2019-2020学年湖南省常德市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2019-2020学年湖南省常德市数学高二第二学期期末达标测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(),0F c 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A ，B 两点，
若AF BF ⊥且ABF ∆的周长为42a c +，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
3
2
B ．
52
C ．
10 D ．
10 【答案】D 【解析】 【分析】
设双曲线的另一个焦点为1F ，则根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，2AB c =，由条件可得
4AF BF a +=，由双曲线的定义2BF AF a -=，再由勾股定理可解得离心率.
【详解】
设双曲线的另一个焦点为1F ，由AF BF ⊥.
根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，如图，12AB F F c ==. 又ABF ∆的周长为42a c +，则4AF BF a +=…………①. 由双曲线的定义2BF AF a -=………………② 由①，②得3,BF a AF a ==.
在直角三角形ABF 中,222
AB AF BF =+ . 则()2
2243c a a =+，即22410c a =，所以10
e =. 故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题. 2．已知两个正态分布密度函数()
()()2
2
21
,1,22i i x i
i
x e x R i μσϕπσ--
=∈=的图象如图所示，则（ ）
A ．1212,μμσσ<<
B ．1212,μμσσ>>
C ．1212,μμσσ<>
D ．1212,μμσσ>>
【答案】A 【解析】 【分析】
正态曲线关于x μ= 对称，且μ 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有
σ 越小图象越瘦高，得到正确的结果．
【详解】
正态曲线是关于x μ=对称，且在x μ=处取得峰值
2πσ
，由图易得12μμ<，故()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<.故选A. 【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．
3．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】
根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论． 【详解】
根据四个等高条形图可知：
图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题. 4．有一个奇数列1,3,5,7,9,
，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1；第二组含二个数{}3,5；第三
组含有三个数{}7,9,11；第四组数{}13,15,17,19;有试观察每组内各数之和与组的编号数n 有什么关系
（ ） A ．等于2n B ．等于3n
C ．等于4n
D ．等于()1n n +
【答案】B 【解析】
第n 组有n 个数，第1n -组有1n -个数，所以前n 组的数字个数是
()12
n n +，那么前n 组的数字和是
()2
214
n n + ，所以前1n -组的数字个数是
()2
1n n -，那么前1n -组的数字和是
()2
214
n n -，那么第n 组
的数字和是
()()2
2
223114
4
n n n n n +--
= ，故选B.
5．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程30x ax b ++=没有实根 B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A 【解析】
分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程30
x ax b ++=
详解：结论“方程30x ax b ++=至少有一个实根”的假设是“方程30x ax b ++=没有实根．” 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：
6．在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:240l x y --=．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使得||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（ ） A ．12
,05⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．1212,55⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．120,
5⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．120,
5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
设(),M x y ，由||2||MA MO =，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M
的轨迹为以()0,1-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，由M 在圆C 上，得到圆C 与圆D 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围． 【详解】
设点(),M x y ，由||2||MA MO == 化简得：2
2
(1)4x y ++=，
∴点M 的轨迹为以()0,1-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，
又
点M 在圆C 上，
∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，
13CD ∴≤≤，其中CD =
13∴≤≤，
即25120a a -≤ 可得1205
a ≤≤， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．
7．已知函数()2
2ln f x x ax =-，若α，β均在［1，4］内，且1βα-=，()()f f αβ=，则实数a 的取
值范围是（） A ．ln 20,
4⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．2
4ln 2ln ,
734⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．ln 22,ln 243⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．242
ln ,ln 2733
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
先求导，利用函数的单调性，结合()()f f αβ=，确定0a >;再利用1βα-=，即
()2ln 2ln 0a αβαβ-++=，可得()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈，设
()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈，确定()h x 在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，即
可求实数a 的取值范围． 【详解】
解：()()2
220ax f x x x
'-=>，
当0a ≤时，()0f x '> 恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上递增，则f （x ）不可能有两个相等的函数值．故
0a >；
由题设()()f f αβ=， 则222ln 2ln a a ααββ-=- 22ln a αα- ＝2
2ln a ββ-
考虑到1βα-=，即()2ln 2ln 0a αβαβ-++=
()()2ln 2ln 1210a ααα∴-+++=，[]1,3α∈
设()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈， 则()22201
h x a x x ++'=
-> 在[]1,3上恒成立， ()h x ∴在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，则
()()
1030h h ⎧≤⎪∴⎨≥⎪⎩ ，2ln 2302ln32ln 470a a -+≤⎧∴⎨-+≥⎩ ，
242
ln ln 2733
a ∴≤≤ 故实数a 的取值范围是242
ln ln 2733
a ≤≤．
【点睛】
本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件()()f f αβ=，以及1βα-=，变形为()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈
，然后构造函数转
化为函数零点问题.
