【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 10-6排列与组合课后强化作业 新人教A版(1)

【走向高考】2021届高考数学一轮总温习10-6排列与组合课后强化作业新人教A
版
基础巩固强化
一、选择题
1．(2021·哈尔滨模拟)如下图，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，假设焊接点脱落致使断路，那么电路不通．今发觉A，B之间线路不通，那么焊接点脱落的不同情形有( )
A．9种B．11种
C．13种D．15种
[答案]C
[解析]有一个点脱落时有2种，有两个点脱落时有C24＝6种，有三个点脱落时有C34＝4种，四个点都脱落时有1种，共有2＋6＋4＋1＝13种．
2．(2021·河北沧州一模)10名同窗合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，那么不同调整方式的种数为( )
A．C27A55B．C27A22
C．C27A25D．C27A35
[答案]C
[解析]从后排抽2人的方式种数是C27；前排的排列方式种数是A25，由分步乘法计数原理知不同调整方式种数是C27A25.
3．某单位有7个连在一路的车位，现有3辆不同型号的车需停放，若是要求剩余的4个车位连在一路，那么不同的停放方式的种数为( )
A．16 B．18
C．24 D．32
[答案]C
[解析]假设将7个车位从左向右按1～7进行编号，那么该3辆车有4种不同的停放方式：(1)停放在1～3号车位；(2)停放在5～7号车位；(3)停放在一、二、7号车位；(4)停放在一、六、7号车位．每一种停放方式均有A33＝6种，故共有24种不同的停放方式．
4．(2021·海口模拟)某省高中学校自实施素养教育以来，学生社团取得迅猛进展，某校高一新生中的五名同窗打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．假设每一个社团至少
有一名同窗参加，每名同窗至少参加一个社团且只能参加一个社团．且其中甲不参加“围棋苑”，那么不同的参加方式的种数为( )
A．72 B．108
C．180 D．216
[答案]C
[解析]设五名同窗别离为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，若是甲不参加“围棋苑”，有以下两种情形：
(1)从乙、丙、丁、戊当选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方式，然后从甲与丙、丁、戊共4人当选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分派到其他三个社团中，有C24A33种方式，故共有C14C24A33种参加方式；
(2)从乙、丙、丁、戊当选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方式，甲与丁、戊分派到其他三个社团中有A33种方式，这时共有C24A33种参加方式；
综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参加方式．
[解法探讨] 由于甲是特殊元素，故按甲进行分类．
第一类，甲自己去一个社团，有C13种选法，将其余4人当选2人有C24种选法，将这2人和其余2人分派到三个社团共有A33种方式，∴共有C13C24A33＝108种．
第二类，甲与另外一人同去一个社团，先安排甲有C13种选法，然后将剩余4人分派到四个社团有A44种，∴共有C13A44＝72种，∴总共有108＋72＝180种参加方式．
5．(2021·四川理，8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次掏出两个不同的数别离记为a、b，共可取得lg a－lg b 的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
[答案]C
[解析]解法1：记大体事件为(a，b)，那么大体事件组成的集合为Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20
个大体事件，而lg a－lg b＝lg a
b，其中大体事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg a
b的值相等，那么不同值的个数为20－2＝18(个)，应选C.
解法2：由于lg1－lg3＝lg3－lg9，lg3－lg1＝lg9－lg3，因此共有不同值A25－2＝18个．
6．一次演出，原打算要排4个节目，因临时有转变，拟再添加2个小品节目，假设维持原有4个节目的相
对顺序不变，那么这6个节目不同的排列方式有( )
A．30种B．25种
C．24种D．20种
[答案]A
[解析]原先4个节目的相对顺序不变，故4个节目形成5个空档，将这两个节目插入．(一)当两节目不相邻时，有A25＝20种选法，(二)当两节目相邻时，有A22·C15＝10种排法，∴共有20＋10＝30种不同排法．
二、填空题
7．由一、二、3、4、五、6组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是________．(以具体数字作答)
[答案]72
[解析]首位数字是奇数时有A33·A33种排法，首位数字是偶数时也有A33·A33种排法，因此一共能够组成2A33·A33＝72个奇偶数字相间且无重复数字的六位数．
8.
