大 的 关 注 ， CreditMetrics(J.P. Morgan,1997)，CreditRisk+(CSFB,1997)，PortfolioManger(KMV,1997) 等就是这一期间发展起来的有代表性的信用风险管理模型。
(7)
我们用 F-1 表示傅立叶逆变换，因为 F-1(F[S])=S，所以式(6)可写为：
S=f*g= F-1(F[S])= F-1(F[f]·F[g])
(8)
式(8)即卷积定理，它表明两个概率向量 f 和 g 的卷积等于 f 和 g 谱函数乘积的傅立叶逆 变换。
自从 J.W. Cooley 提出傅立叶变换的快速算法后，FFT（快速傅立叶变换）使得传统 DFT （有限离散傅立叶变换）的运算速度得到了成百倍的提高，很多软件包都附有 FFT 的计算 函数，根据卷积定理和 FFT 的特性，本文在 MATLAB 下使用的 FFT 算法如下：
从数学的观点来看，CreditMetrics 与 KMV 模型是一样的。两者资产的对数收益率都 使用了多元正态分布的假设，违约时间被定义为企业资产价值低于某个违约阈值的时候或 资产对数收益率小于违约点的时候。两个模型的不同之处在于如何计算到违约点的距离， KMV 基于企业的期权定价，而 J.P. Morgan 使用他们的评级系统。由于信用等级转移矩阵 的缺乏和资本市场的不成熟，目前在我国还难以应用此类模型。
2 k
/
µk
FFT(f1) 1
0.99279-0.097742i 0.97145-0.19291i 0.93675-0.28307i 0.88997-0.36602i 0.83279-0.43989i 0.76716-0.50324i
0.69524-0.5551i 0.61929-0.59497i
0.5415-0.6228i 0.46395-0.63899i
фX(θ)=E[eiθX]
(4)
谱函数有一重要的特性：如果 N 和 K 是独立的离散随机变量，J=N+K 代表 N 与 K 的 和，则 J 的谱函数 фN+K(θ)是 N 的谱函数 фN(θ)和 K 的谱函数 фK(θ)的乘积，即：
фN+K(θ)= E[eiθ(N+K)]= E[eiθN·eiθK] =E[eiθN]·E[eiθK]= фN(θ)·фK(θ)
进行了划分。频段划分的要点是取一个表示损失大小的量纲单位（如 1 万人民币，2.5 万 人 民 币 ），使 得 各 风 险 敞 口 以“ 四 舍 五 入 ”的 原 则 归 整 后 能 以 较 小 的 无 量 纲 数 落 入 到 不 同 的 频段。
约定 2： L，表示损失大小的量纲单位； j，风险敞口的频段，1 ≤ j ≤ m ； vj，频段 j 风险敞口大小的无量纲数； λj，频段 j 的预期违约数，即年违约数均值；
(1)
X 的概率生成函数 PX(z)也就是 zX 的期望值 E[zX]。在 CR+模型中，X 代表了违约数或 组合的损失。
假定 N 和 K 是独立的离散随机变量，J=N+K 代表 N 与 K 的和，则 J 的概率向量是 N 和 K 两个概率向量的卷积，表示为：
j
∑ Pr{J=j}＝ pr {N = n}pr {K = j − n} j=0,1,2,…,n
FFT(f1)·FFT(f2) 1
0.94559-0.28648i 0.79395-0.52725i 0.57618-0.68857i 0.33339-0.75617i 0.10528-0.73623i -0.079001-0.65018i -0.20525-0.52642i -0.27339-0.39217i -0.29322-0.26798i -0.27914-0.16576i
(2)
n=0
根据概率生成函数的定义，我们可以推出下式：
PN+K(z)= E[zN+K]= E[zN· zK]= E[zN]·E[ zK]= PN(z)·PK(z)
(3)
式(3)表明，两个独立离散随机变量和的概率生成函数 PN+K(z)是 PN(z)和 PK(z)的积。
例如：fN=[0.92,0.8]表示债务人 A 违约的概率为 8%，fK=[0.95,0.5] 表示债务人 B 违约 的概率为 5%。则：
(5)
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回到信用风险的场景，假设我们用两个概率向量 f 和 g 分别表示两个损失分布，组合 的损失分布用 S 表示，根据式(2)，S 等于 f 和 g 的卷积，表示为：
S=f*g
(6)
我们用 F 表示傅立叶变换，即 有：
F[S] = F[f]·F[g]
f2 0.13534
0 0.27067
0 0.27067
0 0.18045
0 0.090224
0 0.036089
递归解 0.018316 0.036631 0.073263 0.097683
0.1221 0.12699 0.12373 0.10792 0.088845 0.067706 0.049079
4. CreditRisk+模型的算法
4.1. CreditRisk+基本模型
CR+的基本模型是假定债务人 i 的年均违约率不变。
违约概率： 约定 1： i={1,2,...,N}，表示资产组合中有 N 个债务人； pi，表示债务人 i 的年均违约率；
N
∑ λ = pi , 表示 N 个债务人的年均违约数； i =1