8．设a =b =2log 15c =，则下列正确的是 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据15x
y =得单调性可得a b >；构造函数())2log 0f x x x =>，通过导数可确定函数的单调性，
根据单调性可得()()15160f f >=，得到c a >，进而得到结论. 【详解】
由15x
y =的单调递增可知：1
1321515>> a b ∴>
令())2log 0f x x x =>，则())10
ln 2f x x x '=
=> 令()0f x '=，则2
2ln 2x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '< 即：()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递增，在22,ln 2⎛⎫
⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 2
3
ln 2ln e =>=2ln 23> 2
29ln 2⎛⎫∴< ⎪⎝⎭
()()
21516log 160f f ∴>==，即：2log 15> c a ∴>
综上所述：b a c << 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确
定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点2
2ln 2x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
后，需验证零点与15之间的大小关系，
从而确定所属的单调区间.
9．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863
y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元 B ．252万元 C ．200万元 D ．128万元
【答案】C 【解析】 【分析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】
由题意，函数31812863
y x x =-+-，所以2
81y x '=-+，
当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，
所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 10．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线
【答案】B 【解析】
方程sin ρθ=，可化简为：2sin ρρθ=，即22
x y y +=.
整理得2
2
11(y )2
4x +-=，表示圆心为(0,1 )2，半径为1
2
的圆. 故选B.
11．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A ．64 B ．72
C ．60
D ．56
【答案】A
【解析】
分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.
详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为2
4848C =
因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为842216+++= 因此比赛进行的总场数为48+16=64， 选A.
点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.
12．若函数())cos(2)f x x x θθ=+++为奇函数，且在[,0]4π
-上为减函数，则θ的一个值为（ ）
A ．3
π-
B ．6
π-
C ．
23
π D ．
56
π 【答案】D 【解析】
由题意得()()()2cos 22sin 26f x x x x πθθθ⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
∵函数()f x 为奇函数， ∴,6
k k Z π
θπ+
=∈，故,6
k k Z π
θπ=-
+∈．
当6π
θ=-
时，()2sin2f x x =，在,04π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上为增函数，不合题意．
当56πθ=
时，()2sin2f x x =-，在,04π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上为减函数，符合题意．选D ． 二、填空题：本题共4小题
13．已知向量,,a b c 满足||1a =，||||a b b -=，()()0a c b c -⋅-=，若对每一确定的b ，||c 最大值和最小值分别为,m n ，则对任意b ，m n -的最小值是_____. 【答案】1
2
【解析】 【分析】
分别令OA a =、OB b =、OC c =，根据已知条件判断出A 、B 、C 三点的位置关系，及m n -的几何意义，进而得到答案. 【详解】
因为||1a =，所以令OA a =（O 为坐标原点），则点A 必在单位圆上 因为||||a b b -=，所以令OB b =，则点B 必在线段OA 的中垂线上
令OC c =，因为()()0a c b c -⋅-=，所以点C 在以线段AB 为直径的圆M 上 所以可得m n -就是圆M 的直径AB
显然，当点B 在线段OA 的中点时，m n -取最小值12
故答案为：12
【点睛】
本题考查的是平面向量的运算及圆中的最值问题，属于较难题，解题的关键是找出每个式子的几何意义. 14．关于x 的方程()2
10x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．
【答案】【解析】
分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．
详解：当2
40p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得121x x -=
= ，得p =
当2
40p =-＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|12|1x x -==，
得p =
综上所述，p =或p =．
故答案为
点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．
15．试写出7
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中系数最大的项_____．
【答案】35x
【解析】 【分析】
T r+1＝（﹣1）r r
