21年九年级中考数学第三轮专题复习压轴题冲刺：二次函数 专项练习(含答案)

2021年中考数学第三轮专题复习压轴题冲刺：二次函数 专项练习
1、如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、
B (0，3)，抛物线y ＝－x ＋2x ＋1与y 轴交于点
C ．
（1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式；
（2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB
的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标；
（3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，
求CE ＋EF 的最小值．
2、如图，直线y=﹣3x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，
∠ACB=90°，抛物线y=ax 2经过A ，B 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．
3、如图，抛物线23y ax bx =+-经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；
（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在。

求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
4、如图，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标；
（2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；
（3）求证：△DPE ∽△PAM
时的点P 的坐标．
5、已知抛物线y=﹣+bx+c 与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
54
（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）点
M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M
在对称轴的右侧），求该正方形的面积；
（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．
7、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x 轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
8、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
，△BCE的面积①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S
1
为S
，求的最大值；
2
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
10、如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S
四边形OPMN
，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理△QAB
由．
11、 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，矩形的边，延长交抛物线于点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，作，垂足为.设的长为，点的横坐标为，求与的函数关系是（不必写出的取值范围），并求出的最大值；
（3）如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的的坐标；若不存在，请说明理由.
12、如图，抛物线22y ax bx =+-的对称轴是直线1x =，与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()2,0-，点P 为抛物线上的一个动点，过点P
作
22++=bx ax y x B A ,y C 4=AB OBDC 1=CD DC E P EO P y EO G EO PH ⊥H PH l P m l m m l N M N C A M ,,,
M
PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E .
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P 在第一象限内，当4OD PE =时，求四边形POBE 的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点,,,B D M N 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
参考答案
2021年中考数学第三轮专题复习压轴题冲刺：二次函数专项练习
1、如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、
B(0，3)，抛物线y＝－x＋2x＋1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx＋b的解析式；
（2）若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
解：（1）∵y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3),
∴
40
3
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得k＝3
4
，b＝3．
∴y＝3
4
x＋3．
（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN 的垂线段，垂足分别为M、N．
设H (m ，34m ＋3)，则M (－4，34m ＋3)，N (x ，34m ＋3)，P (x ，－x 2
＋2x ＋1)． ∵PH ⊥AB ，∴∠CHN ＋∠AHM ＝90°，∵AM ⊥MN ，∴∠MAH ＋∠AHM ＝90°． ∴∠MAH ＝∠CHN ，∵∠AMH ＝∠CNH ＝90°，∴△AMH ∽△HNP ．
∵MA ∥y 轴，∴△MAH ∽△OBA ．∴△OBA ∽△NHP ．
∴345NH CN CH ==． ∴23(3)(21)4345
m x x x m d +--++-==． 整理得：24
855d x x =-+，所以当x ＝58，即P (58，11964
)． （3）作点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，过点C ′作C ′F ⊥AB 于F ．过点F 作JK ∥x 轴，，分别过点A 、C ′作AJ ⊥JK 于点J ，C ′K ⊥JK 于点K ．则C ′(2，1)
设F (m ，34
m ＋3)
∵C ′F ⊥AB ，∠AFJ ＋∠C ′FK ＝90°，∵CK ⊥JK ，∴∠C ′＋∠C ′FK ＝90°． ∴∠C ′＝∠AFJ ，∵∠J ＝∠K ＝90°，∴△AFJ ∽△FC ′K ．
∴'AJ JF FK C K =，∴33443224m m m m ++=-+，解得m ＝825或－4（不符合题意）． ∴F (825，8125
)，∵C ′(2，1)，∴FC ′＝145． ∴CE ＋EF 的最小值＝C ′E ＝
145．
2、如图，直线y=
﹣3
x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax 2
经过A ，B 两点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．
【答案】
∴AO CO =tan30°
=3
=3
，解得AO=1，学@科网 ∴A （﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax 2
经过A ，B 两点，
∴0930a b a b ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩
，解得3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线解析式为y=
﹣3x 2
+3
（3）∵MD ∥y 轴，MH ⊥BC ，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=
12DM ，，
∴△DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+
12DM+2DM=2
DM ， ∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，
3、如图，抛物线23y ax bx =+-经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =. （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；
（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，
N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在。

求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），
∴AF∥x轴，
∴F（﹣1，﹣3），
∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，
∴m=±1，
∴D
1（0，1），D
2
（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=4或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，5）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．
4、如图，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点
P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标； （2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；
（3）求证：△DPE ∽△PAM
时的点
P 的坐标．
【答案】：（1）解：∵抛物线的对称轴是y 轴，∴可设抛物线解析式为 ，
∵点（2，2），（1，）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线解析式为，∴N 点坐标为（0，1）； 5
4
2y ax c =+5
44254a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩141
a c ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩2
114
y x =
+
（2）证明：设P（t，），则C （0，），PA=，∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），∴M（0，2），∵OC=，ON=1，∴DM=CN=﹣1=，∴OD=，∴D（0，），∴DM=2﹣（）==PA，且PM∥DM，∴四边形PMDA为平行四边形；
（3）解：同（2）设P（t，），则
C（0，），PA=，PC=|
t|，∵M（0，2），∴CM=﹣2=，在Rt
△PMC中，由勾股定理可得PM=
==PA，且四边形PMDA为平行四边形，∴四边形PMDA为菱形，∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，∵PE⊥y
轴，且抛物线对称轴为y轴，∴DP=DE，
且∠PDE=2∠PDM，∴∠PDE=∠
APM，且，∴△DPE∽△PAM；∵
OA=|t|，OM=2，∴AM
，且PE=2PC=2|t|
，当相似比时，则
t=t=﹣
P点坐标为（4）或（﹣
4）．
5、已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣
4，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（4）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2
1
1
4
t+2
1
1
4
t+2
1
1
4
t+
2
1
1
4
t+2
1
1
4
t+2
1
