高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战17899

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、在复平面内，复数
2
1i
-对应的点到直线1y x =+的距离是（ ）
A ．
2
B C ．2D ．【答案】A 【解析】 试题分析：
22(1)11(1)(1)
i i i i i +==+--+,所以该复数对应的点为(1,1)，该点到直线1y x =+的距离为
d =
=
，故选A. 考点：1.复数的运算与几何意义；2.点到直线的距离公式. 2、不等式2
20x x -++<的解集是（ ）
A ．{}22x x -<<
B ．{}22x x x <->或
C ．{}11x x -<<
D ．{}
11x x x <->或 【答案】B 【解析】
试题分析：当0x ≥时，不等式2
2
2
202020x x x x x x -++<⇔-++<⇔-->，此时不等式的解集为{}|2x x >；当0x <时，不等式2
2
2
202020x x x x x x -++<⇔--+<⇔+->，此时不等式的
解集为{}|2x x <-；综上所述，原不等式的解集为{}
22x x x <->或. 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.集合的运算.
3、函数()ln x
f x x e =+（e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是（ ）
A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()1,e
D ．(),e +∞ 【答案】A 【解析】
试题分析：当0x →时，()ln x
f x x e =+的值趋近于-∞，即此时()0f x <，又
11
11ln 10e e f e e e e ⎛⎫
=+=-+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故选A.
考点：零点存在定理. 4、给出下列命题：
①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则//l α；②若平面α⊥平面β，且l α
β=，则过α内一点P
与l 垂直的直线垂直于平面β；③()03,x ∃∈+∞，()02,x ∉+∞；④已知R a ∈，则“2a <”是“2
2a a <”的必要不充分条件． 其中正确命题的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】D
考点：1.直线与平面平行的判定；2.直线与平面垂直的判定；3.逻辑联结词与命题；4.充要条件. 5、一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）3
m A ．
72B ．92C ．73D ．94
【答案】A 【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体为如图所示几何体，其体积为3个正方体的体积加下个三棱柱的体积，所以17
322
V =+
=，故选A.
考点：三视图与多面体体积. 6、将函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
向右平移
23
π
个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =与2
x π
=-，3
x π
=
，x 轴围成的图形面
积为（ ） A ．
52B ．3
2
C ．312+
D ．312-
【答案】B 【解析】
试题分析：将函数()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
向右平移
23
π
个单位得到函数()2sin 2()sin(2)sin 233f x x x x πππ⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭的图象，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不
变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()sin y g x x ==-的图象，函数()y g x =与2
x π
=-
，3
x π=
，
x 轴围成的图形面积为()()0
03
3
2
2
13
sin sin cos cos 1()22
S x dx x dx x x
ππ
ππ
--
=---=-=--=⎰
⎰，故选B.
考点：1.图象平移、伸缩变换；2.积分的几何意义与运算；3.三角函数图象与性质.
7、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()01f =-，且对任意R x ∈，有()()2f x f x =--成立，则()2015f 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．0D ．2 【答案】C 【解析】
试题分析：由知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()2f x f x =--可知函数()f x 为周期为4的周期函数，令1x =得，()()()()1211,10f f f f =--=-∴=所以
()2015(45041)(1)(1)0f f f f =⨯-=-==，故选C.
考点：函数的周期性与对称性.
8、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是
（ ）
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】D 【解析】
试题分析：作出实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
的的可行域为如图所示三角形ABC ，由图可
知，当目标函数2t x y =-经过点A 时有最大值，此时直线22x y -=与直线20x -=的交点坐标为
(2,0)，代入直线20x y a +-=得2a =，故选D.
考点：线性规划.
9、已知P 为抛物线2
4y x =上一个动点，Q 为圆()2
2
41x y +-=上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与
点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A ．1B ．2C 1D 2 【答案】C 【解析】
试题分析：由抛物线定义可知，点P 到准线的距离可转化为到焦点F 的距离，即求PQ PF +的最小值
即可，又因为1PQ PC ≥-，所以11171PQ PF PC PF FC +≥-+≥-=-，故选C.
