导数法巧解曲线的切线方程
运用导数探究曲线的切线问题
运用导数探究曲线的切线问题山东 黄丽生导数与曲线的切线有缘，因为()0/x f的几何意义是曲线y=f (x)在点（x 0 ，f (x 0)）处的切线斜率，其物理意义通常指物体运动时的瞬时速度。
曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。
因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。
在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。
举例说明。
例1已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（1）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（2）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．分析：由题意点P 在曲线外，故求切线PM 、PN 的方程，须设出M 、N 两点的横坐标，目的是借助导数求直线的斜率；第二问属探索性问题，往往是先假设存在，看是否能求得符合条件的t 或导出矛盾。
解：（1）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ， 21)(x tx f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x tx t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x （ * ）22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ．（2）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． 把（*）式代入，解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． 点评：本题以函数为载体，综合考查了函数与导数的有关问题。
利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。
对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1． 曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，有)(0x f k '=；2．切点在曲线y f x =()上，有)(00x f y = 3． 切点在切线上，有切线方程)(00x x k y y -=-最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。
例一：曲线221y x =+在x=1的切线方程为 ； 解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又∵x y 4='，∴切线的斜率为4，∴切线的方程为y －5 = 4(x －1)，即y=4x ＋1。
利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。
另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。
例二：曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切线方程。
解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（200,x x ）∵x y 2='，∴切线的斜率为02x ，∴02x = －4，∴20-=x ∴切点的坐标为（－2，4）∴切线的方程为y =－4x －4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。
再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。
例三：曲线2x y -=的切线过点（0，4）求切线的方程。
解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为()00y x P ，，∵x y 2-='则在点P 处的切线方程为：()0002x x x y y --=-∵过点()4,0P ，且200x y -=()002002)(4x x x --=--∴ 20=∴x 或20-=x当20=x 时，切点为)4,2(-，此时切线方程为y=－4x ＋4，当20-=x 时，切点为()4,2--P ，此时切线方程为y=4x ＋4，∴过点（0，4）的切线方程为： y=－4x ＋4， y=4x ＋4。
利用导数求切线方程
利用导数求切线方程1. 引言在微积分中，导数是一个重要的概念。
它描述了函数在给定点的变化率，可以用来解决许多实际问题。
其中一个应用就是求解切线方程。
切线是曲线上的一条直线，与曲线在给定点处相切。
求解切线方程可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。
本文将介绍如何利用导数求解切线方程。
首先，我们将回顾导数的定义和性质。
然后，我们将详细介绍如何利用导数求解切线方程，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
2. 导数的定义和性质回顾在微积分中，导数描述了函数在给定点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在x处的导数可以通过以下极限定义得到：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ其中，f′(x)表示函数f(x)在x处的导数。
导数具有一些重要的性质，这些性质在求解切线方程时非常有用。
下面是一些常见的导数性质：•常数函数的导数为0：f′(x)=0•幂函数的导数：(x n)′=nx n−1•和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)•乘法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)•除法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)•复合函数的导数：(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)这些性质将在后面的内容中被广泛应用。
3. 求解切线方程的步骤为了求解切线方程，我们需要知道曲线上的一个点以及该点处的斜率。
导数提供了一个方法来计算曲线在给定点处的斜率，因此我们可以利用导数来求解切线方程。
以下是求解切线方程的步骤：步骤 1：确定曲线上的一个点首先，我们需要确定曲线上的一个点。
这个点将成为切线方程的起点。
可以通过给定的问题或者观察曲线的图像来确定这个点。
步骤 2：计算导数在确定了起点之后，我们需要计算曲线在该点处的导数。
根据导数的定义和性质，我们可以得到导数的计算公式。
步骤 3：计算斜率利用导数求得的斜率可以用来确定切线的斜率。
