高三下学期3月月考数学(文)试题

高三下学期3月月考
数学（文）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

总共三个大题；22 个小题；总分150分；考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题；共60分）
一、选择题（本大题12小题；每小题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；只有一
项是符合题目要求的）
1．设集合P={1；2；3；4}；Q={x||x|>2,x ∈R }；全集U=R ；则集合P ∩（C U Q ）=（ ） A ．{1；2} B ．{3；4} C ．{1} D ．{—2；—1；0；1；2} 2．已知,5
3
2
sin =
θ
则cos θ的值为 （ ）
A ．25
7-
B ．25
7
C ．
5
4 D ．
5
4
- 3．双曲线13
22
=-y x 的渐近线方程为
（ ）
A ．y =±3x
B ．x y 3±=
C ．x y 3
1±
= D ．x y 3
3±
= 4．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．在等比数列{a n }中；a 5、a 4、a 6成等差数列；则公比q 等于 （ ）
A ．1或2
B ．－1或－2
C ．1或－2
D ．－1或2 6．函数)01(12≤≤--=x x y 的反函数是
（ ）
A ．)10(12≤≤-=x x y
B ．)10(12≤≤--=x x y
C ．)12(12-≤≤---=x x y
D ．)01(12≤≤---=x x y
7．室内有一根直尺；无论怎样放置；在地面上总有这样的直线；它与直尺所在的直线 （ ） A ．异面 B ．相交 C ．垂直 D ．平行
8．函数54)(3++=x x x f 的图象在x=1处的切线与圆22y x +=50的位置关系为（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但不过圆心
D ．过圆心
9．函数x x x f cos sin )(⋅图象沿x 轴向左平移4
π
个单位；再将各点横坐标压缩为原来的 2
1
；则所得函数是
（ ）
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为
2π
的奇函数 D ．周期为
2
π
的偶函数 10．已知三条不同直线m 、n 、l ；两个不同平面βα,；有下列命题 （ ）
①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m ②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是
（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②④
D ．③
11．已知椭圆b a b a b
y a x 2),0(12222≤>>=+满足；若椭圆的离心率为e ；则22
1e e +的
最小值
（ ）
A ．
27
B ．
2
5 C ．3
D ．4
12．如图；△PAB 所在平面α和四
边形ABCD 所在的平面β垂直； 且AD ⊥α；BC ⊥α；AD=4； BC=8；AB=6；∠APD=∠CPB ； 则点P 在平面α内的轨迹是 （ ）
A ．圆的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题；共90分）
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分；共16分）
13．已知向量b a k b k a //),1,(),2,13(且=-=；则实数k = .
14．若实数x 、y 满足y x z y x x y -=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤≤则,0212的最大值是 .
15．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中；直线BD 1与平面ABCD 所成角的正切值是 . 16．设C ：y=x 2（x>0）上的点为P 0（x 0,y 0）；在P 0处作曲线C 的切线与x 轴交于Q 1；过Q 1
作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 1（x 1,y 1）；然后在P 1作曲线C 的切线与x 轴交于Q 2；过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线C 交于P 2（x 2,y 2）；依次类推；作出以下各点：Q 3；P 3；…Q n ；P n …。

