第4讲 二次谐波产生、相位匹配考虑
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复振幅：
' 1 2 i kn P w 2 , z e z 2
E 1 z E 1 z i 2k1z 2 1 0 w 2 ;w1 , w1 e 2 2
简并度
辐射出二次谐波的电极化强度振幅：
2 1 2 P w2 , z 0 w2 ;w1 , w1 E 1 z E 1 z 2
2 2
2
d E2 z dz
w1deff
n2c
E1 z
2
w1deff 2 2 E 0 E z 1 2
n2c
利用积分公式：
dv 1 1 v a2 v 2 a tanh a
w1d eff E2 z E1 0 tanh E1 0 z n c 2 w1d eff E1 z E1 0 sech E1 0 z n2 c
（单色、均匀平面波）
基频波与介质相互作用产生的极化场：
' 1 2 ikn P ( t ) P wn , z e z e iwnt c .c . 2 2 1 1 ik1z iw1t 0 E 1 z e e c .c . E 1 z e ik1z e iw1t c .c . 2 2 激励出二次谐波的极化强度P(2w1)在频率内（不含时间项）的
考虑到电场强度和非线性极化强度是实数，应在光电场复 振幅和非线性极化场复振幅前乘以系数1/2，这样计算和实验 结果才能相一致.
1 ikn z iw n t E n ( z , t ) E n ( z )e e c .c . 2 NL NL ' 1 z iw n t P n ( z , t ) P n ( z )e ikn e c .c . 2
第4讲 二次谐波产生和相位匹配考虑
(Second-Harmonic Generation
& Phase-Matching Consideration)
通过求解产生二次谐波的耦合方程，得到小信号和大信号二次谐波光强 表达式，讨论获得强相干信号的相位条件，分析在双折射晶体材料中实 现完全相位匹配条件的角度和温度相位匹配两种技术途径,讨论准相位匹 配技术。
等于零。 晶体长度为L；边界条 件：在入射端，基频光 电场强度幅度为E1(0)， 二次谐波的电场强度幅 度E2(0)=0，。
二次谐波的耦合波方程组为：
k k2 2k1
小信号近似：指的是基频波不发生损耗，因此方程（1）右边
L
w2
w1
E 1 (0) E 2 (0)=0
产生二次谐波的示波矢：
二次谐波、基频波与介质相互作用产生的极化场：
' 1 2 ikn P ( t ) P wn , z e z e iwnt c .c . 2 2 2 1 1 ik1z iw1t ik2 z iw2 t 0 E 1 z e e E2 ze e c .c . 2 2 激励出新基频波的电极化强度P(w1 ) 复振幅（频率内）：
le01e002产生二次谐波的示意图和边界条件??1??2??22222sin21sinc22kilkkkkiklililililkleekleeeeikliklkl????????????????????????????????????????????????????????????????????????????对方程2积分得????????122102112211220d1100leffikziklikleffeffdelieezncddeeieielncikncikl????????????????????????????????????????????其中
二次谐波产生
（Second harmonic generation)
347.15nm
1) A coherence volume of 10-11cm3, the second harmonic intensities as high as a fraction of a percent of the fundamental could be achieved.
