高二数学下学期入学考试试题理

【2019最新】精选高二数学下学期入学考试试题理
1．设集合，则（ ）{}{}240,20A x x B x x =->=+<A B =
A ．
B ．
C ．或
D ．{}2x x >{}2x x <-{2x x <-}2x >12x x ⎧⎫
<⎨⎬⎩
⎭
【答案】B
2．已知命题p: ；命题q ：若a ＞b ，则a2>b2，下列命题为真命题的是()0,ln 10x x ∀>+>
A. B. C. D. p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧p q ⌝⌝∧
【解析】由时有意义，知p 是真命题，由可知q 是假命题，即均是真命题，故选
B.0x >()11,ln 1x x +>+()()2
2
2221,21;12,12>>->--<-,p q ⌝
3．若，，则的值为（ ）π
1cos()43α+=(0,)2
απ∈sin α
A ．
B ．
C ．
D 718
【答案】A
4．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．2014n ≤2015n ≤2016n ≤2018n ≤
【答案】A
【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，所以
判
断
条
件
为
？
时
，
符
合
题
意．0,1s n ==2s n ==0,3s n ==0,4s n ==5s n ==0,6s n ==s 2014n ≤s =5．函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）()20164cos 2016e x y x =-e
【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B 、D ，又，故选A ．()04130f =-=> 6.若直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x2+y2+2x ﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．+
D ．
+2
试题分析：圆即（x+1）2+（y ﹣2）2=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故 =+++1，利用基本
不等式求得式子的最小值．
解：圆x2+y2+2x ﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y ﹣2）2=4，表示以M （﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，
由题意可得 圆心在直线ax ﹣by+2=0（a ＞0，b ＞0）上，故﹣1a ﹣2b+2=0， 即 a+2b=2
，∴=+=+++1≥+2=，
当且仅当 时，等号成立，故选 C ．
7．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线
的准线方程为（ ）22
12
10x y x ax y +⎧⎪⎨⎪-+⎩
≥≤≤≥a 2y ax = A ． B ． C ． D ．124y =-
124x =-32x =-32
y =- 【答案】D
【解析】作可行域：
由题知：，，，，，，抛物线，即：，准线方程
为：．()2,21A a +()1,1B a +11,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
()
2,0D 1
2112112
a a s +++-=
⨯=16a ∴=2
6x y =26x y =32
y =-
8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为
（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
1
2
【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．设平面的法向量为，则，即：，，又为平面的法向量，设所求二面角为，则，
从
而．()000A ，，()002E ，，()024D ，，()200C ，，()022DE =--，，()202CE =-，，D E C ()
,,n x y z =00n D E
n C E
⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩22022
0y z x z --=⎧⎨
-+=⎩()1,1,1n =-()002AE =，，ABC
θcos 2
3n AE n AE θ⋅===⋅t a n 2
θ=
9．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上
，
使
得
成
立
的点有（
）个
A
B E F AD B
C 2
D E
A E =2C F
B F
=(
)7,16λ∈P E P
λ⋅=P
A ．2
B ．4
C ．6
D ．0
【答案】B
【解
析】若在上，；
P AB (
)()
[]
5,4PE PF PA AE PB BF PA PB AE BF ⋅=++=⋅+⋅∈-
若在上，；P CD ()()[]7,16PE PF PD DE PC CF PD PC DE CF ⋅=++=⋅+⋅∈
若在上，；P AE ()[]
0,4PE PF PE PA AB BF PE PA PE BF ⋅=⋅++
=⋅+⋅∈ 同理，在上时也有；P BF []
0,4PE PF ⋅∈
若在上，；P DE ()[]
0,16PE PF PE PD DC CF PE PD PE CF ⋅=⋅++=⋅+⋅∈
同理，在上时也有；P CF []
0,16PE PF ⋅∈
所以，综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立．()7,16λ∈P PE PF λ
⋅=
10．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交
点
分
别
为
，，
则的最小值为（ ）
221x y -=1 A 2 A :l y kx m =+221x y +=()111,
P x y ()222
,P x y 21
x x -
A ．
B ．2
C ．4
D ． 【答案】A 与圆相切，，．l 1∴=
22
1m k ∴=+
由，得，221
y kx m
x y =+⎧⎨-=⎩()()2221210
k x mkx m ---+=
()()()22222222
1221044114180101k m k k m m k m x x k ⎧
⎪-≠⎪⎪
∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩
，
21k ∴<，，故的取值范围为．
11k ∴-
<<k ()
1,1-
由于，，122
21mk
x x k +=
-212
211x x
k
k ∴-==
=--
201k <≤，当时，取最小值．∴20k =21x x -
11已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（
）(2,0)A -(2,0)B
(,)P x y :
3l y x =+C ,A
B P C
12．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则
下
列
结
论
成
立
的
是
（
）
A. B.
C. D.
【解析】
当 时 与时，矛盾，因此
当时，，
设 ，则,因此为单调减函数，从而 ,,,,,选
D.