已知x 0=2；则数{x n }的通项公式是 .
三、解答题（共6小题；共74分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（13分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角；且其对分别为a 、b 、c ；若),2
sin ,2cos
(A
A m -= ),2sin ,2(cos
A A n =且.2
1
=⋅n m （1）求角A ；
（2）若ABC c b a ∆=+=求,4,32的面积.
18．（13分）已知F （x ）=kx+b 的图象与直线x －y －1=0垂直且在y 轴上的截距为3； （1）求F （x ）的解析式；
（2）设a>2；解关于x 的不等式.1)
(3
2)3(2<+++-x f a x a x
19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足.0,)1(4
1
2>+=
n n n a a S 且 （1）求a 1,a 2及{a n }的通项公式；
（2）令b n =20－a n ,问数列{b n }的前多少项的和最大？
20．（12分）如图；在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中；∠ACB =90°；CB =1；CA=3；AA 1=6M 为侧棱CC 1上一点；AM ⊥A 1C ； （1）求证：B 1C 1//平面A 1BC ； （2）求异面直线A 1B 与AC 所成的
角的余弦值；
（3）求点C 到平面ABM 的距离.
21．（12分）如图；ABCD 是一块边长为4km 的正方形地域；地域内有一条河流MD ；河流
经过路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）；某公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN （如图）；问如何施工才能使游乐园面积最大；并求出最大值. 22．（12分）如图；设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ；经过点F ；经过点F 的直线交
抛物线于A 、B 两点；且A 、B 两点坐标为（x 1,y 1）；（x 2,y 2）；y 1>0,y 2<0,P 是此抛物线的
准线上的一点；0是坐标原点. （1）求证：221p y y -=
（2）若直线P A 、PF 、PB 的方向向量分
别为（1；a ）、（1；b ）、（1；c ）； 求证：实数a 、b 、c 成等差数列； （3）若,0=⋅PB PA ∠APF =α；∠BPF =β；
∠PFO =θ；求证：θ=|α－β|.
参考答案
一、选择题
ABDAC BCCDD BA 二、填空题 13．1 14．2
15．
22 16．1
)2
1(-n
三、解答题 17．解：（1）
∵2
1
),2sin ,2(cos ),2sin ,2cos
(=⋅=-=n m A A n A A m 且 ∴),,0(,21cos ,212sin 2cos
22π∈=-=+-A A A A 又即 ∴π3
2=A
（2）由余弦定理得bc c b bc c b bc c b a -+=++=︒-+=222222)(120cos 2
代入4:,4,32==+=bc c b a 得 ∴ABC bc A bc S ABC ∆=⋅=⋅=
∆即,33
2
sin 21sin 21π的面积为3. 18．解：（1）由已知；得k =－1；b =3
∴f （x ）=－x+3
（2）由
,032)2(,01332)3(22<-=+-<--+++-x
a
x a x x a x a x 得 .03
)
2)((>---x x a x 即
当a >3时；不等式解集为（2；3）∪（a ,+∞） 当a =3时；不等式解集为（2；3）∪（a ,+∞） 当2<a <3时；不等式解集为（2；a ,）∪（3+∞） 19．解：
（1）,3)1(4
1
,1)1(412222112111=⇒+=+=⇒+=
=a a a a a a S a 当2≥n 时；])1()1[(4
12
121+-+=-=--n n n n n a a S S a
),(2
1)(41121
2---+-=n n n n a a a a 由此得0))((11=-+--n n n n a a a a ∵01≠+-n n a a ∴21=--n n a a
∴}{n a 是公差为2的等差数列. 即}{n a 的通项公式为.12-=n a n （2）b n =2n －1；易见b 1>0；{b n }是递减数列
令,02190
2211
⎩⎨
⎧<-=>-=+n b n b n n ∴n=10；即{b n }是前10项和最大；
（另解：求出{b n }的前n 项和T n =－n 2+2n ；可见当n=10时T n 最大） 20．解：
（1）证明：在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中；
B 1
C 1//BC ；B 1C 1⊄平面A 1BC ；BC ⊂平面A 1BC ∴B 1C 1//平面A 1BC.
（2）在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中；AC//A 1C 1；
∴∠BA 1C 1或其补角是异面直线A 1B 与AC 所成的角. 连接BC 1；
∴CC 1⊥平面A 1B 1C 1； ∴CC 1⊥A 1C 1；
又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°；即A 1C 1⊥B 1C 1 ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ； ∴BC 1⊂平面BB 1C 1C ； ∴A 1C 1⊥BC 1；
在Rt △BCC 1中；BC=1；CC 1=AA 1=6；
∴BC 1=72
12=
+CC BC
在Rt △ABC 1中；A 1C 1=3；BC 1=7； ∴A 1B=
1021211=+BC C A
∴.10
30
cos 11111==
∠B A C A C BA （3）过点C 作CD ⊥AB 于N ；连接MD ；过点C 作CH ⊥MD 于H ；
∵CC 1⊥平面ABC ；
∴由三垂线定理；得MD ⊥AB ； ∴AB ⊥平面MCD ；
∴AB ⊥CH ；又CH ⊥MD ；
∴CH ⊥平面ABM ；即CH 为点C 到平面ABM 的距离。

