高三数学下学期多选题单元测试提优卷试卷

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．定义域和值域均为[]
,a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中
0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）
A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解
B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解
C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解
D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解
【答案】ABD 【分析】
通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】
由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；
当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，
方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，
方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2
0t =，3t b =，
方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；
对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；
（3）确定直线()1,2,3,
,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、
2a 、3a 、
、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a +++
+.
2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.
对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
3．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪
=⎨⎪->⎩
其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确
的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,
C ．当2a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，()1
212
242n n f x x --⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
D ．当0a >时，不等式()12
2x f x a -≤在[
)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】
对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]
*,1,x m m m N ∈+∈时，
()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的
值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，
()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.
【详解】
解：对于A 选项，当2a =时，31112224
42222
f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]
*
,1,x m m m N ∈+∈时，
()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；
对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m
f x a f x m =-，故当2
a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，
()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫
=-+=--+- ⎪
⎝
⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取812a =
，34x =，则331241442f ⎛⎫
=--= ⎪
⎝⎭
，1
2
2x a
-=()311
142
4
82
488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，不满足式()1
22x f x a -≤，故D
选项错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]
*
,1,x m m m N ∈+∈时，()()m
f x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域
为[]
0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.
4．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]
,m n 上的值域也是
[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是
（ ） A ．(
)f x =B ．()222f x x x =-+
C ．()1f x x x
=+
D ．()1f x x
=
【答案】ABD 【分析】
根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，再对各个选项进行运算求解
,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】
解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]
,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]
,m n ，
可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n
f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
A ：(
))0f x x =≥，若(
)(
)f m m
f n n
⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，
所以(
)f x =
“和谐区间”[]0,1；
B ：()()2
22f x x x x R =-+∈，若 ()()2
22222f m m m m
f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩
，解得：12m n =⎧⎨
=⎩， 所以()2
22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；
C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m
f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1
010
m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；
若()()11f m m n
m
f n n m
n
⎧
=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩
，即 21111m n m m m n n m n ⎧
+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩
，化简得：22
10(1)m m m m ++=+，
即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1
f x x x
=+
不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，
单调递减，则 ()()11f m n m
f n m
n ⎧
==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
， 不妨令122
m n ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =
存在“和谐区间”1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
5．设[]
x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]
y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x =
B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-
C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡
⎤
++
=⎢⎥⎣⎦
D ．不等式[][]2
230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】
通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2
230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】
对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]
22x x ≠，故A 不成立.
对于B ，[][]
x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，
故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[
),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，[][]222x m r =+， 若102r ≤<
，则102r ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣
⎦；
若
112r <<，则112r ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣
⎦，故C 成立.
对于D ，由不等式[][]2
230x x --≥可得[]
1x ≤-或[]3
2
x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
6．已知函数1(),f x x x =+
221
()g x x x
=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2
【答案】BC 【分析】
利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】
2211()()f x g x x x x x
+=+
++ ()
22
221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+
+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝
∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅=
[]232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得t >
t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.
7．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x
f x e x =+，下列命题正确的是
（ ）
A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x
f x e x =+
B ．若()()33f x f x --=-，则()()32
g x f x e
=+
在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]
23,3x ∈-，()()122f x f x -<
D ．若()()3f x f x +=，方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，则
k 的范围为23
12
k e e -
<<- 【答案】BC 【分析】
A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；
B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数
()f x 与直线3
2
y e =-
有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]
3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e
-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】
A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x
f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函
数，所以()()()1x
f x f x e
x -=-=-+，A 错误；
B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x
f x e
x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当
()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e
-=-
，()21
20f e
-=-
<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32
y e
=-有3个交点，即函数()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；
C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2
[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当
[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；
D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]
3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，
因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]
3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()
21
20f e -=-<，所以23
12k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC
【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.
8．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间
[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )
A ．2
1(1)()2
f t t f ++> B ．(2)0()f f t ->> C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
【答案】ABC 【分析】
先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】
因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--
所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<
所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立
因为2
2311
20224
t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭
所以21t t ++比
1
2
离对称轴远 所以2
1(1)()2
f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2
2
32250t t t +-+=+>
所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立
因为20t -<<，所以()()2
2
2123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC
【点睛】
本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.
9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
10．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x x
f x -+-=-==+++，
则()()()()()
()21212212122212221x x x x x x x x
f x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、导数及其应用多选题
11．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2
x x π
+<
B ．22x
x <
C
．sin 2
x >
D ．1
ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】
构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，即可得sin 22
x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y
x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin
2
x
f x =，(
)h x =
的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在
()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02
2
x π
π
<
-<
，令()sin f x x x =-，
()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()()00f x f <=，
即sin x x <，所以sin 22
x x ππ
⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正
确， 对于选项B ：
由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；
对于选项C ：要证2
2
sin 2
4
x
x x >
+ 令()sin 2x f x =，()2
2
4
x
h x x =+()()f x f x -=-，()sin
2
x
f x =是奇函数， ()()h x h x -=，()2
2
4
x h x x =
+是偶函数， 令222
4
144
x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2
4
14
t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()2
2
4
x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：
由图知当()0,1x ∈时2
2
sin 2
4
x
x x >
+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()22111
0x g x x x x
-'=-=<， 所以()1
ln 1x g x x
=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x
+
->，可得1
ln 1x x >-，故选项D 不正确.
