【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 2.13定积分与微积分基本定理练习

第十三节 定积分与微积分基本定理(理)
时间：45分钟 分值：100分
基 础 必 做
一、选择题
1．若S 1＝⎠⎛1
2x 2d x ，S 2＝⎠⎛1
21x d x ，S 3＝⎠
⎛1
2e x
d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
解析 本题考查微积分基本定理． S 1＝⎠
⎛1
2x 2d x ＝x 3
3|21＝7
3.
S 2＝⎠⎛1
21x
d x ＝ln x |2
1＝ln 2－ln 1＝ln 2.
S 3＝⎠⎛1
2e x d x ＝e x |21＝e 2
－e ＝e (e －1)．
令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B . 答案 B
2．(2014·河南联考)已知f(x)＝2－|x|，则
f(x)d x 等于( )
A ．3
B ．4
C ．3.5
D ．4.5
解析
答案 C
3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2
－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02
x 2
－1 d x
B .⎠⎛02(x 2－1)d x
C.⎠⎛02|x 2
－1|d x
D .⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＋⎠⎛0
2(x 2－1)d x
解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛1
2(x 2
－1)d x
＝⎠⎛0
2|x 2
－1|d x ，故选C.
答案 C
4．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5
B.43
C.32
D.π2
解析
答案 B
5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋
25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A ．1＋25ln5
B ．8＋25ln 11
3
C ．4＋25ln5
D ．4＋50ln2
解析 令v (t )＝0,7－3t ＋25
1＋t
＝0
∴3t 2
－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛0
4v (t )d t ＝⎠
⎛0
4⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln 1＋t |4
0＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.
答案 C
6．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1
x
(x ＞0)图
象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )
A.ln22
B.1－ln2
2 C.1＋ln2
2
D.2－ln2
2
解析
答案 C 二、填空题
7．若⎠⎛0
T x 2
d x ＝9，则常数T 的值为________．
解析 ∵⎠
⎛0
T x 2
d x ＝x 3
3|T
0＝T 3
3＝9，∴T ＝3.
答案 3
8．计算：⎠⎛0
1(x 2＋1－x 2
)d x ＝______.
解析 ⎠⎛01(x 2
＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛
1
1－x 2
d x ＝
x 3310
＋1
4π＝13＋π
4
. 答案 13＋π
4
9．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．
解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎪⎨⎪⎧
5＝12
k ＋b ，
0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10x ， 0≤x ≤1
2
，－10x ＋10， 1
2
＜x ≤1.
∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10x 2
， 0≤x ≤1
2
，－10x 2
＋10x ， 1
2
＜x ≤1.
答案 54
三、解答题
10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛0
1f (x )d x ＝5，⎠⎛0
1xf (x )d x ＝176，求⎠
⎛1
2f x
x d x 的值．
解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．
由⎠
⎛0
1(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝1
2a ＋b ＝5.①
由⎠⎛0
1xf (x )d x ＝176，得⎠
⎛0
1(ax 2
＋bx )d x ＝176.
即⎝ ⎛⎭⎪⎫13
ax 3＋12bx 210＝17
6.
∴13a ＋12b ＝17
6
.② 解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 于是⎠⎛1
2
f x x d x ＝⎠⎛1
24x ＋3x d x ＝⎠
⎛1
2(4＋3
x )d x
＝(4x ＋3ln x )2
1＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.
11．设函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；
(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．
解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
1＋a ＋b ＝－2，
3＋2a ＋b ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝－3.
(2)由(1)可知，f (x )＝x 3
－3x . 作出曲线y ＝x 3
－3x 的草图如图，
所求面积为阴影部分的面积，由x 3
－3x ＝0得曲线y ＝x 3
－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3
－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．
所以所求图形的面积为
培 优 演 练
1．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝sin (x －φ)，且f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图
象的一条对称轴是( )
A ．x ＝
5π6 B ．x ＝7π12
C ．x ＝π3
D ．x ＝π6
解析 ∵
∴－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－φ＋cos φ＝0.∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3－φ－cos φ＝0.
∴
32sin φ－32cos φ＝0.∴3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0.
∴φ－π3＝k 1π(k 1∈Z )．∴φ＝k 1π＋π
3(k 1∈Z )．
∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 1π－π3(k 1∈Z )．
由x －k 1π－π3＝k 2π＋π
2(k 1，k 2∈Z )，
得x ＝(k 1＋k 2)π＋5
6
π(k 1，k 2∈Z )，
∴f (x )的对称轴方程为x ＝(k 1＋k 2)π＋5
6π(k 1，k 2∈Z )．
故x ＝5π
6为函数f (x )的一条对称轴．
答案 A
2．(2014·湖北卷)若函数f (x )，g (x )满足f(x)·g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为
区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2
.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析 对于①，sin 1
2x·cos 12
x d x
答案 C
3．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x
，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．
解析
答案 e 2e
4．如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝4x －8的切线l. (1)求切线l 的方程；
(2)求切线l ，x 轴及曲线f(x)＝4x －8所围成的封闭图形的面积S. 解 (1)由f(x)＝4x －8，∴f′(x)＝1x －2
.
又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝1
2
，
因此切线方程为y －4＝1
2(x －6)，即x －2y ＋2＝0.
(2)令f(x)＝0，则x ＝2，即点C(2,0)． 在x －2y ＋2＝0中，令y ＝0，则x ＝－2， ∴点B(－2,0)．。