13．设是数列的前项和，，且，则数列的通项公式为
________．n S {}n a n 0n a >()1
36
n n n S a a =+{}
n a
【答案】3n a n
=
【解析】当时，，解得；1n =()1111136
S a a a ==+13
a =
当时，，2n ≥()()1111336n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+⎡⎤⎣
⎦ 整理得．()()1130
n n n n a a a a --+--=
因为，所以，即，0n a >130n n a a ---=13
n n a a --=
所以是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，即．{}n a ()3313n a n n =+-=3n a n =
14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高（厘米）和体重（公斤）数据如下表；
x y
根据上表可得回归直线方程为，则表格中空白处的值为________．ˆ0.9296.8y
x =- 【答案】60
【解析】根据回归直线经过样本中心可得，表格中空白处的值为60．(),x y
15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，则的最小值为________．A 214
y x =F P PF m PA =m
【答案】
2
【解析】如图所示，，，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，，
()0,1A -()0,1F P H P sin PF PH
m PAH PA PA
∴=
==∠ ∴问题等价于求的最小值，PAH ∠
而，当且仅当时等号成立，2
11
1114tan 14x y PAH x x x x ++∠===+=≥11
24x x x =⇒=
所以，即：
．sin 2
m PAH =∠
min 2m =
16
过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。

注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。

17．已知函数.(
)21
cos 22
f x x x =
-- (1)求的单调递增区间；()f x
(2)设的内角的对边分别为，且，若，求 的值．ABC ∆,,A B C ,,a b
c ()0c f C =sin 2sin B A =a b 、 试题解析：
(1) .()2112122212226cos x f x x cos x x sin x π+⎛⎫=
--=--=-- ⎪⎝
⎭ 由，得222,2
6
2
k x k k Z π
ππ
ππ-+≤-≤
+∈(),6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
∴函数的单调递增区间为.()f x (),6
3
k k k Z ππ
ππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
(2)由，得， ，()0f C =216sin C π⎛⎫-= ⎪
⎝
⎭
110,2666
C C πππ
π<<∴-<-<
2,6
2
3
C C π
π
π
-
=
=
.
又,由正弦定理得①;2sinB sinA
=2b
a
= 由余弦定理得，即，②由①②解得. 22223
c a b abcos
π
=+-223a b ab +-=1,2a b ==
18．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用表示．（把频率当作概率）．a
（1）假设，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？5a =
（2）假设数字的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．a 试题解析：
（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为
()1
6869717274788583758x =
+++++++=甲， ()1
6570707375808285758x =+++++++=乙，
∴
()()()()()()()()22222222
216875697571757275747578758575837535.58s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-=⎣
⎦甲
∵， ，x x =甲乙22s s <甲乙
∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（2）由，得，∴，x x <甲乙()16027048028912483758
a ⨯+⨯+⨯++++++++<5a < 又为整数，∴，a 0,1,2,3,4a =
又的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为．a 12
19
．正项数列满足， ，数列为等差数
列， ， .{}n a ()()2
1121310n n n n n a a a a a ++-+-+=11a ={}n b 321b a +=313a b =
（1）求证： 是等比数列，并求的通项公式；12n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩
⎭
{}n b
（2）令，求数列的前项和n n n c a b =⋅{}n c n n T 试题解析：
（1）由题可得，()()11310n n n n a a a a +++--=
∵，∴，∴，0n a >131n n a a +=+11
1
322
n n a a +⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
又，∴ 数列是首项为，公比为3的等比数列． 113
022
a +=≠12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭32
∴，∴ ．∴ ，11333222n n n a -+=⨯=31
2n n a -=
234,13a a == 由题意得，解得∴．11214
{ 1213b d b d ++=+=11,
{
1.b d ==()11n
b n n =+-= （2）由（1）得， ，∴，312n n a -=n b n =()()11
31322
n n n c n n n =-⋅=⋅- ∴(
)
()21
1
13233122
2
n n T n n =
⨯+⨯++⨯-
+++
(
)
()211
132332
4n n n n +=
⨯+⨯++⨯-
，
令 ①，213233n n S n =⨯+⨯+
+⨯
则②，231313233n n S n +=⨯+⨯++⨯