故选：ABC 【点睛】
思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）
一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
12．对于函数()2
ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）
A ．该函数定有2个极值
B ．该函数的极小值一定不大于2
C ．该函数一定存在零点
D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点
【答案】BD 【分析】
求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】
函数定义域是(0,)+∞，
由已知2121
()2x ax f x x a x x
+-'=+-=，
280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但121
02
x x =-<，12,x x 一正一
负．
由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，
()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．22
2210x ax +-=，2
2
2
12x a x -=，
2
2222()ln 1f x x ax x a =+--+＝
2
2
22
22
2
22222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，
设2
1()2ln 2g x x x x x =-+--
+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x
'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，
所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；
()f x 的极小值也是最小值为2
22222
1
()2ln 2f x x x x x =-+--
+， 例如当23x =时，17
3
a =-
，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =-
-++=-+>（217()3
e >， 所以()
f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．
13．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e
，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所
以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
14．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确.
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1
ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，即 ()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ，
同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
15．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）
A ．2()2f x x x =-
B ．()tan f x x =
C ．()sin cos f x x x =-
D ．()e ln x f x x =-
【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-
⎪⎝⎭
的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.
由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：
【详解】
由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合.
设()()1
1
,A
x f x ，()()2
2
,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点
A 、
B 、
C 、
D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-
符合题意 ②()tan f x x =
符合题意
③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭
放大局部图像可见，在,14
段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于
12
2
x x +处的函数值.
不合题意
④()e ln x f x x =-
'1()e x f x x =-，''21
()e 0x f x x
+=>
根据导函数作出图像如下
符合题意. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.
16．已知2()ln f x x x =，2
()()f x g x x
'=，()'
f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点
C ．当120x x e <<< 时，22
1212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32
m ≥
D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥
【答案】ACD 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()
g x ，再利用导数确定
()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数
2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()
h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】
()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，
得121
2ln 10ln 2
x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确
2ln 1
()x g x x
+=
， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得1
21ln 2
x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在1
2e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．
当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >
()g x ∴的大致图象为
()g x ∴只有一个零点，故B 错．
记2
()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，
()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立
22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立
23m ∴≥32
m ∴≥
． 故C 正确．
2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，
()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，
()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个
交点．
()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，
()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得32
x e
-=，
当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．
()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，
332
203()21202H x e e -
-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
0(0,)x x ∈时，3
22ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，
()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：
直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合
思想的应用．
17．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD 【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'
-=-
=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又
当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，
当0a >时，在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 单调递减，
在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1
x a
=
时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，
当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1
a e
=
时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即1
0a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
18．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下
列结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==，
所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零
点时，利用零点定义解方程，1
()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
19．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔
离直线”，已知函数()()2
f x x R x =∈，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭内单调递增
B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4
C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-
D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】
求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为
(
y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A ：()()()2
1m x f x g x x x =-=-
，()212m x x x
'=+，
当x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-
在x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，
可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；
对于选项D ：函数()f x 和()h x
的图象在x =
()f x 和()h x 的
隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=
，即y kx e =-，由(
)f x kx e ≥-，可得
20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤
，只有k =
y e =-
，下面证明()h x e ≤-
，令
()2n ()l G x e h x e x e =--=--，
()x G x x
'=
，当x =
()0'=G x
，当0x <<时，()0'
<G x
，当
x >()0G x '
>
，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所
以
()()0G x e h x =--≥
，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()
g x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
20．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点
D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】
逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】
对于A ：当1a =时，()sin x f x e x =+，(),x π∈-+∞， 所以(0)1f =，故切点为()0,1，
()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '
==，
故直线方程为()120y x -=-，
即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x
f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，
所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫
'=>
⎪⎝⎭
，
3344
33cos 044
2f e e π
π
π
π--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 所以存在03,42x ππ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝
⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0x
e x +=，则在()0,x π-上，()0
f x '<，()f x 单调递减，
在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；
对于 C 、D ：()sin x
f x e a x =+,(),x π∈-+∞，
令()sin 0x
f x e a x =+=得：1sin x x a e
-=， 则令sin ()x x
F x e
=
，(),x π∈-+∞，
)cos sin 4()x
x x x x F x e e π
--'==，令()0F x '=，
得：4
x k π
π=+，1k ≥-，k Z ∈，
由函数)4
y x π
=-图象性质知：。