86
42
2468
5
5
10
15
20
25
C
F
P Q
考点：1.抛物线和定义与几何性质；2.数形结合与求最值.
10、已知直线10ax by +-=（a ，b 不全为0）与圆2
2
50x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A ．66条
B ．72条
C ．74条
D ．78条 【答案】B 【解析】
试题分析：圆2
2
50x y +=上横、纵坐标均为整数的点有(1,7),(1,7),(1,7),(1,7),----(5,5),(5,5),-
(5,5),-(5,5)--,(7,1)(7,1)(7,1)(7,1)----,共有12个点，过这12个点所确定的直线共有
2121211
662
C ⨯=
=条，又因为直线10ax by +-=不过原点，这66条直线中共有6条直线过坐标原点，所以过其中两点符合条件的直线共有60条，又过这些点与圆相切的直线也符合条件，这样的直线共有12条，所以符合条件的直线共有601272+=条，故选B. 考点：1.圆的方程与性质；2.两个基本原理；3.排列与组合. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11、已知过双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交
点，则双曲线的离心率的取值范围是． 【答案】2) 【解析】
试题分析：因为过双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两
个交点，所以双曲线的渐进线
b
y x
a
=的倾斜角小于45，所以1
b
a
<，即22222
,
b a c
a a
<-<，解得
12
e
<<.
考点：双曲线的标准方程与几何性质.
12、将
2
1
1
n
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
（n
+
∈N）的展开式中4
x-的系数记为
n
a，则
232015
111
a a a
++⋅⋅⋅+=．
【答案】
4028
2015
【解析】
试题分析：
2
1
1
n
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
（n
+
∈N）的展开式的通项为()2
12
1
1
r
r
r r r
r n n
T C C x
x
-
+
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
，由题意可知2
r=，此时，2
(1)
2
n n
n n
a C
-
==，所以
1211
2()
(1)1
n
a n n n n
==-
--
，所以
232015
1111111114028
2[(1)()()]2(1)
2232014201520152015
a a a
++⋅⋅⋅+=-+-+-=-=.
考点：1.二项式定理；2.裂项相消法求和.
13、已知D为三角形C
AB的边C
B的中点，点P满足C0
PA+BP+P=，D
λ
AP=P，则实数λ的值为．
【答案】2
-
考点：向量的几何运算.
14、已知数列{}n a中，11
a=，
1
n n
a a n
+
=+，利用如图所示的程序框图输出该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n<（填一个整数值）．
【答案】10 【解析】
试题分析：当9n =时，符合判断框中的条件，当10n =时，不符合判断框中的条件，故条件应为10n <. 考点：程序框图.
15、设函数()(
)()2,1
42,1x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．
【答案】
1
12
a ≤<或2a ≥. 【解析】
试题分析：当0a ≤时，()2x
f x a =-在区间(),1-∞上无零点，()()()42f x x a x a =--在区间
[1,)+∞上无零点，不符合题意；
当102
a <<
时，()2x
f x a =-在区间(),1-∞上有一个零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上无零点，不符合题意； 当
1
12
a ≤<时，()2x f x a =-在区间(),1-∞上有一个零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上有一个零点，符合题意；
当12a ≤<时，()2x
f x a =-在区间(),1-∞上有一个零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上
有两个零点，不符合题意；
当2a ≥时，()2x
f x a =-在区间(),1-∞上无零点，()()()42f x x a x a =--在区间[1,)+∞上有两个
零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为
1
12
a ≤<或2a ≥.
考点：1.函数与方程；2.分类讨论与数形结合.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）设函数()f x m n =⋅，其中向量()2cos ,1m x =，()
cos ,3sin 2n x x =．
()1求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间；
()2在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()2f A =，1b =，C ∆AB 的面积为
3
C ∆AB 外接圆半径R ． 【答案】(1) T π=，()f x 的单调递减区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
;(2) 1R =.
【解析】
试题分析：(1)用坐标表示向量条件，代入函数解析式()f x m n =⋅中，运用向量的坐标运算法则求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式()2sin(2)16
f x x π
=+
+，由三角函数的
性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；(2)将条件()2f A =代入函数解析式可求出角A ，由三角形
面积公式13sin 2S bc A ==求出边c ，再由余弦定理求出边a ，再由正弦定理2sin a
R A
=可求外接圆半径.