在平面A 1ACC 1中；由A 1C ⊥AM ；易得△A 1AC ∽△ACM ；
∴
,1CM
AC
AC AA = ∴,26
12==A
A AC CM
在Rt △ABC 中；AB=.222=+BC AC
∴,23=⋅=
AB BC AB CD ∴,2
2
22=
-=
CD BC BD 在Rt △MCD 中；MD=.2
3\2
2
=
+CD MC ∴.2
2
=⋅=
MD CD CM CH
21．解：M 为原点；AB 为y 轴；以垂直于AB 的直线x 轴建立坐标系；
由题意得点D 的坐标为D （4；2）；则抛物线的方程为x y =2 令P （t 2；t ）；则,2||,4||,202
+=-=≤≤t PQ t PN t 所以)20(842)4)(2()(23
2
≤≤++--=-+=t t t t t t t S 求导得：0443,4432
2
=++-=+--=t t S t t S 令 得函数S （t ）的可疑点为2,3
2
-==
t t 比较可疑点和端点的函数值得：S （t ）的最大值为
27
256
；答略。

22．证明（1）当直线AB 的斜率不存在时；设直线AB 的方程为：,2
p x =
则),,2
(),,2(
p p
B p p A - ∴;2
21p y y -=
当直线AB 的斜率存在且不为0时；设直线AB 方程为：),2
(p
x k y -
=则由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=-=px y p x k y 2)2(2；可得)0(0222≠=--k kp py ky ∴;221p y y -=
（2）由已知);0,2
(),,2(,,,p F t P P k c K b K a PB PF PA -
===设 ∴p y x p y x p x t y c p t
b p x t y a 2,2;2
,,22
222112211==+
-=-=+-=且 ∴22222211222112211)
(2)(22
22222p y t y p p y t y p p p y t y p p y t y p x t y p x t y c a +-++-=+
-++-=+-++-=
+ =)
)(())(())((22
22221221222
21p y p y p y t y p y t y p +++-++-⋅ =42
221222212
212221222221221)(2p y y p y y tp ty p y y y tp ty p y y y p +++--++--+⋅ =)
2()
2(22
2221222
221p y y p p y y t p ++++-⋅ =b p
t
22=-
∴a 、b 、c 成等差数列. （3）解法一：
1
,0-=⋅⊥=⊥c a PB PA PB PA 故 ；由（2）可知；a+c=2b ；即a －b=b －c ；
①若AB ⊥x 轴；则,0,45︒=︒==θβα ∴βαθ-=； ②若K AB >0,则c a
c b a b a ab ac b a ab b a -==--=+--=+-=1
)(1tan α
同理可得αβ=tan
b c
a a c a c -=+-=-+--=⋅+-=
-∴2
)(1tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα
即,tan |||)tan(|θβα==-b 易知∠PFO ；∠BPF ；∠APF 都是锐角； ∴||βαθ-=
③若K AB <0；类似的也可证明||βαθ-= 综上：||βαθ-=
解法二：
1
,0-=⋅⊥=⊥c a PB PA PB PA 故
①若AB ⊥x 轴；则,0,45︒=︒==θβα ∴βαθ-=；
②若K AB >0,
∵AB 在抛物线上；∴|AF|=|AC|；|BF|=|BD| ∵AB 中点为M ；则2
|
|||2||||2||||BD AC BF AF AB PM +=+==
所以PM 是梯形ABDC 的中位线；故P 是CD 中点； ∴)0,2(,2),2,2(2121p
F y y t y y p P +=+-
= ),(),2
,
(12122
1y y x x AB y y p PF --=+=又 ∴2
)(11
2212y y x x p PF AB -=-=⋅
02
)
(2)(1212=--
-=x x p x x p
∴PF AB ⊥
∴△PDB ≌△PBF ∴∠BPF=∠DPB=β
∴βαβθ+=︒=+902 ∴βαθ-=
③若K AB <0；类似②可证明.αβθ-=综上；||βαθ-=。