例谈小学数学错例辅导_2

例谈小学数学错例辅导
浙江省绍兴县华舍实验学校钱建军312033
摘要：思想并不总是必须完全沿着相同思路进行，可以向相反方向运动[1]。

所以学生对知识的理解一般可以有两种方式，一种是正向的，一种是反面的。

在学生出错订正的过程中，我们总是引导学生去理解正确的想法。

至于为什么错？学生到底解答了什么问题？学生的出错有哪些合理因素？等这些问题经常被我们所忽视。

那么“如何让学生错得明明白白？”本文拟从实践的角度做出一些解释。

关键字：出错，分析错因，教育价值，理解
“知其然，也要知其所以然”，意思是知道是怎么样的，还要知道为什么是那样的。

用在我们教学中，我们的理解有时不够全面。

我们总是让学生知道“这样是对的”，并且努力让学生明白为什么那样是对的。

行话讲，那就叫“有意义的学习”。

但如果我们只认识对的，或者总是用对的去否定错的，而不能分析错在哪里，那并不是对知识的全面理解。

比方说曾经有这样一道题目：三个人一起住店。

房钱30块。

每个人掏10块。

老板收30。

后来老板觉得收的贵了。

就找回去他们5块钱。

让服务员送过去。

服务员私心一起。

于是一个人只给了1块钱。

自己拿了两块钱。

也就是说，这三个住店的人一个人只花了9块钱。

3乘9等于27块钱。

加上服务员兜里的2块钱。

是29块钱，那么少的一块钱哪去了呢？我们如果不能指出错在哪里，那就说明我们对问题的理解并不完整。

（事实上30减去服务员扣下的2块后，3个人花的总钱数不是27，而是28）某年小生毕业考试有一道题：小A上山平均每小时行20千米，原路返回下山每小时行30千米，整一趟他平均每小时行多少千米？
（20+30）/2=25（千米）这样解题的学生高达95%以上。

老师这样讲解：求平均速度需要用总路程除以总时间。

这里可以假设上山总路程为60千米，那么上山时间为60/20=3小时，下山时间为60/30=2小时，总时间为2+3=5小时，总路程为60+60=120千米，所以整趟平均速度是120/（2+3）=24千米。

我们也可以把上山一趟看作单位“1”，那么上山时间为1/20，同理下山时间为1/30，那么平均速度为（1+1）/（1/20+1/30）=24千米，整个讲解还配合了画图理解，可谓明明白白。

对于老师来说是讲清楚了，但是整个讲解始终在说明应该那样去做，那样是对的，并没有说明（20+30）/2=25（千米），错在哪里？教师教得清楚，但学生学的困惑也由此产生。

惑至少有两点：为什么不能用平均数相加除以个数的方法？为什么要假设60，假设单位“1”？这两个问题没解决，任何的订正都是治标不治本，错的还将继续错。

根据有关对儿童思维水平的研究发现，他们不容易把握事物的本质，容易被一些形式的东西所影响。

有些常见的事例也很好地说明了这个问题：比如一次某父亲问女儿，在盘子里先放了2个梨，后来又放了3个梨，一共放了几个梨？女儿的第一反应是，我们幼儿园老师没有让我们放梨，我们放的是苹果。

在上述求平均数一题，如果不加深入分析，学生容易把“移多补少”，“先合再分”当成理解平均数的一种直观形式，并把这种直观形式简单地移植到其它求平均数的问题中去。

那么如何破解这个问题？我想最好的办法莫过于引导学生进行思辨。

如（20+30）/2=25（千米），20+30可以表示什么意思？一次1小时平均每小时行20千米，一次1小时平均每小时行30千米，除以2，说明共行了2小时（上山1小时，下山1小时），那么这样看来，上山只行了20千米，下山行了30千米，路程不一样，这与题目中原路返回的意思想矛盾。