7C x 7﹣2r ，r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，经过比较即可得出 【详解】
77
217
11r
r r
r r r T x
x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭
﹣＝C ＝（﹣
）， r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6， 其系数分别为：1， 2
7C ,4
7C ,6
7C
经过比较可得：r ＝4时满足条件， 41
5735T C x x
-==
故答案为：35x
． 【点睛】
35
x
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是________． 【答案】[)9,+∞ 【解析】 【分析】
利用基本不等式将3ab a b =++变形为3ab ≥即可求得ab 的取值范围. 【详解】
∵0a >，0b >，∴33ab a b =++≥，即30ab -≥3，即9ab ≥，当且仅当3a b ==时，等号成立. 故答案为：[)9,+∞. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求代数式的取值范围问题，属常规考题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．选修4-4：坐标系与参数方程
点P 是曲线1C ：2
2
(2)4x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线3
π
θ=
，（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，设定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）4cos ρθ=,4sin ρθ=;（Ⅱ）3． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（Ⅱ）M 到射线3
π
θ=
的距离为2sin
3
d π
==B A AB ρρ=-可求得S
试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． 设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
．
所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅱ）M 到射线3
π
θ=
的距离为2sin
33
d π
==，
(
)
4sin cos 2
3133B A AB π
πρρ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝
⎭，
则1
332
S AB d =
⨯=-． 18．在长方体1111ABCD A B C D -中，6DA =，2DC =，13DD =，E 是AB 的中点.
（1）求四棱锥1A BCDE -的体积；
（2）求异面直线1A E 与1B C 所成角的大小（结果用反三角形函数值表示）. 【答案】（1）132
2
A BCDE V -=；（2）1arccos 2
【解析】 【分析】
（1）先求出36
2
BCDE ABCD ADE S S S ∆=-=
,由此能求出四棱锥1A BCDE -的体积。

（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A E 与1B C 所成角的大小。

【详解】 （1）
在长方体1111ABCD A B C D -中，6DA =2DC =，13DD =E 是AB 的中点.
∴13662612BCDE ABCD ADE S S S ∆=-=-=
∴四棱锥1A BCDE -的体积1
111363233322
BC A BCD DE E V AA S -=⨯⨯==
（2）
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则
1(6,0,3)A ，(6,1,0)
E ，1(6,2,3)B ，(0,2,0)C ，
1(0,1,3)A E ∴=-，1
(6,0,3)BC =--，设异面直线1A E 与1B C 所成角为θ， 则11111
cos 2
49A E B C A E B C
θ⋅=
=
=⋅⋅， 1
arccos 2
θ∴=
∴异面直线1A E 与1B C 所成角为1
arccos 2
【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式，解题的关键是熟记棱锥体积公式，同时也考查了用空间直角坐标系求立体几何中异面直线所成的角，此题需要一定的计算能力，属于中档题。

19．在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，32=AD .
（1）求sin ADB ∠；
（2）若32DC =ABCD 的面积. 【答案】（1）5
sin 5
ADB ∠=（2）9 【解析】 【分析】
（1）在ABD △中由余弦定理得BD ， 再由正弦定理能求出sin ADB ∠；（2）
cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=
，四边形ABCD 的面积ADB
BDC
S S S
=+，由此能求出结果．
【详解】
（1）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =
，=AD
ABD △中，由余弦定理可得：
BD ===， ∵
sin sin AB BD
ADB BAD
=∠∠，
∴4AB sin BAD sin ADB BD ⨯
⋅∠∠==
= （2）BCD
中，cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=
， 11
sin sin 922
ADB BDC S S S AD BD ADB CD BD CDB =+=
⋅⋅∠+⋅⋅∠=△△ 【点睛】
本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．已知常数0a >,函数()()2ln 12
x
f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;
(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 【答案】 (1)详见解析 (2)1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
试题分析:(1)首先对函数()f x 求导并化简得到导函数()'f x ,导函数的分母恒大于0,分子为含参的二次函数,故讨论分子的符号,确定导函数符号得到原函数的单调性,即分0∆≤和0∆>得到导函数分子大于0和小于0的解集进而得到函数的单调性.
