扬州市20172018高二上期末数学试题及答案

（ 1）当 a 1时，求比值 M 取最小值时 x 的值；
（ 2）经过调查，环保部门发现：当比值
M
不超过
4
e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．
3
年不
需要进行保护，求实数 a 的取值范围． （ e 为自然对数的底， e 2.71828 ）
19．（本题满分 16 分）
已知椭圆
E:
x2 a2
y2 b2
扬州市 2017— 2018 学年度第一学期期末检测试题
高二 数 学
注意事项：
（ 满分 160 分，考试时间 120 分钟 ）
2018． 1
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
▲ ．
11．已知函数 f ( x) 的定义域为 R ， f '( x) 是 f ( x) 的导函数，且 f (2) 3 ， f '(x) 1 ，则不等式
f (x) x 1 的解集为
▲ ．
12．已知 A(4,0) ， B(1,0) ，动点 P 满足 PA 2PB ．设点 P 到点 C( 3,0) 的距离为 d ，则 d 的取值
①
0.44
3
[80,90)
②
③
4
[90,100]
4
0.08
合计
50
1
（ 1）填充上述表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）
；
（ 2）若利用组中值近似计算数据的平均数，求此次数学史初赛的平均成绩； （ 3）甲同学的初赛成绩在 [90,100] ，学校为了宣传班级的学习经验，随机抽取分数在
[90,100] 的 4
2 | ， BN |1
2 y0 | | x0
2
2 y0 |………… 12分
x0 2
x0 2
∴ AM BN
( |
2 y0
x0
( y0 1)
2) ( x0 2 (x0
2 y0) | | x02 2)
2 y02 2 2 2 x0 4 y0 2 2x0 y0 | x0 y0 x0 2 y0 2
2 |
2
2 2x0
11．( ,2)
12．[1,5]
6 13．
3
1 14．
2
x2 15．解：（ 1） p 真：椭圆
5
y2 1 的焦点在 x 轴上
a
∴0 a 5
…………５ 分
（ 2）∵“ p 或 q ”为真命题、 “ p 且 q ”为假命题 ∴ p 真 q 假或 p 假 q 真 ………………７ 分
q 真：∵关于 x 的不等式 3x2 2ax 3 0 在 R 上恒成立
ax ln x x2 ， x 0 ∴ g ' x
列表得： x
(1,2)
2
(2, )
f' x
0
fx
单调减
极小值
单调增
…………………６ 分 ∴ M 在 (1,2)上单调减，在 (2, ) 上单调增 ∴ M 在 x 2 时取最小值； ……………………８ 分
2a( x 1)(x 2)ex
（ 2）∵ M '
(x2 x 1)ຫໍສະໝຸດ Baidu (a 0) 根据（ 1）知： M 在 (1,2) 上单调减，在 (2,
18．（本题满分 16 分） 某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量
y （万只）与时
间 x （年）（其中 x N * ）的关系为 y 2ex ．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门
通过实时监控比值 M
ay x2 x
（其中 a 为常数，且 1
a
0 ）来进行生态环境分析．
（ 1）当 a 1时，求函数 y f x 的极值；
（ 2）若函数 g x f x x2 ，讨论 y g x 的单调性；
（ 3 ） 若 函 数 h( x) f ( x) x 2 的 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 A( x1,0), B( x2 ,0) ， 且 0 x1 x2 ． 设
x0 x1 x2，其中常数 、 满足条件 处的切线斜率的正负，并说明理由．
……………………５ 分
∴圆 C 的方程为： x 2 ( y 2)2 9 ；
……………………７ 分
（ 2）若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB : x 1∴ AB 4 2 ，不符合题意，舍；
若直线 AB 的斜率存在，设 AB ： y k( x 1)
∵ AB 4 ∴点 C 到直线 AB : kx y k 0 的距离为 5 ，即 | 2 k | 5 ， k2 1