只有明白了这样解答的错
误原因以后再去研究正确的解答，才会打消学生心头的疑虑，从而有效地接纳老师后续的指导。

在日常教学中，我们不必回避学生的错误。

相反地，要把学生的错解当成可利用的教学资源，通过分析错因，让学生错得明明白白，以利于他们对正确知识的有效建构。

这个过程好比是一个人得了病，体内产生了病毒，要寻求治疗。

错因好比是病毒，讲解正确解答思路好比是给人体进补，我们治病的过程最好是先给他“祛除毒病”而不是先“进补”。

因为如果体内毒素不除，
往往又会旧病复发。

但是，我们很多时候为了讲效率，抓进度，往往是一味地在给学生“进补”，所以学生自然常做常错。

倘若学生明确了错误之所在，并且还善于分析为什么错的道理，那么从一定程度讲，他已经产生了某些抗体。

当然，有些错因很明显，很直接，没有多少思维含量：比如把数字看错了，教师只需要做些提醒；有些是根本不懂题目意思瞎蒙一通，教师要像上新课那样对其进行点拨或教给他正确的思路。

需要错因分析、深入究错的对象是那些似懂非懂的问题，教师要善于找出学生思维中的合理成份，针对错误表现，让学生说明为什么错的原因。

其实，从学生数学学习的过程来看，学生也是需要有错因分析的。

以笔者记录自己教学中实例为证
某日，一位女生拿着作业本找到我（作业题见右图），
很疑惑地对我说：“老师，我这样做哪里错了？”
师：你是怎么想的？（学生把思路讲述了一遍）。

师：为什么想到左右两边要乘以5/4,
生：因为左边是除以4/5,那么只要乘以4/5就可以抵消掉了。

师：你是先算哪一步？
生：先算后面的乘法，哪里不对了？
师：那么如果是6÷4×4你觉得要先算哪一步？
生：噢，我懂了，我是把计算顺序弄错了
师：你知道为什么不能先算4×4了吗？
生：知道了。

学生开心地离开了。

在这个过程中，我们不难看出，学生有究错的意识。

在我们日常教学中，可能是出于某种原因（或意志力不强，学生不能持续这种意识，或生性胆小，不敢与人交流）学生主动问询老师的并不十分普遍。

所以，如果有学生对
学习有疑问，并能勇敢的提出来，不管提得是对是错，教师首先得肯定他们的这种勇气，这是对学生独立思考结果的一种尊重与呵护。

然后，教师开始引导学生一步一步地分析条件，查找错因，直至学生真正明了，这里我们也并不排除教师进行直接讲授。

再看整个过程，如果只是简单地以“改对了”去衡量学生的认知，那就会存在一些变数：有些学生用算式中各部分之间的关系进行订正（也即用被除数等于除数乘以商的方法），那么他们就很难发现“计算顺序”这一问题的真正结症。

如果知道了问题的结症，我们再设计（右图）的对比练习，效果会更好。

还有一个例子：学校的美术兴趣组有70人，美术兴趣组的人数比音乐兴趣组的人数多25%。

音乐兴趣组有多少人？（某日作业题）
学生列式：70×（1－25%）
在分析中，学生提出这样是不对的，这道题目应该是70÷（1＋25%）＝56人，这里先看标准量，音乐兴趣组是单位“1”的量，单位“1”不知道，用除法，比它多25%，所以要1+25%。

这时教师问错解的学生，而他只是似懂非懂地点点头。

教师讲道：刚才的同学只解释了70÷（1＋25%）正确的理由，还没有指出70×（1－25%）错误的原因。

谁会？有学生发言：如果照70×（1－25%）算的话，算出来的人数会有小数了，有半个人了。

我们知道，如果用这种方式来判断解题的正误，那显然是站不住脚的。

此时，我觉得若想真正解释错因，恐怕得让他们好好思考几分钟。

经过讨论后，学生终于明白：我们已经知道美术兴趣组的人数比音乐兴趣组的人数多25%，通过画图，倒过来说音乐兴趣小组人数比美术组的人数少20%，相当于美术组的80%，
而70×（1－25%）＝70×75%，意思就变成了音乐小组人数等于美术小组人数（70）的75%，所以错了。