试题解析：(1)由题意得：2()2cos 32cos 23212sin(2)16
f x x x x x x π
==+=++．
所以，函数()f x 的最小正周期为T π=，由
3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈得 函数()f x 的单调递减区间是2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
……………………………6分
(2)
()2,2sin(2)126f A A π=∴++=，解得3
A π
=，
又
ABC ∆的面积为
312b =.得13sin 222
bc A c ==. 再由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，解得3a =222c a b ∴=+，即△ABC 为直角三角形．12
c
R ∴=
=…………………………l2分 考点：1.向量坐标运算；2.三角函数图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.
17、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，11a =，121n n a S +=+（n +∈N ）．
()1求{}n a 的通项公式；
()2等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +成等比数列，
求n T ．
【答案】（1）13n n a -=;（2）22n T n n =+. 【解析】
试题分析：(1)由121n n a S +=+得到121n n a S +=+，由1(2)n n n a S S n -=-≥，两式相减得到数列{}n a 的递推公式，由等比数列定义可得数列{}n a 是等比数列，由等比数列的通项公式求之即可；(2)用基本量法，即用公差d 和首项1b 表示已知条件列出方程()()()2
515953d d -+++=+，解出公差d 有两个值，再由等差数列{bn}的各项为正，舍去负值，再由等差数列的求和公式1(1)2
n n n d
S na -=+求之即可. 试题解析：（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a =，
故{an}是首项为1，公比为3得等比数列，所以，13n n a -=. ……………………6分 （2）设{bn}的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+
又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2
515953d d -+++=+ 解得10,221-==d d
∵等差数列{bn}的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222
n n n T n n n -=+⨯=+ (2)
考点：1.数列的递推公式；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的定义与性质.
18、（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱111C C AB -A B 的各条棱长均为a ，D 是侧棱1CC 的中点．
()1求证：平面1D AB ⊥平面11ABB A ； ()2求异面直线1AB 与C B 所成角的余弦值；
()3求平面1D AB 与平面C AB 所成二面角（锐角）的大小．
【答案】(l)见解析； (2)
24； (3) 4
π；
试题解析：(l)证明：取1AB 的中点E ，AB 的中点F ．连结DE EF CF 、、． 故11//
2EF BB ．又11
//.2
CD BB ∴四边形CDEF 为平行四边形，∴DE ∥CF ．又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱．△ABC 为正三角形．CF ⊂平面ABC ，1,CF BB CF AB ∴⊥⊥，而1AB
BB B =，
CF ∴⊥平面11ABB A ，又DE ∥CF ，DE ∴⊥平面11ABB A ．
又DE ⊂平面1AB D ．所以平面1AB D ⊥平面11ABB A ．…………………………4分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则
13(,,0),(0,,0),(0,,),(0,0,),(0,0,0)222a a a A C a D a B a B 设异面直线1AB 与BC 所成的角为θ，则11||2cos 4||||AB BC AB BC θ⋅==⋅ 故异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值为
24……………………8分 (3)由(2)得133(,,),(,,)2222
a a a a a AB a AD =--=- 设(1,,)n x y =为平面1AB D 的一个法向量．
由13(1,,)(,,)0,23(1,,)(,,)0,22a a n AB x y a a a a n AD x y ⎧⋅=⋅--=⎪⎪⎨⎪⋅=⋅-=⎪⎩
得，3,323,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即323(1,,)33
n = 显然平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m ．
则222323|(1,
,)(0,0,1)|223cos ,23231()()33m n ⋅==++，故,4m n π=． 即所求二面角的大小为4
π………………12分 （此题用射影面积公式也可；传统方法做出二面角的棱，可得AB B 1∠即为所求）
考点：1.两个平面垂直的性质与判定；2.空间向量的应用.