1．命题 “ x R， x2 1 0 ”的否定是
2．直线 2x y 1 0 在 y 轴上的截距为
▲
．
▲ ．
3．抛物线 y 2 4 x 的焦点坐标为
▲ ．
4．曲线 y 2x sin x 在 (0,0) 处的切线方程为
▲
．
5．在边长为 2 的正方形内随机取一点，取到的点到正方形中心的距离大于
1 的概率为 ▲ ．
▲ ．
二、解答题： （本大题共 6 道题，计 90 分 ． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分 14 分）
2
已知命题 p ：“椭圆 x 5
2
y 1 的焦点在 x 轴上 ”；命题 q ：“关于 x 的不等式 3x2 2ax 3 0 在 a
R 上恒成立 ”． （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （ 2） 若命题 “p 或 q ”为真命题、 “p 且 q ”为假命题，求实数
1
…………………… 13分
2
答：此次数学史初赛的平均成绩为
77.4 ，甲同学被抽取到的概率为
1 ．…………………… 14 分 2
17．解：（ 1）设 C (0,m) ， m 0 ∵直线 4x 3 y 9 0 圆 C 相切，且圆 C 的半径为 3
∴ | 3m 9 | 3 ，解得 m 2 或 m 8 ∵ m 0 ∴ m 2 5
) 上单调增
∵确保恰．好． 3 年不需要进行保护
4
M (1) 2e e
∴ M (3)
2ae3 7
e4 ，解得： 13
a
7e
M (4) 2ae4 e4
2
2
13
答：实数 a 的取值范围为
13 (,
7e ]
．
22
…………………… 16 分
19．解：（ 1）∵椭圆的右准线方程为
x
2
2
∴a
2c
∵离心率为 2 ∴ a
1 ，且
0 ．试判断在点 M ( x0 , h(x0 ))
扬州市 2017— 2018 学年度第一学期期末检测试题
高 二数 学 参考 答案
2018． 1
2
1． x R ， x 1 0 2． 1 3． (1,0) 4． y x 5． 1 4
6． 45
7． 11 5
8． ( ,4)
9．4
10． y2 x 2 1
∴ (2a )2 4 3 3 0 ，解得： 3 a 3
…………………… 11分
0a5
a 0或 a 5
∴
或
a 3或 a 3
解得： 3 a 5 或 3 a 0 3a3
∴实数 a 的取值范围是 3 a 5 或 3 a 0 ．
…………………… 14 分
16．解：（ 1）① 22；② 14；③ 0.28；
……………………３ 分
k
2k 1
……………… 16 分
20．解：（ 1）当 a 1时， f x x lnx ∴ f ' x 1 1 x 1 ，令 f ' x 0 ，则 x 1，列表得： xx
x
(0,1)
1
(1, )
f' x
0
fx
单调减
极小值
∴ f x 有极小值 f 1 1 ，无极大值；
单调增 ……………………３ 分
（ 2） g x
2c
2
2
∴c
2
1,a
2
∴ b2
1
∴椭圆的方程为：
x
y2 1；
2
………………６ 分
2
（ 2）方法（一）设点 P(x0, y0 ) ，则 x0 y02 1 ， A( 2,0), B(0,1) ，即 x02 2 y02 2 ． 2
当 x0 0 时， P(0, 1) ，则 M (0,0) ， N (0, 1) ∴ AM BN 2 2 2 2 ………………８ 分
位同学中的两位同学到学校其他班级介绍，求甲同学被抽取到的概率．
17．（本题满分 14 分） 已知圆 C 的半径为 3，圆心在 y 轴正半轴上，直线 4 x 3 y 9 0 圆 C 相切．
（ 1）求圆 C 的方程；
（ 2）过点 Q(1,0) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A(x1, y1 ), B( x2, y2) 且 AB 4 ，求 x1 x2 的值．
∵点 P 异于点 A ∴ x0
2
当 x0
2 且 x0 0 时，设直线 AP 方程为： y
y0 ( x
x0 2
2) ，它与 y 轴交于点 N (0, 2 y0 ) x0 2
直线 BP 方程为： y
y0
1 x
1 ，它与 x 轴交于点 M (
x0 ,0)
x0
y0 1
∴ AM | x0 y0 1
2 | | 2 y0 x0 y0 1
结束
8．已知函数 y ln( x 4) 的定义域为 A ，集合 B { x | x a} ，若 x A 是 x B 的充分不必要条件，