dI1 w1 0deff i dz 2 dI 2 i w1 0deff 2 dz
相位匹配 条件下
k k2 2k1 0
n1 n2
* dE z dE z 1 * I ( z ) 0cn E z E z 2 dz dz
作业：翻译Franken的二次谐波产生文献
P. A. Franken, “Generation of Optical Harmonics”, 1961，Phys. Rev. Lett. 7:118
石英晶体？透明范围0.18~3.5mm, 折射率no=1.544, ne=1.553(0.6mm) 石英晶体属于三角晶系，32晶类，二阶极化率张量有非零 项：
E2 L i
对方程(2)积分得，
w1d eff
n2 c
E
2 1
i kz 0 e dz L 0
i kL i kL w d e 1 e 1 1 eff 2 2 i E1 0 i E1 0 L n2 c i k n2c i kL
Spatial beam area（光束面积 ）
Figure of merit of nonlinear crystal (非线性光学晶体品质因数） 2 2 2 1 eff 2 1 3 2 0 1 2
Sinc2(kL)函数与kL关系
△kL=
相干长度 Lcoh
对于石英晶体：
k
k k2 2k1 2715cm1
' kn k 2 k1
产生基频波的电极化场波矢：
d E2 z dz
二次谐波混频 耦合波方程:
1 2 0 w2 ;w1 , w1 E 1 z E 1 z 2
2w1 2 i P w2 , z e ikz 2 0 n2c
w1d eff
kL sin kL 2 其中: sinc kL 2 2
E2 L i
w1deff L
n2c
根据光强公式：
kL ikL E 0 sinc e 2
2 1
2
小信号二次谐波光 电场解
1 2 I 2 ( L) 0 n2c E2 L 2
(2) eff
(2) w1;w2 , w1 =a1 w1;w2 , w1 a2a1
可证明：
(2) eff
w1;w2 , w1 = w2;w1 , w1
(2) eff
dE1 z dz
i
w1d eff
n1c
* i kz E2 z E1 z e (2)
表征二次谐波产生过程速率的特征长度：
w1d eff 2w d Lsh E1 0 I1 0 n2c c n
kL I2 L L I 0 sin c cnn 2
2 2 1 2
2w d
转换效率
2 2 1 eff 3 2 0 1 2
P2 I 2 ( L) S 2w d L kL = I 0 sin c P1 I1 (0) S c n n 2
二次谐波产 生过程的 曼利-罗关系
* * * E E E E E E 1 1 2 1 1 2 * * * E E E E E E 1 1 2 1 1 2
能量守恒（产生二次谐波的曼利——罗关系）：
I1 z I2 z cons
E1 z E2 z E1 0
' 1 2 i kn P w1 , z e z 2 0 2
简并度 2
* E 2 z E 1 z i k 2 k1 z e w1;w2 , w1 2 2
辐射出新基频波的电极化强度振幅：
2 * 2 P w1 , z 1 0 w1 ;w2 , w1 E 2 z E 1 z
dE1 z w1 * i kz i d E z E z e (1) eff 2 1 n1c dz dE2 z i w1 d E 2 z e i kz (2) eff 1 dz n2 c
2 2 2 w d L 4 1 1 eff 2 2 kL 0 n2c 2 2 E1 0 sinc 2 2 n2 c
二次谐波小信号解及讨论
二次谐波光强（Intensity of the generated second harmonic)
dE2 z w1 (2) 2 i eff E1 z e ikz (wavevector mismatch） dz 2n2c
有效非线性极化率
' k kn kn k2 2k1
(2) eff
(2) -w2;w1 ,w1 =a2 -w2;w1 ,w1 a1a1
k k k i L i L i L sin kL / 2 i 2k L e ikL 1 e kL e 2 e 2 sinc e 2 e kL / 2 2 ikL ikL i k L 2
0.27pm/V
XXX 0 0
XXX 0 0
0 0 0
XYZ 0 0
XZY 0 0
0 XZY 0
0 XYZ 0
0 XXX ZXY
0 XXX ZXY
产生1011个二次谐波光子，转换效率不到1%
？
二次谐波耦合波方程及小信号解
且 w2=w1;
基频波角频率用w1表示，产生的二次谐波角频率用w2表示，
dE2 z dz
i
w1
n2c
deff E
2 1
z e
ikz
(2) （ 1） eff 2deff
有效非线性光学系数
辐射基频波的极化强度： 2 2 * P w1 , z 1 0 w1;w2 , w1 2 z E 1 z 产生基频波的耦合波方程: d E1 z w1 2 ikz i P w1 , z e dz 2 0 n2c dE1 z w1 (2) * i eff E2 z E1 z e ikz dz 2n1c
位匹配和相位失配条件下，二次谐波的光强（转换效率）与在晶体传播距离z关系
相干长度 Lcoh
k
Lc
k
相位失配条件下，在LBO晶体中产生二次谐波光迹
相位匹配条件下二次谐波的大信号解（基频波有损耗）
光强对z的 一阶微分：
2w1n2 2w1n1 k2 ; 2k1 c c 1 * 光强公式： I ( z ) 0cnE z E z 2
2) The order of 1011 second harmonic photons were generated within the quartz sample per pulse.( 10-8 conversion efficiency from the fundamental to the SH)
' 1 2 i kn P w 2 , z e z 2
E 1 z E 1 z i 2k1z 2 1 0 w 2 ;w1 , w1 e 2 2
简并度
辐射出二次谐波的电极化强度振幅：
2 1 2 P w2 , z 0 w2 ;w1 , w1 E 1 z E 1 z 2
2 2
2
d E2 z dz
w1deff
n2c
E1 z
2
w1deff 2 2 E 0 E z 1 2
n2c
利用积分公式：
dv 1 1 v a2 v 2 a tanh a
w1d eff E2 z E1 0 tanh E1 0 z n c 2 w1d eff E1 z E1 0 sech E1 0 z n2 c
（单色、均匀平面波）
基频波与介质相互作用产生的极化场：
' 1 2 ikn P ( t ) P wn , z e z e iwnt c .c . 2 2 1 1 ik1z iw1t 0 E 1 z e e c .c . E 1 z e ik1z e iw1t c .c . 2 2 激励出二次谐波的极化强度P(2w1)在频率内（不含时间项）的
考虑到电场强度和非线性极化强度是实数，应在光电场复 振幅和非线性极化场复振幅前乘以系数1/2，这样计算和实验 结果才能相一致.
