以特殊三角形为背景的计算和证明

以特殊三角形为背景的计算和证明
二、方法剖析与提炼
（一）以等腰三角形为背景的计算与证明
例1．（2020温州）如图，在Rt∠AOB的平
分线ON上依次取点C，F，M，过点C作
DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM
为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH
＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y＝
3
2x
2B．y＝3x2C．y＝23x2D．y＝
33x2
【解析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积．
【解法】∵ON是Rt∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠EOC＝45°.
∵DE⊥OC，∴∠ODC＝∠OEC＝45°，
∴CD＝CE＝OC＝x，∴DF＝EF，DE＝CD＋CE＝2x.
∵∠DFE＝∠GFH＝120°，∴∠CEF＝30°，
∴CF＝，∴EF＝，∴S△DEF ＝。

∵四边形FGMH是菱形，∴FG＝MG＝FE＝23 3x.
∵∠G＝180°－∠GFH＝60°，∴△FMG是等边三角形，
∴S△FGH＝，∴S菱形FGMH＝，
∴S阴影＝S△DEF＋S菱形FGMH＝.
【说明】此题综合了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形。

（二）以直角三角形为背景的计算与证明
例2．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE=35°，∠ACB=；若∠ACB=140°，则∠DCE=；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．
【解析】已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；再根据结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明
【解法】（1）答案为：，
（2）猜想得：
理由：
（3）∠DAB+∠CAE=
理由如下：
【说明】1.两块三角尺是最常用的两个直角三角形。

2.两三角板重叠处的角比较多，要理清各个角之间的数量关系，计算角度之和时重叠部分的角不要漏算。

解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系。

（三）与等边三角形有关的分类讨论
例3．已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出各内角的度数．
【解析】分两种情况讨论：当直线通过等腰三角形顶角的顶点时；当直线通过等腰三角形的底角顶点时．然后根据图形结合等腰三角形的性质及三角形的内角和，列方程求角度即可．
【解法】一共有4种可能如下：
①△ABC是等腰三角形，AB=AC，线段AD
是过定点A的，
②如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
线段AD是过定点A的，
③如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
线段BD是过顶点B的，
④如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，
线段BD是过顶点B的．
【说明】分类讨论和方程思想是解决本题的关键，解决等腰三角形的边角计算问题时，要注意根据边的情况分类，类要考虑要全面，不重不漏，任何一边都可能是腰，本题第四种情况比较容易遗漏．
（四）特殊三角形的综合应用
例4．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等腰三角形的性
质可以证明∠BMD=2∠BCD=90°，所以△BMD为等腰直角
三角形；延长DM交BC于N，先证明ED∥BC，然后求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM与△MNC全等，根据全
等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．
【解法】（1）证明：
（2）（1）题中的结论．理由：
【说明】要注意中点的不同功能。

题（1）主要是应用直角三角形斜边上的中线性质，题（2）则利用中点构造全等三
角形。

三、能力训练与拓展
1.（2019枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E 为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
2．（2019泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）
A．44°B．66°C．88°D．92°
3．（2019宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所
在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，
则FM的长为（）
A．2B．C．D．1
4．（2019苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE 所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为．
5．（2019金华）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是．
6．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角度∠CPB是
锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角
形．你认为他的想法对吗？请说明理由．
7.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠
A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF
∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．
（1）求证：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF的长．。