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线一.求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y），则y0=2﹣3x，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；等价于，解得x，故解集为（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，故a的取值范围为：[1，+∞）（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x，），∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：即，①设g（x）=，则∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．【作业1】．（2017•莆田一模）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ． （1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；三.切线与切线之间的关系 【例4】．（2018•绵阳模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是 .23a b c ++=则23b c +，∵b 2+c 2=1，∴sin ,cos b a ββ==设，∴235sin()b c βϕ+=+，故a+c ∈[﹣，]，【例5】.已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1），g （x ）=e x ，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）设，求函数t （x ）在[m ，m+1]（m ＞0）上的最小值；（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f （x ）与y=g （x ）的切线l 1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，求证：a=0或．【解答】（Ⅰ）解：，令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，∴t（x）min=t（1）=e．（Ⅱ）设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，∴x2=1，y2=e∴k2=e．由题意知，切线l1的斜率，∴切线l1的方程为，设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），∴，∴，，又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，令，则，∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，若x1∈（0，1），∵，，∴，而，在单调递减，∴．若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，∴x1=e，∴综上，a=0或．【作业2】．（2017•黄山二模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a ＜﹣．四．求公切线的方程【例6】．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x ）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x）=3e，f′（x）=g'（x）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．【作业3】．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程．五.与公切线有关的参数取值范围问题【例7】．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（Ⅱ）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（Ⅲ）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g'（x）=2ax﹣1．∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得a=b=1．（Ⅱ）设P（x0，y），则由题设有lnx=ax2﹣x…①，又在点P有共同的切线，∴f′（x0）=g′（x），∴，∴a=，代入①得lnx0=x，设h（x）=lnx ﹣+x，则h′（x）=+（x＞0），则h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．（Ⅲ）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′（x）=，f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y﹣lnt=（x﹣t），即y=x+lnx﹣1．与y=ax2﹣x，联立得ax2﹣（1+）x﹣lnt+1=0．∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程△=+4a（lnt﹣1）=0，即=4a（1﹣lnt）（*）总有解．若t＞e，则1﹣lnt＜0，而＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，从而，方程（*）可化为4a=．令H（t）=（0＜t＜e），则H′（t）=．∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，∴要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1．∴正实数a的最小值为1．【例8】．（2017•韶关模拟）.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②：=2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，当b=时，G（b）最大=G（）=e+﹣＜0，∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b ＜，综上所述，b 的取值范围（，）．【作业4】．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．六．公切线的条数问题【例9】．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x．（1）确定方程f（x）=实数根的个数；（2）我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f （x），y=g（x）公切线的条数，并证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得lnx==1+，即lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx﹣1和y=的函数图象有两个交点，∴方程f（x）=有两个实根；（2）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵f′（x）=，g′（x）=e x，∴，化简得（m﹣1）lnm=m+1，当m=1时，（m﹣1）lnm=m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm=m+1化为lnm=，由（1）可知，方程lnm=有两个实根，∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．