一个一元二次方程的多个问题的探究

一个一元二次方程的多个问题的探究
摘要：一元二次方程是中学数学的一个重要内容，它的解法和根与系数的关系
是其中的重要知识点，在中高考中应用较普遍，也是初中数学竞赛的常考点。

本
文从不同角度对一元二次方程的多个问题做了分析探究，权当做是抛砖引玉。

关键词：元二次方程根与系数关系中考数学竞赛
一元二次方程是中学数学的一个重要内容，是培养学生用方程思想和方法解
决问题的落脚点之一，也是中考和数学竞赛中的重要考点。

下面，笔者将从不同
角度去分析、探究一元二次方程在解决不同问题时的方法。

问题一：解方程x2-3x+1=0。

解析：这个一元二次方程常用配方法和公式法来解，易得x=。

问题二：已知x2-3x+1=0，求x5-5x4+5x3+3x2+x+5的值。

解析：最直接的方法是先解方程求得x的值，然后代入代数式x5-
5x4+5x3+3x2+x+5求值，但因为次数高计算难度大，所以不可行。

能否降次？这
是问题的关键。

对于x2-3x+1=0的理解可以有另外两种情形：x2-3x＝-1，x2＝3x-1，这样就不拘泥于它是一元二次方程，而可以用这两个式子通过等量代换来达到降
次的目的。

方法一：用x2＝3x-1进行代换。

x5-5x4+5x3+3x2+x+5
=x(x2)2-5(x2)2+5x?x2+3x2+x+5
=x(3x-1)2-5(3x-1)2+5x(3x-1)+3(3x-1)+x+5
=9x2-36x2+36x-3
=9x(3x-1)-36(3x-1)+36x-3
=27x2-81x+33
=27(x2-3x)+33
=6
方法二：通过构造x2-3x+1用0代换。

x5-5x4+5x3+3x2+x+5
=x5-3x4+x3-2x4+6x3-2x2-2x3+6x2-2x-x2+3x-1+1+5
=x3(x2-3x+1)-2x2(x2-3x+1)-2x(x2-3x+1)-(x2-3x+1)+6
=6
方法小结：从以上两种方法来看，用x2=3x-1来降次，虽然简单，但计算量
偏大。

而用x2-3x+1=0来降次，配项虽然复杂，但计算量小。

问题三：已知x2-3x+1=0，求x-，x2+。

解析：显然通过解方程x2-3x+1=0求得x后再代入求值计算太复杂，学生会
感觉无从下手。

经过分析我们发现这是一个从整式向分式转化的问题，于是不难
想到在方程的两边同时除以x可以得到x+=3，于是(x-)2=(x+)2-4=5，即x-
=±5，同样x2+=（x+）2-2=7。

方法小结：此题关键是从整式向分式的转化，其次是配方。

问题四：已知x2-3x+1=0的两根是x1，x2，求下列各式的值：（1）（x1-2）（x2-2）；（2）（x1+）（x2+）。

解析：此问题是一个一元二次方程根与系数关系的应用，关键是将所求代数
式用x1+x2和x1x2表示。

由一元二次方程根与系数的关系可得，所以（1）（x1-2）（x2-2）=x1x2-2(x1+x2)+4=1-2×3+4=-1。

（2）（x1+）（x2+）=x1x2+2（+）+
=1+2x+=12。

方法小结：一元二次方程根与系数关系的应用是一元二次方程中的一个重点
内容。

问题五：设m，n是方程x2-3x+1=0的两根，求m3-4m+4n-2得值。

解析：此题显然要应用一元二次方程根与系数关系，但看起来又应用不了，
其原因是m，n的次数不对应，怎么办呢？不难想到可以使用问题二的降次方法，所以可以这样去解：
由题意可得：m2=3m-1，，
故m3-4m+4n-2
=m(3m-1)-4m+4n-2
=3m2-5m+4n-2
=3(3m-1)-5m+4n-2
=4(m+n)-5
=4-5
=-1
方法小结：本题既要通过等量代换后进行降次，又要使用一元二次方程根与
系数的关系，具有一定的综合性。

问题六：已知x2-3x+1=0，求一个方程，使它的两根分别是原方程两根的平方。

解析：这是根与系数关系的一个常规题型．应用的知识点是以x1，x2为根的
方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0，主要是求出新方程的两根之和与两根之积。

设x1，x2是方程x2-3x+1=0的两根，则所求方程的两根是x12，x22。

由根与系数关系得关系得，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×1=7，
x12x22=（x1x2）2=1，∴所求的方程是：x2-7x+1=0。

综合以上各例可以看出，一元二次方程在解决部分化简求值等问题时显现出
化繁为简、化难为易的奇功，因此，灵活掌握一元二次方程的相关知识，对进一
步提升学生分析问题、解题问题的能力具有重要作用。