某广场中心建造一个花园，花园分成5个部份(如图)．现有4种不同颜色的花能够栽种，假设要求每部份必需栽种1种颜色的花且相邻部份不能栽种一样颜色的花，那么不同的栽种方式有________种．[答案]72
[解析]依题意，按花园的5个部份实际栽种花的颜色种数进行分类计数：第一类，花园的5个部份实际栽种花的颜色种数是3时，知足题意的方式数共有A34＝24种；第二类，花园的5个部份实际栽种花的颜色种数是4时，知足题意的方式数共有A44×2＝48种．因此，知足题意的方式数共有24＋48＝72种．9．将4名新来的同窗分派到A、B、C三个班级中，每一个班级至少安排1名学生，其中甲同窗不能分派到A班，那么不同的分派方案有________．
[答案]24种
[解析]将4名新来的同窗分派到A、B、C三个班级中，每一个班级至少安排一名学生有C24A33种分派方案，其中甲同窗分派到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此知足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．10．某农科院在3行3列9块实验田当选出3块种植某品种水稻进行实验，那么每行每列都有一块实验田种植水稻的概率为________．
[答案]1 14
[解析] 如图，由于每行每列都有一块实验田种植水稻，∴当1处种植水稻时，只能是(1,5,9)或(1,6,8)，依此可列出所有可能种植方式为：(1,5,9)，(1,6,8)，(2,6,7)，(2,4,9)，(3,5,7)，(3,4,8)，共6种，又从9块实验田当选3块的选法为C 39，
∴所求概率为P ＝6
C 39＝1
14.
能力拓展提升 一、选择题
11．一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数别离为一、二、3、4、五、6，将这颗骰子持续抛掷三次，观看向上的点数，那么三次点数依次成等比数列的概率为( )
A.1
108 B.1
216
C.136
D.127 [答案] D
[解析] 持续抛掷三次骰子可得结果为63＝216种，其中依次组成等比数列的情形有 (1)公比为1，共6种．
(2)公比为2，只有1种，即1,2,4，. (3)公比为1
2，只有1种，即4,2,1.
∴共有8种，∴P ＝8
216＝1
27
.
12．在某种信息传输进程中，用4个数字的一个排列(数字许诺重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，假设所用数字只有0和1，那么与信息0110最多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．15
[答案] B
[解析]与信息0110最多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)
与信息0110最多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)
13．(2021·杭州模拟)若是一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面组成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个极点确信的直线与含有四个极点的平面组成的“平行线面组”的个数是( ) A．60 B．48
C．36 D．24
[答案]B
[解析]长方体中，含有四个极点的平面有两类．第一类侧面、底面，对其中每一个面(如底面ABCD)，与其平行的直线有6条，共有6×6＝36个“平行线面组”；
第二类对角面，对其中每一个面与其平行的直线有2条，共有6×2＝12个“平行线面组”．
∴共有36＋12＝48个，选B.
二、填空题
14．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1，1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每一个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为极点的三棱锥一共有________个(用数字作答)．[答案]58
[解析]这8个点组成正方体的8个极点，此题即转化成以正方体的8个极点中的4个点为极点的三棱锥一共有多少个．从正方体的8个极点中任取4个，有不同取法C48种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，∴如此的三棱锥有C48－12＝58个．
15．(2021·潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行那个数为N1，N2、N3别离表示第二、三行中的最大数，那么知足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．
[答案]240
[解析]由题意知6必在第三行，安排6有C13种方式，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方式，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把那个最大数安排在第二行，有C12种方式，剩下的两个数字有A22种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是C13×A25×C12×A22＝240.
三、解答题
16．(2021·合肥调研)要从5名女生，7名男生当选出5名代表，按以下要求，别离有多少种不同的选法？
(1)至少有1名女生入选；
(2)最多有2名女生入选；
(3)男生甲和女生乙入选；
(4)男生甲和女生乙不能同时入选；
(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
[解析](1)间接法．从12人当选5人有C512种选法，这5人全为男生的选法有C57种，∴不同选法有C512－C57＝771(种)．
(2)按“最多有2名女生”分类：2名女生有C25C37种，1名女生有C15C47种，无女生有C57种，∴共有不同选法C25C37＋C15C47＋C57＝546(种)．
(3)只需再从剩余10人当选取3人，不同选法共有C310＝120(种)．
(4)间接法．C512－C310＝672(种)．
(5)间接法．男甲与女乙都不入选时有C510种，∴共有不同选法C512－C510＝540(种)．
考纲要求
1．明白得分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．明白得排列、组合的概念．
3．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
4．会用分类加法计数原理、分步乘法计数原理和排列组合知识解决一些简单的实际问题．
补充说明
1．排列、组合问题的类型及解答策略
排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出此刻试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方式是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．
(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必需相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．
[例1] (2021·山西四校联考)有七名同窗站成一排照相，其中甲必需站在正中间，而且乙、丙两位同窗要站在一路，那么不同的站法有________种．
[答案]192
[分析] 甲站正中间，左侧、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按那个整体元素的站
位考虑有4种情形，其他位置可任意排列．
[解析]依题意得，知足题意的不同站法共有4·A22·A44＝192种．
(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题能够先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两头位置，故称“插空法”．[例2] (2021·郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机预备着舰．若是甲、乙两机必需相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方式有( ) A．12种B．18种