【作业5】．已知函数f（x）=x2+2（1﹣a）x﹣4a，g（x）=﹣（a+1）2，则f （x）和g（x）图象的公切线条数的可能值是．【作业1解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H （a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H （）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．【作业2解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x，f'（0）=0，所以f （x）=（ax2+x﹣1）e x．（1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x．①若a＞0，当或x＞0时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．②若a=0，f（x）=（x﹣1）e x，f'（x）=xe x，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．③若，当或x＜0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．④若，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．⑤若，当或x＞0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．，当时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当时，f（x）单调递增区间为；单调递减区间为，（0，+∞）；（2）证明：g（x）=e﹣x f（x）+lnx=﹣e﹣x（ax2+x﹣1）e x+lnx=ax2+x﹣1+lnx，设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，所以x2=1，y2=e，k2=e．由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1），则．又，即，令，在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故．【作业3解答】解：（1）证明：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=﹣，由F'（x）=0，得x=3，当0＜x＜3时，F'（x）＜0，当x＞3时F'（x）＞0，可得F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，所以F（x）取得最小值为F（3）=ln3﹣1＞0，∴F（x）＞0，即f（x）＞g（x）；（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线，切点分别为P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）．因为f′（x）=，g′（x）=，所以分别以P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）为切线的切线方程为y=+lnx﹣1，y=+2﹣．令，即2lnx1+﹣（3+ln3）=0．令h（x）=2lnx1+﹣（3+ln3）．所以由h′（x）=﹣=0，得x1=3．显然，当0＜x1＜3时，h'（x）＜0，当x1＞3时，h'（x）＞0，所以h（x）min=ln3﹣1＞0，所以方程2lnx1+﹣（3+ln3）=0无解，故二者没有公切线．所以曲线y=f（x）和y=g（x）不存在公切线；（3）（1+1×2）（1+2×3）•…•（1+2012×2013）＞e4021．理由：由（1）可得lnx＞2﹣（x＞0），可令x=1+n（n+1），可得ln（1+n（n+1））＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣），则ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+2012×2013）＞2×2012﹣3（1﹣+﹣+…+﹣）=4024﹣3+＞4021．即有（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）＞e4021．【作业4解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣﹣blnx，∴f′（x）=1+﹣，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1﹣b=0，∴b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y）处存在公切线，由f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，得f′（x）=，g′（x）=2x，由f′（x0）=g′（x），得=2x，即2x3﹣ax2+2x﹣a=0，即（x02+1）（2x﹣a）=0，则x=，又函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，x0=≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x，y）处不存在公切线；当a＞0时，令f（）=g（），﹣2ln﹣2=，即=ln，令h（x）=﹣ln（x＞0），h′（x）=x﹣=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=﹣＜0，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，∴方程=ln在（0，+∞）解的个数为2．综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。
用导数求切线方程的四种类型知识讲解
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
使用函数的导数求解曲线的切线方程
使用函数的导数求解曲线的切线方程函数的导数是解析几何和微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
通过使用导数，我们可以求解曲线的切线方程，从而研究曲线在不同点上的性质和特征。
在解决曲线切线问题时，我们需要使用函数的导数。
函数的导数可以通过极限的方式定义，也可以通过函数图像上的切线斜率来表示。
设函数f(x)在点(x0, f(x0))处可导，那么曲线在该点的切线方程可以通过函数的导数来求解。
首先，我们需要求解函数f(x)的导数，记为f'(x)或者dy/dx。
导数表示了函数在不同x值上的变化率。
导数的计算方法因函数而异，下面以几个例子说明：1. 对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数f'(x) = 0。
因为常数函数在任意点上的斜率都为0。
2. 对于一次函数f(x) = ax + b，其中a和b为常数，其导数f'(x) = a。
一次函数的导数恒为斜率a。
3. 对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，其导数f'(x) = 2ax + b。
二次函数的导数是一次函数。
