(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及答案(1)

（易错题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及答案(1)
一、选择题
1．解方程组：223020
x y x y -=⎧⎨+=⎩.
【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.
【详解】
由方程①，得x ＝3y③，
将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，
整理，得y 2＝2，
解这个方程，得y 1
，y 2
④，
将④代入③，得x 1＝
，2x ＝﹣
所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】
该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.
2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩
． 【答案】11
13x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．
【详解】
由①得25y x =-+．③
把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．
整理后，得2760x x -+=．
解得11x =，26x =．
由11x =，得1253y =-+=．
由26x =，得21257y =-+=-．
所以，原方程组的解是11
13x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.
3．解方程组：2256021x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩
①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
【详解】
方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，
得60x y +=或0x y -=，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩
， 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，11x y =⎧⎨=⎩ .
4．解方程组：22120
y x x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．
【详解】
解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩
①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0
x ﹣2y =0或x +y =0
原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩
， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
，． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．
5．解方程组：
【答案】
，． 【解析】
【分析】
先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.
【详解】 解：
由①得：x =4+y ③，
把③代入②得：（4+y ）2-2y 2=（4+y ）y ，
解得：y 1=4，y 2=-2，
代入③得：当y 1=4时，x 1=8，
当y 2=-2时，x 2=2，
所以原方程组的解为：
，． 故答案为：
，. 【点睛】
本题考查了解高次方程.
6．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．
解决问题：
①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m
的值是____；
②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．
【答案】（1）y ＝﹣
12x 2+12x+1；（2）①-12
；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；
（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值
【详解】
解：（1）将A ，B 点坐标代入，得
10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 抛物线的解析式为y ＝211x x 122
-++；
（2）①由直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，得2m＝﹣1，
即m＝﹣1
2
；
故答案为﹣1
2
；
②AB的解析式为
11
22 y x
=+
当PA⊥AB时，PA的解析式为y＝﹣2x﹣2，
联立PA与抛物线，得
2
11
1
22
22
y x x
y x
⎧
=++
⎪
⎨
⎪=--
⎩
，
解得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
（舍），
6
14
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
即P（6，﹣14）；
当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，
联立PB与抛物线，得
2
11
1
22
23
y x x
y x
⎧
=++
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，
解得
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
（舍）
4
5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
即P（4，﹣5），
综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：
，
∵M（t，﹣1
2
t2+
1
2
t+1），Q（t，
1
2
t+
1
2
），
∴MQ＝﹣1
2
t2+
1
2
S△MAB＝1
2
MQ|x B﹣x A|
＝1
2
（﹣
1
2
t2+
1
2
）×2
＝﹣1
2
t2+
1
2
，
当t＝0时，S取最大值1
2
，即M（0，1）．
由勾股定理，得
AB
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
h
．
点M到直线AB
．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
7．已知1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩是方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
的一组解，求此方程组的另一组解.
【答案】2
2-2 3
x y =
⎧
⎨
=
⎩
【解析】
【分析】
先将1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩代入方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组
解．【详解】
解：将1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩代入方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
中得：
13
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
则方程组变形为：
2213
1
x y
x y
⎧+=
⎨
+=
⎩
，
由x+y=1得：x=1-y，
将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，
将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；
所以方程的另一组解为：2
2-2 3
x y =
⎧
⎨
=
⎩
.
【点睛】
用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.
8．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩
【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.
【详解】
解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩
， 由（1），得21y x =+（3），
把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，
解这个方程，得121,4x x ==，
把11x =代入（3），得13y =，
把24x =代入（3），得29y =，
所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.
9．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】
解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩
由②得：()()250x y x y -+=
原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩
， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，11
51x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨
=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】
本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
10．解方程组：222,
{230.x y x xy y -=--=
【答案】1111x y =⎧⎨
=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
【详解】 x 2-2xy-3y 2="0"
(x-y)2-4y 2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y 2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩
11．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩
①② 【答案】32
x y =-⎧⎨
=-⎩. 【解析】
【分析】
由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出
y 即可．
【详解】
解：由②得：y=7+3x(3)，
把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，
解得：x=-3，
把x=-3代入③得：y=-2，
所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．
12．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩
【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．
【详解】
222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩
①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩
①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
13．解方程组：248
x y x xy +=⎧⎨-=⎩.
【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
22
13x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】
【分析】
把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次
方程求出x 的值，得方程组的解.
【详解】
解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩
①② 由①得，4y x ＝﹣
③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝
整理，得2240x x ﹣﹣＝
解得：1211x x ＝＝，
把1x ＝③
，得1413y ＝﹣（
把1x ③
，得2413y ＝﹣（
所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】
本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.
14．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩
． 【答案】11
24x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.
【详解】
222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩
①② 由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，
原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩
， 解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236
x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解， 所以原方程组的解为： 1124x y =-⎧⎨
=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.
15．()()22244922120
x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩ 【答案】117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：(
)()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①② 将①因式分解得：2(2)9x y -=，
∴23x y -=或23x y -=-
将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=
∴240x y +-=或230x y ++=
∴原方程化为：23240x y x y -=⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=⎧⎨++=⎩或23240x y x y -=-⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=-⎧⎨++=⎩
解上述方程组得：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
16．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩
【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.
【详解】
222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩
①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=
∴方程组可化为两个新方程组：
21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020
x y x y +-=⎧⎨-=⎩ ∴方程组的解为：
111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22251
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【点睛】
此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.
17．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩
【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分
别求出对应的x 的值即可；
（2）设1A x y =+，1B x y
=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．
【详解】
解：（1）由1x y -=得：1x y =+，
将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()2
21120y y y y +-+-=， 整理得：2
201y y --=，
解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12
x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
； （2）设1A x y =+，1B x y
=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩
， 解得：656
A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
是方程组的解． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．
18．已知方程组222603
x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的
解.
【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；
【详解】
解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩
①② 把②代入①后计算得()22
2112120m x mx +++=，
∵方程组有两组相等的实数解，
∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，
解得：1m =±， 当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩
当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．
19．解方程： 【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，
························································ （2分） 代人得
20．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.
【答案】306
【解析】
【分析】
设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．
【详解】
设百位数字是x ，个位数字是y ．则
9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩
＝＝， 解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩
＝＝（不符合题意，舍去）． 答：这个三位数是306．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．。