(2)利用第(1)可得到当01a <<时,导数等于0有两个根,根据题意即为两个极值点,首先导函数等于0的两个根必须在原函数()f x 的可行域内,把12,x x 关于a 的表达式带入()()120f x f x +>,得到关于a 的不等式,然后利用导函数讨论a 的取值范围使得()()120f x f x +>成立.即可解决该问题. (1)对函数()f x 求导可得
()()24'12a f x ax x =-++()()()()
2
224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2
120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1
a ≤时,()
'0f x x =⇒=则函数()f x
在区间⎛ ⎝⎭
单调递减,
在⎫
⎪+∞⎪⎝⎭
单调递增的. (2)解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()
2
224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2
120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递
增,当1a <时,()
'0f x x =⇒=则函数()f x
在区间⎛ ⎝⎭
单调递减,
在⎫
⎪+∞⎪⎝⎭
单调递增的. (2)函数()f x 的定义域为1,a ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭,由(1)可得当01a <<时,(
)'0f x x =⇒=
则1a >-
⇒12a ≠,即110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
则为函数()f x 的两个极值点,代入()()120f x f x +>可得
()(
)
12ln 1ln 1f x f x ⎡⎡+=++-⎣⎣()()41ln 14121
a a a a -⎡⎤=---
⎣⎦-=()2
2
ln 12221
a a -+
-- 令21a t -=,令()2
2ln 2g t t t =+
-,由110,,122a ⎛⎫⎛⎫
∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
知: 当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()1,0t ∈-, 当1,12a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0,1t ∈,
当()1,0t ∈-时,()()22ln 2g t t t =-+
-,对g t 求导可得()()222122'0t g t t t t
-=-=<,所以函数g t 在()1,0-上单调递减,则()()140g t g <-=-<,即()()120f x f x +<不符合题意. 当()0,1t ∈时,()22ln 2g t t t =+
-,对g t 求导可得()()22
2122'0t g t t t t
-=-=<,所以函数g t 在
0,1上单调递减,则()()10g t g >=,即()()120f x f x +>恒成立,
综上a 的取值范围为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
考点：导数 含参二次不等式 对数 单调性
21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3(x t
t y t =-⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），在极坐标系（与直角坐标系
xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 坐标为（3
，求||||PA PB ⋅的值. 【答案】（1
）220x y +-=（2）4 【解析】 【分析】
(1)由极坐标与平面直角坐标之间的转化公式求得； (2)利用直线参数方程中t 的几何意义求解. 【详解】
解，（1
）∵圆的极坐标方程为ρθ=
∴2sin ρθ=（*）
又∵cos x ρθ=，sin y ρθ= ∴222
ρx y =+
代入（*
）即得圆的直角坐标方程为220x y +-=
（2）直线1
的参数方程可化为32
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入圆c
的直角坐标方程，得240t -+=， ∴124t t ⋅= ∴1212||||4PA PB t t t t ⋅==⋅= 【点睛】
本题考查平面直角坐标系和极坐标的互化，以及直线的参数方程中的t 的几何意义，属于中档题. 22．已知函数()11f x x mx =++-.
（1）若1m =，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围. 【答案】 (1)见解析;(2)(,1][1)-∞-⋃+∞. 【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的意义求出x 的范围即可；
（2）问题转化为当0x >时，11mx x -≥-，结合函数的性质得到关于m 的不等式，解出即可. 【详解】
（1）()()()11112f x x x x x =++-≥+--=， 当且仅当()()110x x +-≤时取等号，
故()f x 的最小值为2，此时x 的取值范围是[]
1,1-. （2）0x ≤时，()2f x x ≥显然成立，所以此时m R ∈；
0x >时，由()112f x x mx x =++-≥，得11mx x -≥-.
由1y mx =-及1y x =-的图象可得1m ≥且
1
1m
≤， 解得1m ≥或1m ≤-.综上所述，m 的取值范围是][()
,11-∞-⋃+∞ 【点睛】
该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值的意义，绝对值三角不等式，分类讨论思想，灵活掌握基础知识是解题的关键.。