4. 对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
正弦函数的导数是余弦函数。
有了函数的导数，我们就可以求解曲线在特定点上的切线方程。
设曲线上一点为(x0, f(x0))，切线的斜率则为导数f'(x0)。
由于切线过点(x0, f(x0))，我们可以使用点斜式或者一般式来求解切线方程。
1. 点斜式：设切线方程为y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，其中f'(x0)为导数在点(x0, f(x0))处的值。
2. 一般式：设切线方程为y = mx + c，其中m为切线的斜率，c为切线和y轴的交点。
通过上述方法，我们可以使用函数的导数求解曲线在某点上的切线方程。
下面通过一个具体的例子来说明：例：求解曲线y = x^2在点(2, 4)处的切线方程。
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案一、教学目标1. 理解导数的几何意义，掌握导数表示曲线在某一点的切线斜率的方法。
2. 学会利用导数求出曲线在某一点的切线方程。
3. 能够运用切线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法。
2. 教学难点：（1）导数表示曲线在某一点的切线斜率；（2）求解切线方程过程中的计算问题。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用讲练结合的方法，让学生在实践中掌握导数与切线方程的关系；（2）通过例题分析，引导学生运用切线方程解决实际问题。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示曲线的图形，增强学生直观感受；（2）借助数学软件，进行实时演示，提高教学效果。
四、教学内容与课时安排1. 教学内容：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法；（3）运用切线方程解决实际问题。
2. 课时安排：（1）第一课时：导数的几何意义，切线斜率的求法；（2）第二课时：利用导数求切线方程的方法；（3）第三课时：运用切线方程解决实际问题。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习导数的定义，引导学生回忆导数的意义；（2）提问：曲线在某一点的切线斜率如何表示？2. 知识讲解：（1）讲解导数的几何意义，引导学生理解导数与切线斜率的关系；（2）介绍利用导数求切线方程的方法。
3. 例题讲解：（1）展示例题，引导学生分析问题，明确解题思路；（2）讲解解题过程，强调关键步骤；（3）总结解题方法，提醒注意事项。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结切线方程的求法；（2）强调导数在实际问题中的应用价值。
6. 课后作业：（1）巩固所学知识，提高解题能力；（2）培养学生的实际应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生对导数几何意义和切线方程求法的理解程度，以及他们在例题讲解和课堂练习中的表现。
利用导数解决曲线切线问题的技巧
利用导数解决曲线切线问题的技巧导数是微积分中一个重要的概念，它可以帮助我们解决曲线切线问题。
在本文中，我们将介绍一些利用导数解决曲线切线问题的技巧。
第一部分：导数的定义与意义在引入导数之前，我们先来了解一下导数的定义与意义。
导数可以理解为函数在某一点处的变化率，表示函数在该点附近的斜率。
导数的计算公式为：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h第二部分：计算导数的方法有很多种方法可以计算导数，下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 使用导数定义计算根据导数的定义，我们可以通过求函数在某一点的斜率来计算导数。
这种方法通常适用于简单的多项式函数或基本三角函数。
2. 使用求导法则求导法则是一些用来计算导数的常用规则。
这些规则包括求和法则、常数法则、乘积法则、商法则以及复合函数法则等。
通过应用这些法则，我们可以更快速地计算导数。
3. 使用隐函数求导对于一些复杂的函数表达式，我们可能无法直接通过求导法则计算导数。
这时，我们可以使用隐函数求导的方法。
通过对方程两边同时求导，然后解方程组，我们可以求得导函数。
第三部分：曲线切线问题与导数曲线切线问题是指在给定函数图像上找到曲线某点处的切线方程。
利用导数可以帮助我们解决曲线切线问题。
1. 切线的斜率首先，根据导数的定义，我们知道函数在某点的导数就是切线的斜率。
因此，要求解曲线切线的斜率，我们只需要计算函数在该点处的导数。
2. 切线的方程根据点斜式的定义，切线的方程可以表示为：y - y1 = f'(x1)(x - x1)其中，(x1, y1)是切线上的一点，f'(x1)是函数在该点处的导数。
通过求得导数和已知点坐标，我们可以得到切线的方程。
第四部分：实例分析为了更好地理解利用导数解决曲线切线问题的技巧，我们来看一个具体的实例。
例：求函数f(x) = x^2在点(1, 1)处的切线方程。
首先，我们需要计算函数在x = 1处的导数。
利用导数的几何意义求切线方程
利用导数的几何意义求切线方程切线是曲线上的一条直线，与曲线相切于其中一点，并且在该点处与曲线有相同的斜率。
利用导数的几何意义来求切线方程是一种常用的方法。
为了更好地理解这个过程，我将按照以下步骤进行解释。
首先，让我们从一元函数的导数开始，然后再扩展到二元函数的情况。
对于一元函数f(x)，假设我们有一个点P(x,f(x))。
我们希望找到曲线f(x)与点P处的切线方程。
步骤1：计算导数首先，我们需要计算函数f(x)的导数。
函数的导数描述了函数在其中一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线的斜率。
因此，导数f'(x)可以告诉我们曲线在点P处的斜率。
步骤2：确定切线的斜率由于切线与曲线在点P处有相同的斜率，我们可以使用f(x)的导数f'(x)来找到切线的斜率。
步骤3：利用点斜式写出切线方程我们已经得到了切线的斜率，接下来我们需要确定切线通过点P(x,f(x))。
我们可以使用点斜式，也就是y-y1=m(x-x1)，其中m是切线的斜率，(x1,y1)是切线通过的点。
将点P代入点斜式方程，我们可以得到切线方程的一般形式。
步骤4：化简切线方程最后，我们需要对切线方程进行化简，以得到更简洁的形式。
根据具体的函数形式和需求，我们可以将切线方程进行进一步的简化。
以上是一元函数的情况，下面我们将拓展到二元函数的情况。
对于二元函数z=f(x,y)，我们希望找到曲面与其中一点P(x,y,f(x,y))处的切平面方程。
步骤1：计算偏导数首先，我们需要计算函数f(x,y)在其中一点P的偏导数。
偏导数告诉我们函数值变化的快慢和方向。
在其中一点P处，偏导数可以提供切平面的法向量方向。
步骤2：确定切平面的法向量由于切平面的法向量与曲面在点P处的法向量相同，我们可以使用偏导数来确定切平面的法向量。
步骤3：利用点法式写出切平面方程我们已经得到了切平面的法向量，接下来我们需要确定切平面通过点P(x,y,f(x,y))。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
高考数学复习，导数，求曲线切线方程的2种题型的通用方法
高考数学复习，导数，求曲线切线方程的2种题型的通用方法高考数学复习，导数，求曲线切线方程的2种题型的通用方法。