4
t2
1
1
4
t-2
1
1
4
t
-+
2
1
1
4
t
-+2
1
1
4
t+
2
1
1
4
t+2
1
1
4
t+2
1
1
4
t+
2
1
1
4
t+2
1
1
4
t-
2
1
1
4
t+
PD DE
PA PM
=
AM
PE
【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2；（2）存在．
当x=0，y═﹣x2﹣x+2=2，则C（0，2），
∴OC=2，
∵A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
当∠PCB=90°时，
∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；
当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（﹣4，0），C（0，2）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∵BP∥AC，
∴直线BP的解析式为y=x+p，
把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，
∴直线BP的解析式为y=x﹣，
解方程组得或，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P
2
（﹣5，﹣3）；
（3）存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣n2﹣n+2）
①当AC为边，CF
1∥AE
1
，易知CF
1
=3，此时E
1
坐标（﹣7，0），
②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，
∴﹣n 2﹣n+2=﹣2，解得n=，得到F 2（，﹣2），F 3（，
﹣2），
根据中点坐标公式得到： =
或=，
解得m=或
，
此时E 2（
，0），E 3（，0），
③当AC 为对角线时，AE 4=CF 1=3，此时E 4（﹣1，0）， 综上所述满足条件的点E 为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，﹣2）或（
，
﹣2）．
6、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）点M 、N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；
（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F ，若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积； （3）若∠DMN=90°，MD=MN ，求点M 的横坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0），
∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），
解得：a=﹣1，
∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣=1，
如图1，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴ME=|﹣m2+2m+3|，
∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，
∴点N的横坐标为2﹣m，
∴MN=2m﹣2，
∵四边形MNFE为正方形，
∴ME=MN，
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，
分两种情况：
①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m
1=、m
2
=﹣（不符合题意，舍去），
当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；
②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m
3=2+，m
4
=2﹣（不符合题意，舍去），
当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；
综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．
（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，
把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：
，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，
设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），①点M在对称轴右侧，即a＞1，
则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，
若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，
解得：a=或a=＜1（舍去）；
若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，
解得：a=﹣1（舍去）或a=2；
②点M在对称轴右侧，即a＜1，
则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，
若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，
解得：a=﹣1或a=2（舍）；
若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，
解得：a=（舍去）或a=；
综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．
7、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x 轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴=，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6﹣x，
∴=，
当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F 点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F 点的坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，
∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．8、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S
△OBC =S
△CDO
+S
△CDB
=CD•OE+CD•BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t
1=t
2
=1，
∴C（1，﹣1）；
（3）存在．
设MB交y轴于点N，如图1，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+，
把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为y=x+，
联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，
∴M（﹣，），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=2，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴===2，
∵M（﹣，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（，）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．
9、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S
1
，△BCE的面积
为S
2
，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴，
∴，
∴y=﹣x2﹣x+2；
（2）①如图，令y=0，
∴﹣x2﹣x+2=0，
∴x
1=﹣4，x
2
=1，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴==，
设D（a，=﹣a2﹣a+2），
∴M（a， a+2），
∵B（1.0），
∴N（1，），
∴==（a+2）2+；
∴当a=2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（﹣，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即，
令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，
∴a
1=0（舍去），a
2
=﹣2，
∴x
D
=﹣2，
情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC==，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k，∴
∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，
∴a
1=0（舍去），a
2
=，
点D的横坐标为﹣2或﹣．
10、如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分
别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S
四边形OPMN
=8S △QAB
，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC=1
2
MN=
5
2
，
∵CD 为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt △OCD 中，由勾股定理可得=32， ∴PD=PC ﹣CD=52﹣32
=1， ∴P （2，﹣1）；
（2）∵抛物线的顶点为P （2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a （x ﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N （0，3），
∴3=a （0﹣2）2﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x ﹣2）2﹣1，即y=x 2﹣4x+3；
（3）在y=x 2﹣4x+3中，令y=0可得0=x 2﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A （1，0），B （3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S 四边形OPMN =S △OMP +S △OMN =12OM •PD+12OM •ON=12×4×1+12
×4×3=8=8S △QAB ， ∴S △QAB =1，
设Q 点纵坐标为y ，则12
×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1， 当y=1时，则△QAB 为钝角三角形，而△OBN 为直角三角形，不合题意，舍去， 当y=﹣1时，可知P 点即为所求的Q 点，
∵D 为AB 的中点，
∴AD=BD=QD ，
∴△QAB 为等腰直角三角形，
∵ON=OB=3，
∴△OBN 为等腰直角三角形，
∴△QAB ∽△OBN ，学-科网
综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为（2，﹣1）．
11、 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
22++=bx ax y x B A ,y C
，矩形的边，延长交抛物线于点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，作，垂足为.设的长为，点的横坐标为，求与的函数关系是（不必写出的取值范围），并求出的最大值；
（3）如果点是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的的坐标；若不存在，请说明理由.