在讲解的过程中，讲的人自信坚定，听的人神情专注。

通过对错因的深入追究，学生的思维显得严谨又有条理，他们的面部神情由迷茫转为了释然，讲解的同学更是有些微微的骄傲。

连带着，学生还发现了另一种解答，音乐组的人数等于70×80%，大家都表示理解。

在本题中，错解的学生显然不是出于粗心，而是对知识的不理解，通过错因分析则可较好地帮他补上一课。

所以笔者以为错因分析还至少有两种教育价值：一是知识学习上的深入，他可以提高优等生的思维水平，（通常是指论证水平，因为一般的错因总是与实际的规则相矛盾），同时教师可以根据学生思维的展现，查证学生的理解缺陷，从而改进教学方法，有效帮助中下生理解学习内容，跟上教学进程。

二是思想意识的进步，因为追根究底的学习习惯可以培养学生一种质疑问难的学习品质，而这正是数学学习最宝贵的精神。

那么，对于一线老师来讲，如何有效地执行让学生“知其错，更知其所以错”呢？笔者根据自己的教学实践得出几条路子，谨供探讨：一、对于错误率高的题目，教师组织全体学生进行分析讨论，惯性地指出：错在什么地方，为什么错？这样做整体推进效果较好，但也存在一定的问题，那就是不容易把握每个学生的思考投入。

二、建立作业订正本，抄录学生自己的出错练习，用记号的形式表现出错误的地方，同时写出错误原因，又写上正确思路。

这样做可以保证学生都有自己的思考，但也有学生不乐意做，觉得抄题目费时费力，所以教师要加强这方面的思想教育与引导，帮助学生明确这样做的意义与价值。

三、一对一个别辅导，这主要对中下生，让他说思路，或教给他思路，同时很重要的一点，教师要帮助他明确：如果照他那样的解答，是一种什么意思，会是一种什么结果。

以上的做法在笔者自己的班级里，经过一段时间的教学强化以后，有些学生的意识确实发生了可喜的变化。

几则学生的数学日记很好地反映了这个情况。

日记一：……渐渐地，我们发现了这样做（改错本）的好处。

有些不会做的题目或模棱两可的都可以抄下来，以便以后碰到此类题目就可以随手翻翻，不然，一本本翻过去就“有事情做了”，还有，一个问题，如果只是完成任务似地抄上去，也是没有用的，只有你真正地了解，分析透彻之后，才能发挥它的真正作用……（学生甲）
日记二：……有一道题目是这样的，12÷（1/2+1/3+1/4+1/6），当我看到12、2、3、4、6就想到它们的关系：12是2、3、4、5的倍数，它们是12的因数。

简便方法一般会用到乘法分配律，可是除法怎么办呢？于是我就这样改了：12*（2+3+4+6），之前省略了一步是12÷1/2 + 12÷1/3 + 12÷1/4 + 12÷1/6，除以这个数就是乘以这个数的倒数，于是12*2+12*3+12*4+12*6=12*（2+3+4+6），可是它是错的，为什么呢？本来我很疑惑，但是我后来懂了，如果我们把小于1的数看作小的，大于1的看成大的，这样12÷（1/2+1/3+1/4+1/6），划横线的是小的+小的+小的+小的=大的，12除以大的=大的除以大的=小的喽，那如果换成是12*（2+3+4+6），（大的+大的+大的+大的）=更大的。

大的* 更大的=很大的。

从这方面来说是错的，还有，数学中根本不存在着什么除法分配律，要分配也要转化成乘法分配律。

（学生乙）
很高兴学生能用自己的语言，凭借数学学习经验，通过推理、比较等思维活动，反向诠释除法分配律的错误。

两则学生日记很好反映出它们的意识在进步，思考力在增强。

当然，在知错纠错的过程中，有个别学生也出现了一些问题，由于主观意识上的不明确，学生把知错、纠错的任务当成了负担。

自己想不出，求教同学，同学给他讲了解题思路，他不管懂不懂，只是像背语文课文那样囫囵吞枣地记住了解题思路，然后到老师那里背一遍，对于这样的同学，用心的老师从学生讲话的神情中就可以发现端倪，可以在某些关键处向学生提一两个问题，要求学生解释为什么错的原因。

注1：苏联著名心理学家克鲁捷茨基。

载于《教学与管理》2012年2月(有改动)。