专题11.1 空间向量及空间位置关系(精讲精析篇)(原卷版)

专题11.1 空间向量及空间位置关系（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 空间向量及其运算
1．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量共面向量
定
义
位置
关系
表示空间向量的有向线段所在的直线的
位置关系：__互相平行或重合__
平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__
特例零向量与__任意向量__共线
充要
条件
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件
是存在实数λ，使__a＝λb__
向量p与不共线向量a，b共面的充
要条件是存在__惟一__的有序实数
对(x，y)使__p＝x a＋y b__ 推论
对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
存在实数t满足等式__OP
→
＝OA
→
＋t a__，向量a为直
线l的__方向向量__或在直线l上取向量AB
→
＝a，则
OP
→
＝__OA
→
＋tAB
→
__
点P位于平面ABC内的充要条件是
存在有序实数对(x，y)，使AP
→
＝
__xAB
→
＋yAC
→
__或对空间任意一点
O，有OP
→
＝__OA
→
＋xAB
→
＋yAC
→
__
2．数量积的性质
设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；
θ＝__π__时，a 与b 反向． ②a ⊥b ⇔θ＝__π
2__⇔a ·
b ＝0． ③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．
④|a ·
b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |． ⑤对于实数a 、b 、
c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．
⑥a ·
b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__． ⑦不为零的三个实数a 、b 、
c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·
b )
c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理
(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．
(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示
设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．
以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．
对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →
＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．
我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )．
【典例1】如图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →
．
求证：四边形EFGH 是梯形.
【典例2】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，点N 为AA 1的中点.
(1)求BN →
的长．
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值． 【规律总结】 1.判断向量共线的策略
(1)熟记共线向量充要条件：①a ∥b ，b ≠0，则存在
惟一实数λ使a ＝λb ；②若存在惟一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ． (2)判断向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P 、A 、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →
成立．
(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →
(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →
(x ＋y ＝1)．
3.证明点P 在平面ABC 内，可以用AP →＝xAB →＋yAC →，也可以用OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，若用OP →＝xOA →＋yOB →
＋zOC →
，则必须满足x ＋y ＋z ＝1．
4．判定三个向量共面一般用p ＝x a ＋y b ，证明点线共面常用AP →＝xAB →＋yAC →，证明四点共面常用OP →＝xOA →
＋yOB →＋zOC →
(其中x ＋y ＋z ＝1)．
5.空间向量中，求两向量夹角与平面向量求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a |·|b |，解题的关键就是求a ·
b 和|a |、|b |.求模时主要应用|a |2＝a ·a 解决． 6．在几何图形中计算两向量的数量积时，关键是弄清两向量的夹角，特别注意在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝π－∠ABC ．
热门考点02 利用空间向量证明平行问题
1.用向量描述空间平行关系
设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：
位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系
l ∥m __a ∥b __ __a ＝k b ，k ∈R __ a 1＝kb 1，a 2＝kb 2，a 3＝kb 3 l ∥α __a ⊥u __ __a·u ＝0__ __a 1u 1＋a 2u 2＋a 3u 3＝0__u ∥v α∥β
__u ∥v __
u ＝k v ，k ∈R
u 1＝kv 1，u 2＝kv 2，u 3＝kv 3
【典例3】（选自2017天津，理17）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；
【典例4】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点.
(1)求证：MN ∥平面A 1BD ； (2)求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1． 【规律方法】
1．建立空间直角坐标系时，必须寻求三条两两垂直的直线． 2．空间向量坐标表示的方法与步骤： (1)观图形：充分观察图形特征．
(2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系． (3)用运算：综合利用向量的加减及数乘运算．
(4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标． 3.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →
平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量
的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧
n·
a ＝0，n·
b ＝0. 4.用向量证明空间中的平行关系
①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.
②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2.