试题解析：（1）∵矩形OBDC 的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A （﹣3，0），B （1，0），
把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 4=AB OBDC 1=CD DC E P EO P y EO G EO PH ⊥H PH l P m l m m l N M N C A M ,,,
M
， 解得，
∴抛物线解析式为y=﹣
x 2﹣x+2； （2）在y=﹣
x 2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x 2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2， ∴E （﹣2，2），
∴直线OE 解析式为y=﹣x ， 由题意可得P （m ，﹣ m 2﹣m+2）， ∵PG ∥y 轴， ∴G （m ，﹣m ），
（3）①当AC 为平行四边形的边时，则有MN ∥AC ，且MN=AC ，如图，过M 作对称轴的垂线，垂足为F ，设AC 交对称轴于点L ，
20
9320a b a b ⎧++=⎨
-+=⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩234
3
2343234
3
234
3
则∠ALF=∠ACO=∠FNM ， 在△MFN 和△AOC 中
∴△MFN ≌△AOC （AAS ）， ∴MF=AO=3，
∴点M 到对称轴的距离为3， 又y=﹣
x 2﹣x+2， ∴抛物线对称轴为x=﹣1，
∵点N 在对称轴上，
MFN AOC FNM ACO MN AC ⎧∠=∠⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
234
3
∴点N 的横坐标为﹣1，
设M 点横坐标为x ，[来源:Z#xx#]
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M （﹣2，2）；
综上可知点M 的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
12、如图，抛物线22y ax bx =+-的对称轴是直线1x =，与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()2,0-，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作
PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E . （1）求抛物线解析式；
（2）若点P 在第一象限内，当4OD PE =时，求四边形POBE 的面积； （3）在（2）的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点,,,B D M N 为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】
【答案】
试题分析：（1）由抛物线y=ax 2+bx ﹣2的对称轴是直线x=1，A （﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到B （4，0），C （0，﹣2），求得BC 的解析式为y=1
2
x
3
2
10310
3
﹣2，设D（m，0），得到E（m，1
2m﹣2），P（m，1
4
m2﹣1
2
m﹣2），根据已知条件
列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，7
4），E（5，1
2
），根据三
角形的面积公式即可得到结论；
（3）设M（n，1
2
n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分
BD，求得n=4+1
2，于是得到N（9
2
，﹣1
4
）；②以BD为边，根据菱形的性质得到
MN∥BD，MN=BD=MD=1，设D（m，0），
∵DP∥y轴，∴E（m，1
2m﹣2），P（m，1
4
m2﹣1
2
m﹣2），
∵OD=4PE，∴m=4（1
4m2﹣1
2
m﹣2﹣1
2
m+2），
∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，7
4），E（5，1
2
），
∴四边形POBE的面积=S
△OPD ﹣S
△EBD
=1
2
×5×7
4
﹣1
2
×1×1
2
=33
8
；
（3）存在，设M（n，1
2
n﹣2），①以BD为对角线，如图1，
∵四边形BNDM 是菱形，∴MN 垂直平分BD ， ∴n=4+12
，∴M （92
，14
），
∵M ，N 关于x 轴对称，∴N （9
2
，﹣14
）； ②以BD 为边，如图2，
∴n 1（不合题意，舍去），n 2=4，
∴N （5）， ③以BD 为边，如图3， 过M 作MH ⊥x 轴于H ，
∴MH 2+BH 2=BM 2，即（1
2
n ﹣2）2+（n ﹣4）2=12，。