( 人教A版)高中数学选修22：1.3.3函数的最大(小)值与导数课件 (共38张PPT)

1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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2．函数 f(x)＝x3－3x(－1<x<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，a＋a b
f′(x)
－
a a＋b
0
a＋a b，1 1 ＋
f(x)
(a＋b)2
从上表可知当 x＝a＋a b时， f(x)有最小值 fa＋a b＝(a＋b)2， 在 x∈(0,1)上，函数无最大值．
求函数的最值的方法： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．
4．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M，N，则 M－N 的值为________． 解析：f′(x)＝3x2－3.令 f′(x)＝0 得 x＝±1，但 x∈[0,3]，因此只取 x＝1.又 f(0)＝－a， f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，故 f(x)在[0,3]上的最大值、最小值分别为 18－a 和－2－a， 即 M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20. 答案：20
D．无最大值，但有最小值
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)，∵－1<x<1.∴x2<1，∴3(x2－1)<0，即 f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上为减函数，∴f(1)<f(x)<f(－1)．故 f(x)在(－1,1)内既无最大值，
也无最小值．
答案：C
3．函数 y＝x·e－x 在[0,4]上的最大值为________． 解析：y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令 y′＝0，得 x＝1，∴当 x∈[0,1]时，y′>0， 函数 y＝xe－x 是增函数． 当 x∈[1,4]时，y′<0，函数 y＝xe－x 是减函数．∴函数 y＝x·e－x(x∈[0,4])在 x＝1 时，取得最大值，其值为 y＝1e. 答案：1e
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－π2 (－π2，－π6) －π6 (－π6，π6)
π 6
(π6，π2)
π 2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
π 2
由上表可知：
π6－
3 2
23－π6
－π2
当 x＝－π2时 f(x)取得最大值 f－π2＝π2， 当 x＝π2时 f(x)取得最小值 fπ2＝－π2.
怎样求解已知函数的最值求参数的问题？ (1)如果已知在给定区间上的最值，应先确定在区间上函数的单调性及极 值点是极大值还是极小值，如果不能确定，往往是分类讨论的依据． (2)在用参数表示最值情况时，往往利用作差的方法比较含参最值的大 小，此时也往往进行分类讨论．
2．已知 a、b 为常数且 a>0，f(x)＝x3＋32(1－a)x2－3ax＋b.函数 f(x)的极大值为 2， 且在区间[0,3]上的最小值为－223，求 a，b 的值． 解析：f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)． 令 f′(x)＝0，解得 x1＝－1，x2＝a. ∵a>0，∴x1<x2.
x (－∞，－ 2) － 2 (－ 2， 2)
f′(x)
＋
0
－
2 ( 2，＋∞)
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2， 所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18. (2)f′(x)＝2cos 2x－1， 令 f′(x)＝0，－π2≤x≤π2，得 x＝－π6或 x＝π6.
答案：D
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
人教A版数学 ·选修2－2 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 9:26:51 AM
[双基自测]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析：y′＝4x3－4，令 y′＝0，得 4x3－4＝0，x＝1，当 x＜1 时，y′＜0；当 x＞1 时，y′＞0，所以 y 极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值 y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72， 得 ymin＝0.
探究一 求函数的最值
[典例 1] 求下列函数的最值： (1)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a 为正常数； (3)f(x)＝ax2＋1－b2 x，x∈(0,1)，a>0，b>0.
[解析] (1)f′(x)＝12＋cos x.
令 f′(x)＝0，解得 x＝23π或 x＝43π.
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴当 x＝－1 时，f(x)有极大值 2，即 3a＋2b＝3. ①当 0<a<3 时，f(x)在[0，a)上为减函数，在(a,3]上为增函数， ∴f(a)为最小值，f(a)＝－12a3－32a2＋b， 即－12a3－32a2＋b＝－223.
探究三 与函数最值有关的不等式恒成立问题
[典例 3] 设函数 f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求函数 f(x)的最小值 h(t)； (2)由(1)若 h(t)<－2t＋m 对 t∈(0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围． [解析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴当 x＝－t 时，f(x)取最小值 f(－t)＝－t3＋t－1，即 h(t)＝－t3＋t－1. (2)令 g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1， 由 g′(t)＝－3t2＋3＝0，及 t>0 得 t＝1.
探究二 已知函数的最值求参数值或范围
[典例 2] 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]时 f(x)的最大值为 3，最小值为
－29，求 a，b 的值．
[解析] 由题设知 a≠0，否则 f(x)＝b 为常数，与题设矛盾．
∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当 a>0 时，列表如下：
二、函数最值的求法
求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：
1．当函数 f(x)单调时，若函数 y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的 最小值， f(b)为函数的 最大值 ；若函数 y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的 最大值， f(b)为函数的 最小值 ． 2．当函数 f(x)不单调时， (1)求 y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值．
又由 3a＋2b＝3，于是有 a3＋3a2＋3a－26＝0， 即(a＋1)3＝27，∴a＝2，b＝－32. ②当 a≥3 时，可知 f(x)在[0,3]上单调递减， ∴当 x＝3 时，f(x)取到[0,3]上的最小值． ∴f(3)＝27＋227(1－a)－9a＋b＝－223. ∴45a－2b＝104. 又 3a＋2b＝3，计算得 a＝14087， ∵14087<3，∴此时没有适合条件的 a，b. 综上，满足题意的 a 的值为 2，b 的值为－23.
f(x)必有最大值和最小值的充分条件. 2.最值与函数的单调性、极值、
3.会用导数求在给定区间上函数的最大 参数的讨论等知识相结合的问
值、最小值.
题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、函数的最大值与最小值
[自主梳理]
如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b] 上一定有 最大值 和 最小值 ，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
1.3 导数在研究函数中的应用
1．3.3 函数的最大(小)值与导数
考纲定位
重难突破
1.借助函数图象，直观地理解函数的最 重点：利用导数求函数在给定区
大值和最小值的概念.
间上的最大值、最小值的方法和
2.弄清函数最大值、最小值与极大值、 步骤.
极小值的区别与联系，理解和熟悉函数 难点：1.函数最值与极值的区别.
x
－1 (－1,0) 0 (0,2)
2
f′(x)
＋ 0－
f(x) －7a＋b
b
－16a＋b
由表可知，当 x＝0 时，f(x)取得最大值． ∴f(0)＝3，即 b＝3. 又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29， ∴a＝2. (2)当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取得 f(0)＝－29，∴b＝－29. 又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，23π
2π 3
23π，43π
4π 3
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝ e1x′－(ex)′＝－e1x－ex＝－1＋exe2x. 当 x∈[0，a]时，f′(x)<0 恒成立， 即 f(x)在[0，a]上是减函数． 故当 x＝a 时，f(x)有最小值 f(a)＝e－a－ea； 当 x＝0 时，f(x)有最大值 f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f′(x)＝－ax22＋1－b2x2＝b2x2x－21a－21x－2 x2. 令 f′(x)＝0，即 b2x2－a2(1－x)2＝0， 解得 x＝a＋a b或 x＝a－a b(舍去)．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月15日星期三2021/9/152021/9/152021/9/15 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/152021/9/15September 15, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/15