1 ikn z iw n t E n ( z , t ) E n ( z )e e c .c . 2 NL NL ' 1 z iw n t P n ( z , t ) P n ( z )e ikn e c .c . 2
第4讲 二次谐波产生和相位匹配考虑
(Second-Harmonic Generation
& Phase-Matching Consideration)
通过求解产生二次谐波的耦合方程，得到小信号和大信号二次谐波光强 表达式，讨论获得强相干信号的相位条件，分析在双折射晶体材料中实 现完全相位匹配条件的角度和温度相位匹配两种技术途径,讨论准相位匹 配技术。
等于零。 晶体长度为L；边界条 件：在入射端，基频光 电场强度幅度为E1(0)， 二次谐波的电场强度幅 度E2(0)=0，。
二次谐波的耦合波方程组为：
k k2 2k1
小信号近似：指的是基频波不发生损耗，因此方程（1）右边
L
w2
w1
E 1 (0) E 2 (0)=0
产生二次谐波的示波矢：
二次谐波、基频波与介质相互作用产生的极化场：
' 1 2 ikn P ( t ) P wn , z e z e iwnt c .c . 2 2 2 1 1 ik1z iw1t ik2 z iw2 t 0 E 1 z e e E2 ze e c .c . 2 2 激励出新基频波的电极化强度P(w1 ) 复振幅（频率内）：
le01e002产生二次谐波的示意图和边界条件??1??2??22222sin21sinc22kilkkkkiklililililkleekleeeeikliklkl????????????????????????????????????????????????????????????????????????????对方程2积分得????????122102112211220d1100leffikziklikleffeffdelieezncddeeieielncikncikl????????????????????????????????????????????其中
二次谐波产生
（Second harmonic generation)
347.15nm
1) A coherence volume of 10-11cm3, the second harmonic intensities as high as a fraction of a percent of the fundamental could be achieved.