考察知识：1、导数的几何意义；2、借助导数的知识求曲线的切线方程的方法。
题型一：求曲线在某点处的切线方程。
通用解法为：先求切点，然后根据导数的几何意义“切线的斜率等于曲线在切点处的导数”求出切线的斜率，最后写出切线方程。
详细见第1题。
题型二：求曲线过某点处的切线方程。
这种题型一般要分两种情况进行讨论，具体见第2题。
“曲线在点x=2处”意思是切点的横坐标是2，根据切点在曲线上，把x=2代入曲线方程，可以求出切点的纵坐标；然后根据导数的几何意义求出切线的斜率k；最后使用点斜式写出切线的方程。
第2题，求曲线过某点的切线方程，一定要先判断这个点是否在曲线上，如果在曲线上，按照第1题的方法即可求出切线方程，如果不在曲线上，那这个点肯定不是切点，求切线方程明显就不能使用第1题的方法。
切线过点(2,4)，不能说明点(2,4)就是切点，所以要验证一下这个点有没有可能是切点，方法是把这个点的横纵坐标代入曲线表达式，容易得出其适合这个表达式，即这个点在曲线上，所以这个点有可能是切点，所以要分两种情况来讨论：情况一：点(2,4)是切点；则只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率就可以了，具体过程如下。
情况二：点(2,4)不是切点；下面这个过程就是这种情况求切线方程的通用求法，一定要熟练掌握。
解方程②，求出x0的值，就可以求出切点坐标以及切线的斜率，使用点斜式即可写出切线方程。
这个方程是一个高次方程，解高次方程一个重要的方法是分解因式，过程如下：现在又求出了一条切线方程，所以满足题意的切线方程共有两个。
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加油！。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．【思路分析】 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．【解析】 ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 本题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．【答案】 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．【解析】 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，故选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.故选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．下列说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
用导数求切线方程
用导数求切线方程
“用导数求切线方程”是指利用导数的性质，通过求函数某一点处的导数，来求得该点处函数的切线方程。
首先，我们回顾下梯形法则：函数f(x)在某一点处的导数f'(x)就是函数在该点上的切线斜率。
可以看出，如果能够求出函数某一点处的导数，就已经可以知道这个点处函数的切线。
其次，我们来看看如何用导数求切线方程。
假设函数f(x)在点A(x0,y0)处有定义，要求点A处函数的切线方程，只需要依据梯形法则，先计算出函数f(x)在点A处的导数f'(x0)，然后根据梯形法则，可以知道点A处函数的切线斜率为f'(x0)。
接下来，根据直线的斜截式：y=kx+b，我们可以知道点A处函数的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中，
k=f'(x0)，b=y0-f'(x0)x0。
最后，由于我们已经知道点A处函数的切线斜率
f'(x0)以及点A的横纵坐标，所以我们就可以得到点A处函数的切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)。
综上所述，用导数求切线方程的步骤是：首先，使用梯形法则求出函数在某一点处的导数；然后，根据直线的斜截式，得到函数在该点处的切线方程；最后，根据函数
在该点处的导数及横纵坐标，求得该点处函数的切线方程。
导数法求切线方程的三种题型
题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。
用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率确实是函数y=f(x)在切点处的导数。
下面举出长建的题型及解法：题型一：已知切点，求曲线的切线方程。
例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。
解：先求y’=f’(x)=6x2f’(1)=6×1=6=k当x=1时y=2∴切点为(1,2)y-2=6(x-1)y=6x-4题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。
例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。
解：带入可知点A不在曲线上。
设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，知足y0=x03-3x0①f’(x)=3x2-3f’(x0)=3x02-3=k ②又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③①带入③，且②=③，取得3x02-3=(x03-3x0)/x0解得x0=-2 ∴y0=-2∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9∴y+2=9(x+2)Y=9x+16题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线”例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。
(2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。
解：(1)做法仿照例1可得切线方程为x-y-2=0(2)设切点为(x0,y0),那么有y0=x03-3x0f’(x0)=3x02-23x02-2=k=(y0+1)/(X0-1)3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1)解得x0=1或x0=-1/2当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1)现在切线方程为x-y-2=0当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点确实是切点，而“过点A”包括了A点是切点和A点不是切点两种情形。
以上确实是要紧的三种题型，咱们发觉求切线方程最关键的确实是求出切点，利用切线的斜率等于切点处函数的导数，但假设函数在(x0,y0)处的导数不存在时，该切线方程为y= y0。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
用导数方法求曲线切线
用导数方法求曲线切线
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。
是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。
那么用导数方法如何去求曲线切线方程呢?