①②得-
2
1
23333
n n n S n +-=++
+-⨯113332n n n ++-=-⨯ ．113()322
n n +=-⋅-
所以．∴1133244n n n S +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭()()1111133244884n n n
n n n n n T S +++⎛⎫=-=-⋅+- ⎪⎝⎭
20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PPD//平面MAC ，PA=PD=，AB=4
（I ）求证：M 为PB 的中点； （II ）求二面角B-PD-A 的大小；
（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 试题解析：解：（I ）设交点为，连接.,AC BD E ME
因为平面，平面平面，所以.PD MAC MAC ⋂PBD ME =PD ME 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.ABCD E BD M PB （II ）取的中点，连接， .AD O OP OE 因为，所以.PA PD =OP AD ⊥
又因为平面平面，且平面，所以平面.PAD ⊥ABCD OP ⊂PAD OP ⊥ABCD 因为平面，所以.OE ⊂ABCD OP OE ⊥ 因为是正方形，所以.ABCD OE AD ⊥ 如图建立空间直角坐标系，则， ， ，
O xyz
-(P ()2,0,0D ()2,4,0B -
()4,4,0BD =-，
.(2,0,PD =
设平面的法向量为，则
，
即.BDP (),,n x y z =0{
n BD n PD ⋅=⋅
=440{
20
x y x -==
令，则， .于是.1x =1y
=z
=(n = 平面的法向量为，所以.PAD ()0,1,0p =1
cos ,2
n p n p n p ⋅=
= 由题知二面角为锐角，所以它的大小为.B PD A
--3
π （III ）由题意知， ，
.1,M ⎛- ⎝⎭()2,4,0
D 3,2,MC ⎛= ⎝⎭
设直线与平面所成角为，则.MC BDP α2sin cos ,9
n MC n MC n
MC
α⋅===
所以直线与平面所成角的正弦值为.MC BDP
9
21．已知函数为奇函数, 为常数. ()12
1log 1ax
f x x -=-a （1）确定的值； a
（2）求证： 是上的增函数； ()f x ()1+∞，
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范
围.[]34，x ()12x
f x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
m
试题解析：
（1）∵函数是奇函数， ，()f x ()()f x f x ∴-=- 即 ∴，整理得， ∴，解得，1
12
2
11log log 11ax ax x x +-=----11
11ax x x ax +-=---22211x a x -=-21a =1a =± 当时， ，不合题意舍去，1a =111
ax
x -=-- ∴。

1a =-
（2）由（1）可得，设，()1
2
1log 1x
f x x +=-()1212,1,x x x x ∈+∞<，且
21
211111
x x x x ++-=--则，
∵,∴∴,∴,211x x >>()12210,(1)10,x x x x -<-->()
()()
122120
11x x x x -<--21
211111
x x x x ++<
-- ∴，即.∴是上的增函数. 21
1
121
2211log log 11x x x x ++>--()()21f x f x >()f x ()1+∞， （3）依题意得在上恒成立，1211log 12x
x m x +⎛⎫⎛⎫
<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭[]34， 设， ，()1211log 12x
x u x x +⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭[]x 34∈， 由（2）知函数在上单调递增，()1211log 12x
x u x x +⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭[]34， ∴当，所以. ()()()min 9
x 338u x u x u ===-时，有最小值，且98
m <-
故实数的取值范围为.m 9,8∞⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
22．如图, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为,离心率为;双曲线 的左右焦点分别为
,
离
心
率
为
,
已
知
,
且.O 1:C 22221(0)x y a b a b +=>>12,F F 1e 2:C 22221x y a b
-=34,F F 2
e 12e e
=241F F =
(1)求的方程;12,C C
(2)过点作的不垂直于轴的弦, 为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.1F 1C y AB M AB OM 2C ,P Q APBQ
(1)由题可得,且,因为,且,所以且 且,所以椭圆方程为,双曲线的方
程
为
.
12e e ==
12F F =
122
e e
=
24F F =
=1
a ⇒
=1,b a ==1
C 2
212
x y +=2C 2
212
x y -= (2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得 ,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,()21,0F -AB y AB 1x ny =-()222210n y ny +--=222A B n y y n +=
+212A B y y n -=+22
m
n
y n =+()
,M M M x y AB
222
2122
M n x n n -=-=++PQ
2M M y n
y x y x
x =⇒=-PQ
2
2
220
2n x x ⎛⎫
---= ⎪⎝⎭
2
242x n ⇒=-2222n y n =
-220n n ->⇒<
<PQ ==A PQ d B PQ
d 2d =
,A B PQ ()()220B B A A nx y nx y ++<
则 ,又
因为在直
线上
,所
以
,2d =
=
,A B
1x ny =
-2
22A B
n y y d +-=
=
=
则四边形面积,因为,所以
当时,四边形面积的最小值为.
APBQ
=
=2022n <-≤20n =APBQ 2。