③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 5.利用空间向量证明直线l ∥平面α的方法：
(1)可取直线l 的方向向量a 与平面α的法向量n ，证明a ·n ＝0；
(2)可在平面α内取基向量{e 1，e 2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线l 的方向向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，然后说明l 不在平面α内即可；
(3)在平面α内若能找到两点A 、B ，直线l 的方向向量n ∥AB →
，则l ∥α．
热门考点03 利用空间向量证明垂直问题
1. 用向量证明空间中的垂直关系
①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.
2.共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．
【典例5】（2018·甘肃武威十八中高三单元测试）设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
【典例6】（2019·北京高三期末（理））正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .
（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为_______； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为_______. 【总结提升】
1.用空间向量证明垂直问题的策略
2.证明直线l ⊥平面α，(一)取直线的方向向量e 和平面的法向量n ，验证e ∥n ；(二)取直线的方向向量e 和与平面α平行的两不共线向量a 、b ，验证e ·a ＝0且e ·b ＝0.可以选取基向量表示方便建系时一般用坐标法证明．
3. 证明平面α⊥平面β，求出平面α与β的法向量e 1，e 2，验证e 1·e 2＝0，或转化为证明线面垂直，用面面垂直的判定定理证明．
热门考点04 用空间向量解决探索性问题
【典例7】（2019·上海市行知中学高二期中）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱
BC 、CD 上的点，且BE CF =.
（1）当E 、F 在何位置时，11B F D E ⊥？ （2）是否存在点E 、F ，使1A C ⊥面1C EF ？
【典例8】（2020·天津河西 高三二模）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点.
（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE ；
（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE ，求DF 的长. 【总结提升】
解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．
(2)探索性问题的设点方法：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy
面上的点为(x ，y,0)；一般平面内的点，如ABC 平面内一点，可设为AP →
＝xAB →＋yAC →
；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP
→
＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算． 提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示．
巩固提升
1．（2019·上海市延安中学高二期中）已知向量b 与向量()2,1,2a =-共线，且18a b ⋅=，
()()ka b ka b +⊥-，求实数k 的值.
2．（2019·晋江市南侨中学高二月考）已知空间向量()()1,,2,2,1,2a n b ==-，若2a b -与b 垂直，则||a 等于（ ）
A ．
53
B ．
21 C ．
37 D ．
35
3．（2019·河北安平中学高二月考）若(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥则实数λ的值是（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2-
4．（2019·安徽高二月考（理））已知平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为
()22,4,n k =--，若αβ∥，则k 的值为__________.
5．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）如图，以长方体ABCD A B C D ''''-的顶底D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB '的坐标为(5,4,3)，则AC '的坐标为________
6．（2019·上海高三）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F ⋂=，
11BC B C E ⋅=，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为______．
7．（2019·上海曹杨二中高二期末）已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.
8．（2019·上海高二期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.
9．(湖北卷)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . （1）当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ .
10．（2019·福建省建瓯市芝华中学高二期中）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD QA ，
1
12
QA AB PD ==
=.
（1）证明：PQ ⊥平面DCQ ； （2）证明：PC
平面BAQ
11．（2019·福建高二期中）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是矩形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB =2，AC =1，5BC =
，12AA =
（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（2）在线段BC 1上是否存在一点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在求出
1
BD
BC 的值，若不存在请说明理由． 12．（2019·江苏高三期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =
，1113C F CC =.设b
a
λ=.
（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.
13．（2019·湖北华中师大一附中高三期中（理））已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，
AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ==E 为CD 的中点，PB AE ⊥
（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；
（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD
所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由.
14．（2019·吉林白城一中高二期中（理））如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM,PB 与平面ABCD 成30°的角.
求证:(1)CM ∥平面PAD ．
(2)平面PAB ⊥平面PAD ．
15．在边长是2的正方体ABCD -1111A B C D 中，,E F 分别为1,AB A C 的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.
(1)求EF 的长
(2)证明：//EF 平面11AA D D ；
(3)证明: EF ⊥平面1A CD .
z
y
16．如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F BF =.
（1）求证：11EF A C ⊥；
（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A 、E 、G 、F 四点共面，并求此时1C G 的长.
图5D 1
C 1B 1A 1F
E
D C B
A。