§第一章《立体几何初步》-----4 空间图形的基本关系与公理(2)

D C
A
α
B
4
3、平面的表示 ①通常我们用平行四边形表示平面（如上图） ； ②为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名 称来表示平面：用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平 面β等；用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶 点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
D α A
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?
⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?
⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?
它体现了什么样的数学思想?
20
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连结BD。 因为FG是ΔCBD的中位线， 1 所以 FG//BD，FG BD. E A H
15
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
16
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
17
知识探究(三): 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
24
当堂练习4
下列结论正确的是（ D ） A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
25
当堂练习5
如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 已知E，F分别是AB , BC 的中点， 求证：EF∥A1C1.
D、相交成60°
C
C A D B
A
B(D)
22
当堂练习1：根据下列条件作图：
(1) A∈，a≠ ，A∈a； (2) a≠ ，b≠ ，c≠ ，且a∩b＝A，
b∩c＝B，c∩a=C.
23
当堂练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”， 假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （2）两条直线可以确定一个平面 （3）两条相交直线可以确定一个平面 （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （5）三条平行直线可以确定三个平面 （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（ ） A、三角形 C、梯形 B、菱形 D、四边相等的四边形
思考2:
平面有哪些性质?
3
知识探究(一): 平面的概念、画法及表示
1、平面含义 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面 等等，都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就 是从这样的一些物体中抽象出来的，几何里的平面是无 限延展的. 2、平面直观图的画法 水平放置的平面通常画成一个平行 四边形，锐角画成45 °，且横边 画成邻边长的2倍（如图）
பைடு நூலகம்14
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
A
C
B
8
知识探究（二）：平面的基本性质2 文字语言
公理2 经过不在同一直线上的 三点，有且只有一个平面.
B A C 不在同一条直线上的三点A、B、 C⇒有且只有一个平面α，使 A∈ 面α ，B∈ 面α ，C ∈ 面α
一、确定平面的依据 二、判断点线共面得依据.
9
图形语言 符号语言
公理作用
思考交流 （1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定 一个平面吗？ B α LA C （2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ A B α Aa α a C C B b b (3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
图形语言

P 且P
符号语言 公理作用

P
l
l且P l.
（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共 一、判定两个平面相交的依据 点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； （2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这 两个平面的公共交线，则这点在交线上. 二、判定点在线上的依据 13
一是判定直线在平面内的依据，即要判定直线在平 一、判定线在面内 面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；也是 判定点在平面内的方法，即如果直线在平面内、点 或点在面内的依据 在直线上，则点在平面内. 二、检验平面 二是检验平面的方法
7
知识探究（二）：平面的基本性质2
观察下图，你能得到什么结论？
2
又因为EH是ΔABD的中位线
1 B 所以EH // BD，EH BD。 2
根据公理4，FG//EH，且FG=EH 。 所以，四边形EFGH是平行四边形。
D
F G
C
21
理论迁移
例2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方 体中的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线
1
学习目标
掌握公理1、2、3、4及定理 ；并能运用 它们解决问题----证明点共线、线共点以 及线共面问题． 加强由实际模型到图形，再由图形返回 模型的基本训练，逐步培养由图形想象 出空间位置关系的能力．
2
知识探究----平面及其性质
思考1:
平面是构成空间几何体的基本要素.那 么什么是平面呢?平面如何表示呢?
10
公理2 的三个推论
推论1 经过一条直线和直线外一点唯一确 定一个平面. 推论2 经过两条相交直线唯一确定一个平面.
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
11
知识探究（二）：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面
P
墙面

P
a
12
知识探究（二）：平面的基本性质3 文字语言
26
课堂小结
1. 平面的概念，画法及表示方法； 2. 平面的性质及其作用； 3. 符号表示.
27
知识探究（二）：平面的基本性质4
问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c ⇒a//c,在空间此 结论是否成立？举例说明
文字语言 平行. 平行公理 图形语言
公理4平行于同一条直线的两条直线
a
b
c
符号语言 a // b, b // c a // c 公理作用
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
18
知识探究(三): 等角定理及异面直线所成的角
问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义 的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?
19
思考：
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置
有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?
24如图将无盖正方体纸盒展开直线abcd在原正方体中的位置关系是a平行b相交且垂直c异面直线d相交成60集成电路是采用半导体制作工艺在一块较小的单晶硅片上制作上许多晶体管及电阻器电容器等元器件按照多层布线或遂道布线的方法将元器件组合成完整的电子电路因其管脚非常密集所以非常容易造成虚焊
§4
空间图形的基本关系与公理 4.2空间图形的公理
C
B
平面α
平面ABCD 或平面AC 或平面BD
5
知识探究（二）：平面的基本性质1 观察下图，你能得到什么结论？
桌面
A
B
6
知识探究（二）：平面的基本性质1 文字语言 公理1: 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都 在这个平面内(即直线在平面内).
图形语言 符号语言
A
B
l
公理作用