先求出函数在（x0,y0）点的导数值导数值就是函数在X0点的切线的斜率值.之后代入该点坐标（x0,y0）,用点斜式就可以求得切线方程。
当导数值为0,改点的切线就是y=y0；当导数不存在,切线就是x=x0；当在该点不可导,则不存在切线。
例1.已知函数，其中.
若，求曲线在点处的切线方程；
【详解】当时，；
所以曲线在点处的切线方程为，
即
例2.已知函数(为常数)在点处的切线斜率为－4.
求实数a的值以及此切线方程.。
6样运用极限和导数求解曲线的切线方程
浅谈怎样运用极限和导数求解曲线的切线方程陈艳艳摘要：本文在中学生所掌握的微积分的初步知识的基础上，以割线的极限位置来定义切线，并给出了相应的求解切线方程的方法，扩充了传统初等数学的学习方法，对切线这一解析几何中的重要内容作了较系统的分析。
关键词：割线的极限位置斜率函数导数切线方程极限和导数，这两个数学分析中的重要概念，不仅在高等数学中发挥着重要的作用，更成为高中数学学习的重要工具，对高中学生已掌握的微积分初步知识上，极限和导数把传统初等数学学习方法加以扩充，使之有着比传统解法更巧妙的方法，甚至是传统解法不能解决的方法。
本文所讨论的就是极限和导数在平面解析几何中的一个运用——如何运用极限和导数求解曲线C的切线方程。
一、切线的定义：首先，我们给出切线的定义：定义1：通过曲线C上两点M、N的割线，当点M不动，点N沿着曲线C运动并趋近于点M时，割线MN的极限位置的直线MT叫做曲线C的在点M的切线。
同中学课本中所定义的切线比较发现，定义1强调了切线是割线的极限位置，这就是从最本质的地方认识了切线。
中学课本中的定义仅仅局限于圆、椭圆等二次曲线，而定义1是针对所有曲线定义的，中学课本中的定义只是定义1的一个特殊情况。
二、 斜率函数的定义及其求解方法：设曲线C 的方程为y=f （x ），则曲线上一点（x 0，y 0）的切线方程就是y －y 0=k （x －x 0），其中k 是切线的斜率，是待定的。
怎样来求切线的斜率呢？据切线的定义，设曲线上一点M 的坐标为（x 0，y 0），在点M 的附近取曲线上另一点N 。
设点N 横坐标为x ，纵坐标为y=f （x ），于是割线MN 的斜率是：0)()(x x x f x f x y k --=∆∆= 当点N （x ，y ）沿曲线无限接近于点M （x 0，y 0），即x →x 0，y →y 0时，我们就有k k →。
表示为：0)()(lim lim lim 0x x x f x f x y k k o x x x M N --=∆∆==→→∆→，这样过曲线y=f （x ）上点M 的切线的斜率就求得了。
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导数法巧解曲线的切线方程
导数'0()f x 的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处切线的斜率，于是求曲线()y f x =的切线方程是导数的重要应用之一.用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率k ，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：'000()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,)P x y 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
一、已知切点，求曲线的切线方程
典例1、(2011年重庆文3)曲线32
3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为（ ）
A.31y x =-
B.35y x =-+
C.35y x =+
D.2y x =
解：由题知，点(1,2)在曲线323y x x =-+上且为切点，所以'2'136,|3x y x x k y ==-+⇒==， 所以切线方程为23(1)y x -=-即31y x =-，选A.