19、（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
45，35，25
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
()1求该选手被淘汰的概率；
()2记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
【答案】(1)101125
; (2)ξ的分布列为
E(ξ)＝5725
【解析】 试题分析：(1) 利用相互独立事件概率之间的关系先求该选手没有被淘汰的概率，再利用对立事件的概率求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在考核中回答问题的个数ξ的可能值有1、2、3三种可能， 1ξ=说明第一个问题回答错误，2ξ=则说明第一个问题回答正确，第二个问题回答错误，3ξ=说明前两个问题回答正确即可，与第第三个问题的正确与否无关，分别计算其概率，可得概率分布裂，由期望公式代入直接计算即可.
试题解析：(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件Ai(i ＝1,2,3)，则
P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25
. ∴该选手被淘汰的概率P ＝1－P(A1A2A3)＝1－P(A1)P(A2)P(A3)＝1－45×35×25＝101125
.…………5分 (2)ξ的所有可能取值为1,2,3.
则P(ξ＝1)＝P(A 1)＝15
， P(ξ＝2)＝P(A1A 2)＝P(A1)P(A 2)＝45×25＝825
， P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝45×35＝1225
， ∴ξ的分布列为
∴E(ξ)＝1×15＋2×825＋3×1225＝5725
.…………………………………12分
考点：1.相互独立事件与对立事件的概率；2.离散型随机变量的分布列与期望.
20、（本小题满分13分）如图，椭圆C:22 2
2
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）经过点()
0,1，离心率
3
2
e=．()1求椭圆C的方程；
()2设直线1
x my
=+与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为'A（'A与B不重合），则直线'A B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
2
21
4
x
y
+=; (2) 直线'A B与x轴交于定点(4,0).
【解析】
试题分析：(1) 由题意椭圆过点()
0,1，离心率
3
e=,,
a b c的关系式，解之即可求椭圆方程；(2)联立方程组
2
21
4
1
x
y
x my
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，得出二次方程22
(4)230
m y my
++-=，设
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，由根与系数关系得到两根这和与两根之积的关系，用
11
,x y，
22
,
x y表示直线，再令0
y=，
用
12
,y y的表示x的值，利用前面得到的
1212
22
23
,
44
m
y y y y
m m
+=-=-
++
，代入化简求值可得x的值为定值，即可得到该直线经过x轴上的定点.
试题解析：(1)依题意可得
222
1,
3
,
b
c
a
a b c
=
⎧
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪=+
⎩
，解得2,1
a b
==．
所以，椭圆C的方程是
2
21
4
x
y
+=……………………4分
(2)由
2
21
4
1
x
y
x my
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
得22
(1)44
my y
++=，即22
(4)230
m y my
++-=……………………………6分
设11(,)A x y ，22(,)B x y
则11'(,)A x y -．且12122223,44m y y y y m m +=-=-++．…………………7分 经过点11'(,)A x y -，22(,)B x y 的直线方程为
112121y y x x y y x x +-=+-． 令0y =，则21211112211211211212()()x x x x y x y y x y x y x y x y y y y y y --+++=
+==+++………………9分 又11221,1x my x my =+=+．
∴当0y =时，22211212121212262(1)(1)2()44424
m m my y my y my y y y m m x m y y y y m --+++++++====++-+ 这说明，直线'A B 与x 轴交于定点(4,0)…………………………………………13分
考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系.
21、（本小题满分14分）已知函数()()
ln x f x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数． ()1求实数a 的值；
()2若()21g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围；
()3讨论关于x 的方程()
2ln 2x x ex m f x =-+的根的个数． 【答案】(1) 0a =； (2) 1t ≤-；(3) 故当21m e e >+
时，方程无实根；当21m e e =+时，方程有一个根；当21m e e
<+
时，方程有两个根. 【解析】 试题分析：(1)由奇函数的性质()()f x f x -=-代入解析式得()0x x a e e a -++=恒成立可求参数a 的值；
(2)()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数等价于'()0g x ≤恒成立⇔1λ≤-，2()1
g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立⇔2max ()(1)sin11g x g t t λλ=-=--≤++在[]1,1x ∈-上恒成立
2sin11t t λλ⇔--≤++在1λ≤-时恒成立2(1)sin110t t λ⇔++++≥(其中1λ≤-)恒成立，构造函数2
()(1)sin110(1)h t t λλλ=++++≥≤-求之即可；
(3)2ln 2()x x ex m f x =-+⇔2ln 2x x ex m x =-+，构造函数212ln (),()2x f x f x x ex m x
==-+，分别研究两个函数的单调性与极值，数形结合可得方程根的个数.