则实数 a 的取值范围为
▲
．
x2 y2
9． 已知椭圆 C :
1 上的点 M 到右焦点的距离为 2，则点 M 到左准线的距离为
43
▲ ．
10．已知双曲线的渐近线方程为 y x ，且过点 (1, 2) ，则双曲线的标准方程为
6．某校学生高一年级有 400 人，高二年级有 300 人，高三年级有 200 人，现用分层抽样的方法从
所有学生中抽取一个容量为 n 的样本．已知从高三学生中抽取的人数为
10，那么 n = ▲ ．
7．执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
▲
．
开始
n 0, s 1
s2 s
s
n3 N
输出 s
n n1 Y
1(a b
0) 的右准线方程为
x
2 ，又离心率为
2 ，椭圆的左顶点为 2
A ，上顶点为 B ，点 P 为椭圆上异于 A, B 任意一点．
（ 1）求椭圆的方程；
（ 2）若直线 BP 与 x 轴交于点 M ，直线 AP 与 y 轴交于点 N ，求证： AM BN 为定值．
20．（本题满分 16 分） 已知：函数 f x ax lnx ．
∴ M(
1 ,0) 且
AM
|
1
k
k
2k 1
2| |
|
k
………………８ 分 ……………… 10分
则联立方程：
y kx 1
x2
y2
，消去 y 得： (2k 2 1
1)x2
4kx
0 ，解得：
x1 0 或 x2
2
2
即点 P(
4k 2k
2k2
, 1
2k 2
1 ) ∵点 P 异于点 A ∴ k
1
2 2
∴ k AP
a 的取值范围．
16．（本题满分 14 分）
为了让学生更多地了解 “数学史 ”知识，某班级举办一次 “追寻先哲的足迹，倾听数学的声音 ”
的数学史知识竞赛活动．现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为
100 分）进行统计，制成如
下频率分布表：
序号
分数段
人数
频率
1
[60,70)
10
0.20
2
[70,80)
（ 2） 65 0.20 75 0.44 85 0.28 95 0.08 77.4 ；
……………………８ 分
（ 3）记 “甲同学被抽取到 ”为事件 A ，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为：
甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共 甲丙、甲丁，共 3 个基本事件，则 P(A)
6 个基本事件；满足事件 A 的基本事件：甲乙、
范围为
▲ ．
13．斜率为
1 直线 l 经过椭圆 3
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左顶点 A ，且与椭圆交于另一个点
B ，若在 y
轴上存在点 C 使得 △ABC 是以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率
为 ▲ ．
14． 已知函数 f ( x) x | x 2 3a | 在 x [0,2] 的值域为 [0,4 m] ，则实数 m 的最小值为
4 y0
2 2x0 y0 | 2 2 为定值．
x0 y0 x0
2 y0
2
…………………… 16 分
方法（二）若直线 BP 斜率不存在， 则直线 BP 方程为： x 0 ，此时 P(0, 1) ，则 M (0,0) ，N (0, 1)
∴ AM BN 2 2 2 2
若直线 BP 斜率存在，设直线 BP 方程为： y kx 1，且 k 0
化简得：
2
4k
4k
1
0
∴k 1 2
……………………９ 分
1
联立方程：
y
( x 1) 2
，消去
y
得：
2
5x
10x 11
0 ∴ x1x2
11
…… 14分
x2 ( y 2)2 9
5
18．解：（ 1）当 a 1时， M
2ex
x2
x
(x 1
1) ，∴ M '
2( x 1)(x 2)ex (x2 x 1)2 ……………………３ 分
2
2k 1
2
2k 1
2k 2 1
4k
2
2 2 2k 2 4k 2
2k 1
2k 1 2( 2k 1)
4k ， 2k2 1
∴直线 AP 的方程为： y
2k 1 (x
2( 2k 1)
2) ，
则 N (0,
2k
1 )
且
BN
|1
2k 1
2k 1 2 2k
||
|
2k 1 2k 1
……………… 14分
∴ AM BN | 2k 1| | 2 2k | 2 2 为定值．