点评：此类题较为简单，只须求出曲线的导数'()f x ，并代入点斜式方程即可．
二、已知斜率，求曲线的切线方程
典例2、与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）
A.230x y -+=
B.230x y --=
C.210x y -+=
D.210x y --= 解：设00(,)P x y 为切点，则切点的斜率为0'0|22x x y x ===．01x ∴=．
由此得到切点1,1（）
．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 点评：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代
入2
y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ． 三、已知曲线的切线方程求切点
典例3、（2010年全国卷2文数）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）
A.1,1a b ==
B.1,1a b =-=
C.1,1a b ==-
D.1,1a b =-=-
解:∵ '02|x y x a a ==+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =
点评：本题考查了导数的几何意思，即求曲线上一点处的切线方程.
四、已知过曲线上一点，求切线方程
典例4、求过曲线3
2y x x =-上的点(1,1)P -的切线方程．
解：设00(,)M x y 为切点，则切线的斜率为00'2|32x x y x ==-；∴切线方程为 2000(32)()y y x x x -=--；320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(1,1)P -，把它
代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--；解得01x =，或012
x =-． 故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或131(1)(2)()842
y x --+=-+，即 20x y --=，或5410x y +-=．
点评：可以发现直线5410x y +-=并不以(1,1)P -为切点，实际上是经过了点(1,1)P -且以17(,)28
-为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点.故应先设切点，再求切点，解决此类问题可用待定切点法．注意区分“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”.曲线在点(,)P x y 处的切线是指切点在(,)P x y 处的切线；曲线过点(,)P x y 的切线还可能存在切点不是(,)P x y 的另一条切线.
五、已知过曲线外一点，求切线方程
典例5、已知曲线33y x x =-，过点(0,16)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．
解：由题知，点(0,16)A 不在曲线3
3y x x =-上.
设切点为00(,)M x y ，则点M 的坐标满足30003y x x =-；因'200()3(1)f x x =-，故切线的方程
为20003(1)()y y x x x -=--；点(0,16)A 在切线上，则有22000016(3)3(1)(0)x x x x --=--；化简得308x =-，解得02x =-．
所以，切点为(2,2)M --，切线方程为9160x y -+=．
点评：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
六、导数不存在点处的曲线的切线方程
典例6、已知曲线()f x =(0,0)P ,求在点P 处的切线方程.
错解：由题知，点(0,0)P 在曲线()f x =上，''() (0)
f x f =∴不存在，所以函数
()f x =0x =处没有导数，故在点(0,0)P 处的切线不存在.
正解：画出函数()f x =0x ∆→时，切线无限逼近于y 轴，不存在斜率，故在点(0,0)P 处的切线方程为0x =.
点评：此题容易错误认为导数在某点存在导数值是曲线在该点存在切线的充要条件，其实是充分不必要条件.我们在求曲线上在某点处的切线方程时，如果该点的导数不存在，就应该由切线的定义来求切线方程.
七、已知切线斜率范围求参数取值
典例7、若曲线32
22C y x ax ax =-+：上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a 的值为 ．
解：由题知，'2342y x ax a =-+，因为曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，所有其斜率为正数，故'23420y x ax a =-+>对任意x R ∈恒成立，2(4)4320a a ∴∆=--⨯⨯<，302
a ∴<<，,1a Z a ∈∴=
点评：此题考查了导数的几何意义以及恒成立问题，由切线斜率求参数取值范围.
典例8、（2009年江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594
y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25-64
D ．74-或7 解：设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-
即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032
x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+
-相切可得2564
a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 点评：此题考查导数的几何意义，同时注意点(1,0)不在曲线上，需另外求切点的坐标.。