高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2一

第八章 8.2.1、8.2.2 第1课时
A 级——基础过关练
1．(多选)随机误差的主要来源有( ) A ．线性回归模型与真实情况引起的误差 B ．省略了一些因素的影响产生的误差 C ．观测产生的误差 D ．计算产生的误差 【答案】ABCD
2．已知x 与y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3 y
m 3
7
已求得关于y 与x 的经验回归方程为y x ＋0.7，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85
【答案】D 【解析】x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝m ＋3＋5.5＋74
，将其代入y ^
x ＋0.7，可得m ＝0.5.
3．设若一条经验回归直线的方程为y ^
x ，则变量x 增加1个单位时( ) A ．y
B ．y 平均增加2个单位
C ．y
D ．y 平均减少2个单位
【答案】C 【解析】∵回归方程为y ^1x ①，∴y ^2＝2－1.5(x ＋1) ②，∴②－①得y ^2－y ^
1
＝－1.5，即y 平均减少1.5个单位．
4．根据如下样本数据得到的经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，则( )
x 3 4 5 6 7 8 y
A ．a ^＞0，b ^
＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ^＜0，b ^＞0
D ．a ^＜0，b ^＜0
【答案】B 【解析】画出散点图，知a ^＞0，b ^
＜0.
5．已知x 与y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3 y
1
3
5
7
若y 与x 线性相关，则y 与x 的经验回归直线y ＝b x ＋a 必过点( ) A ．(2,2) B ．(1.5,0) C ．(1,2)
D ．(1.5,4)
【答案】D 【解析】∵x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋7
4＝4，∴经验回归直线
必过点(1.5,4)．
6．在一次试验中测得(x ，y )的四组数据如下：
x 16 17 18 19 y
50
34
41
31
根据上表可得经验回归方程y ＝－5x ＋a ，据此模型预报当x ＝20时，y 的值为________． 【答案】26.5 【解析】x ＝
16＋17＋18＋19
4
＝17.5，
y ＝
50＋34＋41＋31
4
＝39，
∴经验回归直线过点(17.5,39)， ∴39＝－5×17.5＋a ^，∴a ^
＝126.5， ∴当x ＝20时，y ＝－5×20＋126.5＝26.5.
7．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x /千件 2 3 5 6 成本y /万元
7
8
9
12
由表中数据得到的经验回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．
【答案】14.5 【解析】由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入经验回归方程得a ^
＝4.6，∴当x ＝9时，y ^
×9＋4.6＝14.5.
8．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^
x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩
大约相差________分．
【答案】20 【解析】令两人的总成绩分别为x 1，x 2，则对应的数学成绩估计为y ^1x 1，y ^
2x 2，所以|y ^1－y ^
2|＝|0.4(x 1－x 2×50＝20.
9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192,3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y 关于吨位x 的经验回归方程为y ^
＝9.5＋0.006 2x .
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数； (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2，则y ^1－y ^
2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2)＝0.006 2×1 000≈6，即船员平均相差6人．
(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈11，当x ＝3 246时，y ^
＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．
10．2021年元旦前夕，某市统计局统计了该市2020年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
(1)(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
B 级——能力提升练
11．已知x ，y 的取值如表所示：
如果y 与x 线性相关，且经验回归方程为y ^＝b ^x ＋2，则b ^
等于( )
A ．－12
B ．12
C ．－110
D ．110
【答案】A 【解析】∵x ＝2＋3＋43＝3，y ＝6＋4＋5
3＝5，∴回归直线过点(3,5)，
∴5＝3b ^＋132，∴b ^
＝－12
，故选A ．
12．某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：
根据上表可得经验回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
【答案】B 【解析】x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线
过点(x ，y ×3.5＋a ^，解得a ^y ^xx ＝6时，y ^
×6＋9.1＝65.5.
13．(多选)根据一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，求得经验回归方程为y
^
x ＋0.5，且x ＝3.这组样本有两个样本数据(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大，移除后重新求
得的经验回归直线斜率为1.2，则( )
A ．变量x 与y 具有正相关关系
B ．移除两个误差较大的样本点后重新求得的方程为yx
C ．移除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快
D ．移除两个误差较大的样本点后，y 的值增加速度变慢
【答案】AD 【解析】因为回归直线方程为yx ＋0.5,1.5>0，所以变量x 与y 具有正相关关系，A 正确；当x ＝3时，y ××3＋a ^，解得a ^
＝1.4，故移除后的回归方程为yx ＋1.4，B 错误；因为1.5>1.2，所以移除后y 的估计值增加速度变慢，C 错误，D 正确．
14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得经验回归方程为y ＝－4x ＋a ，则a ＝________. 【答案】106 【解析】x ＝
4＋5＋6＋7＋8＋96＝132，y ＝92＋82＋80＋80＋78＋68
6
＝
80，由回归方程过样本中心点(x ，y )，得80＝－4×132＋a ^.即a ^＝80＋4×13
2
＝106.
15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：
小李这56号打6 h 篮球的投篮命中率为________．
【答案】0.5 0.53 【解析】y ＝,5)＝,5)＝0.5，x ＝
1＋2＋3＋4＋5
5
＝3.由公式，
得b ^＝0.01，从而a ^＝y －b ^x ×y ^x .所以当x ＝6时，y ^
×6＝0.53.
C 级——探究创新练
16．(多选)某公司过去五个月的广告费支出x (单元：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：
方程为y ^
x ＋17.5，则下列说法正确的是( )
A ．销售额y 与广告费支出x 正相关
B ．丢失的数据(表中▲处)为30
D ．若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元
【答案】AB 【解析】由回归直线方程为y ^x ＋17.5，可知b ^
＝6.5，则销售额y 与广告费支出x 正相关，所以A 正确；设丢失的数据为m ，由表中的数据可得x ＝5，y ＝220＋m
5
，
把点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，
220＋m 5代入回归方程，可得220＋m 5×5＋17.5，解得m ＝30，所以B 正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C 不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y ×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D 不正确．。