试题解析:(1)()ln()x f x e a =+是奇函数，
()()f x f x -=-，即ln()ln()x x e a e a -+=-+恒成立，
2()()1,11x x x x e a e a ae ae a --∴++=∴+++=．即()0x x a e e a -++=恒成立， 故0a =……1分．
(2)由(l)知()()sin g x f x x λ=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-
∴要使()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤恒成立，1λ∴≤-． 又max ()(1)sin1,g x g λ=-=--∴要使2()1g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立， 只需2sin11t t λλ--≤++在1λ≤-时恒成立即可．
2(1)sin110t t λ∴++++≥(其中1λ≤-)恒成立即可．
令2
()(1)sin110(1)h t t λλλ=++++≥≤-，则10,(1)0,t h +≤⎧⎨-≥⎩即210,sin10,t t t +≤⎧⎨-+≥⎩ 而2sin10t t -+≥恒成立，1t ∴≤-………10分
(3)由(1)知方程2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2x x ex m x
=-+， 令212ln (),()2x f x f x x ex m x
==-+ 121ln '()x f x x
-= 当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数；
当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数；
当x e =时，1max 1()f x e
=． 而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-
当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数，
∴当x e =时，22min ()f x m e =-． 故当21m e e ->，即21m e e
>+时，方程无实根；
当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根； 当21m e e -<，即21m e e
<+时，方程有两个根．………………14分 考点：1.函数的奇偶性；2.导数与函数的单调性；3.函数与方程.
高考一轮复习微课视频手机观看地址：
http://xkw.so/wksp
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.
2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.
3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.
4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.
5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是.
6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.
7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.
8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.
9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.
10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.
11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.
12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则
•的值是.
13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.
14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值.
16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.
20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】
21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.
【选修42：矩阵与变换】
22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.
【选修43：极坐标及参数方程】
23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与
抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.
【选修44：不等式选讲】
24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.
26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3}.
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
2.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 .
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论.
【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21，
故答案为：21
【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础.
3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 .
【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5.
故答案为：5.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.
【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可.
【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P=.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件.
5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是.
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得
=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.
【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴=.
∵0≤φ＜π，∴，
∴+φ=，
解得φ=.
故答案为：.
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题.
6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm.
【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.
【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）.
故答案为：24.
【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.
7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0.
∵a8=a6+2a4，
∴，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2.
∴a6===1×22=4.
故答案为：4.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题.
8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比.
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵=，
∴，它们的侧面积相等，
∴，
∴===.
故答案为：.
【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目.
9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=
故答案为：.
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.
10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0） .
【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得
m的范围.
【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，
故答案为：（﹣，0）.
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题.
11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣
5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 .
【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案.
【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，
曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣，
∴，
解得：，
故a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键.
12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则
•的值是 22 .
【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案.
【解答】解：∵=3，
∴=+，=﹣，
又∵AB=8，AD=5，
∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，
故•=22，
故答案为：22.
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键.
13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，） .
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可.
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知.
故答案为：（0，）.
【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用.
14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.
【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论.
【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），
由余弦定理得cosC===
=≥=，
当且仅当时，取等号，
故≤cosC＜1，故cosC的最小值是.
故答案为：.
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值.
【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；
（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值.
【解答】解：α∈（，π），sinα=.∴cosα=﹣=
（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；
∴sin（+α）的值为：﹣.
（2）∵α∈（，π），sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣.
cos（﹣2α）的值为：﹣.
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.
16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知
PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可. 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目.
17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值.
（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.
【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），
∴，即，
∵，
∴a2=（）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为+y2=1.
（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，
解得x=0，或x=，
∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，
∴C（，），
则=﹣=，
∵F1C⊥AB，
∴×（）=﹣1，
由b2=a2﹣c2得，
即e=.
【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大.
18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范。