dI1 w1 0deff i dz 2 dI 2 i w1 0deff 2 dz
相位匹配 条件下
k k2 2k1 0
n1 n2
* dE z dE z 1 * I ( z ) 0cn E z E z 2 dz dz
作业：翻译Franken的二次谐波产生文献
P. A. Franken, “Generation of Optical Harmonics”, 1961，Phys. Rev. Lett. 7:118
石英晶体？透明范围0.18~3.5mm, 折射率no=1.544, ne=1.553(0.6mm) 石英晶体属于三角晶系，32晶类，二阶极化率张量有非零 项：
E2 L i
对方程(2)积分得，
w1d eff
n2 c
E
2 1
i kz 0 e dz L 0
i kL i kL w d e 1 e 1 1 eff 2 2 i E1 0 i E1 0 L n2 c i k n2c i kL
Spatial beam area（光束面积 ）
Figure of merit of nonlinear crystal (非线性光学晶体品质因数） 2 2 2 1 eff 2 1 3 2 0 1 2
Sinc2(kL)函数与kL关系
△kL=
相干长度 Lcoh
对于石英晶体：
k
k k2 2k1 2715cm1
' kn k 2 k1
产生基频波的电极化场波矢：
d E2 z dz
二次谐波混频 耦合波方程:
1 2 0 w2 ;w1 , w1 E 1 z E 1 z 2
2w1 2 i P w2 , z e ikz 2 0 n2c
w1d eff
kL sin kL 2 其中: sinc kL 2 2
E2 L i
w1deff L
n2c
根据光强公式：
kL ikL E 0 sinc e 2
2 1
2
小信号二次谐波光 电场解
1 2 I 2 ( L) 0 n2c E2 L 2
(2) eff
(2) w1;w2 , w1 =a1 w1;w2 , w1 a2a1
可证明：
(2) eff
w1;w2 , w1 = w2;w1 , w1
(2) eff
dE1 z dz
i
w1d eff
n1c
* i kz E2 z E1 z e (2)
表征二次谐波产生过程速率的特征长度：
w1d eff 2w d Lsh E1 0 I1 0 n2c c n
kL I2 L L I 0 sin c cnn 2
2 2 1 2
2w d
转换效率
2 2 1 eff 3 2 0 1 2
P2 I 2 ( L) S 2w d L kL = I 0 sin c P1 I1 (0) S c n n 2
二次谐波产 生过程的 曼利-罗关系
* * * E E E E E E 1 1 2 1 1 2 * * * E E E E E E 1 1 2 1 1 2
能量守恒（产生二次谐波的曼利——罗关系）：
I1 z I2 z cons
E1 z E2 z E1 0
' 1 2 i kn P w1 , z e z 2 0 2
简并度 2
* E 2 z E 1 z i k 2 k1 z e w1;w2 , w1 2 2
辐射出新基频波的电极化强度振幅：
2 * 2 P w1 , z 1 0 w1 ;w2 , w1 E 2 z E 1 z
dE1 z w1 * i kz i d E z E z e (1) eff 2 1 n1c dz dE2 z i w1 d E 2 z e i kz (2) eff 1 dz n2 c
2 2 2 w d L 4 1 1 eff 2 2 kL 0 n2c 2 2 E1 0 sinc 2 2 n2 c
二次谐波小信号解及讨论
二次谐波光强（Intensity of the generated second harmonic)
dE2 z w1 (2) 2 i eff E1 z e ikz (wavevector mismatch） dz 2n2c
有效非线性极化率
' k kn kn k2 2k1
(2) eff
(2) -w2;w1 ,w1 =a2 -w2;w1 ,w1 a1a1
k k k i L i L i L sin kL / 2 i 2k L e ikL 1 e kL e 2 e 2 sinc e 2 e kL / 2 2 ikL ikL i k L 2
0.27pm/V
XXX 0 0
XXX 0 0
0 0 0
XYZ 0 0
XZY 0 0
0 XZY 0
0 XYZ 0
0 XXX ZXY
0 XXX ZXY
产生1011个二次谐波光子，转换效率不到1%
？
二次谐波耦合波方程及小信号解
且 w2=w1;
基频波角频率用w1表示，产生的二次谐波角频率用w2表示，
dE2 z dz
i
w1
n2c
deff E
2 1
z e
ikz
(2) （ 1） eff 2deff
有效非线性光学系数
辐射基频波的极化强度： 2 2 * P w1 , z 1 0 w1;w2 , w1 2 z E 1 z 产生基频波的耦合波方程: d E1 z w1 2 ikz i P w1 , z e dz 2 0 n2c dE1 z w1 (2) * i eff E2 z E1 z e ikz dz 2n1c
位匹配和相位失配条件下，二次谐波的光强（转换效率）与在晶体传播距离z关系
相干长度 Lcoh
k
Lc
k
相位失配条件下，在LBO晶体中产生二次谐波光迹
相位匹配条件下二次谐波的大信号解（基频波有损耗）
光强对z的 一阶微分：
2w1n2 2w1n1 k2 ; 2k1 c c 1 * 光强公式： I ( z ) 0cnE z E z 2
2) The order of 1011 second harmonic photons were generated within the quartz sample per pulse.( 10-8 conversion efficiency from the fundamental to the SH)