C．24种D．48种
[答案]C
[解析]将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A22种方式．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种方式．
(3)定序问题属组合．排列时，若是限定某些元素或所有元素维持必然顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．
[例3] 6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的顺序必需是先乙，再甲，最后丙，那么不同的列队方式有________种．
[答案]120
[解析]解法1：由于甲、乙、丙三人的顺序已定，故只需从6个位置当选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有A36＝120种．
解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C36种方式，剩下3个位置站其余3人，有A33种方式，∴共有C36·A33＝120种．
(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必需排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．[例4] (2021·太原部份重点中学联考)6位同窗安排到3个社区A，B，C参加志愿者效劳，每一个社区安排两名同窗，其中甲同窗必需到A社区，乙和丙同窗均不能到C社区，那么不同的安排方式种数为( ) A．12 B．9
C．6 D．5
[答案]B
[解析]当乙、丙中有一人在A社区时有C12C13C22＝6种安排方式；当乙、丙两人都在B社区时有C13C22＝3
种安排方式，因此共有9种不同的安排方式．
(5)最多、至少间接法．含“最多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情形明确且易于计算的情形．
[例5] 从6名男生和2名女生当选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )
A．36种B．30种
C．42种D．60种
[答案]A
[解析]解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C12·C26种选法，含2名女生有C22·C16种选法，∴共有C12C26＋C22C16＝36种选法．
解法2(间接法)：假设选出的3名满是男生，那么有C36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C38－C36＝36种．
(6)选排问题先选后排法．关于排列组合的混合应用题，一样解法是先选(组合)后排(排列)．
[例6] 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，那么恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．
[答案]144
[解析]先从四个小球中取两个放在一路，有C24种不同的取法，再把掏出的两个小球与另外两个小球看做三堆，并别离放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同的放法，据分步计数原理，共有C24·A34＝144种不同的放法．
(7)部份符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部份符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求．
[例7] 过三棱柱任意两个极点的直线共15条，其中异面直线有( )
A．18对B．24对
C．30对D．36对
[答案]D
[解析]三棱柱共6个极点，由此6个极点可组成C46－3＝12个不同四面体，而每一个四面体有三对异面直线那么共有12×3＝36对．
(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.
[例8] 用0到9这10个数字，能够组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A．324 B．328
C．360 D．648
[答案]B
[解析]利用分类计数原理，共分两类：
(1)0作个位，共A29＝72个偶数；
(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256个偶数，
共计72＋256＝328个偶数，应选B.
2．建模思想
[例9] 一只电子蚂蚁在如下图的网格线上由原点O(0,0)动身，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方式总数为f(m，n)，那么f(m，n)＝________.
[答案]C m m＋n
[解析]从原点O动身，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，那么爬到点(m，n)需m个0和n个1.如此爬行方式总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方式数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从当选取m个放0即可．∴f(m，n)＝C m m＋n.
[点评] (1)例如f(3,4)＝C37，其中0010111表示从原点动身后，沿右右上右上上上的途径爬行．
(2)抽象建模后确实是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．
[例10] 方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．
[答案]45
[解析]把x、y、z别离看做是x个1，y个1和z个1，那么共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故许诺十号相邻，如11＋＋111111表示x＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，
∴不同排法总数为从10个位置当选取2个放十号，
∴方程的非负整数解共有C210＝45个．
[例11] 一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不阻碍照明，决定天天晚上十点熄灭其中的4盏，而且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方式有多少种．
[解析]记熄灭的灯为0，亮灯为1，那么问题是4个0和8个1的一个排列，而且要求0不相邻，且不排在两头，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方式数C47＝35种．[点评] 实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是不是相邻、相间等受限条件，然后确信有无顺序是排列仍是组合，再去求解．
[例12] 如图，从上往下读(不能跳读)组成句子“构建和谐社会，创美好以后”的不同读法种数是( )构
建建
和和和
谐谐谐谐
社社社社社
会会会会会会
创创创创创
美美美美
好好好
未未
来
A．250 B．240
C．252 D．300
[答案]C
[解析]要组成题设中的句子，那么每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．
3．列举法
[例13] 若是直线a与b异面，那么称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
[答案]24
[解析]
六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．
考察PA与底面六条边所在直线可用列举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对．同理与共它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．
备选习题
1．(2021·山东理，10)用0,1，…，9十个数字，能够组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252
C．261 D．279
[答案]B
[解析]组成所有的三位数的个数为C19C110C110＝900，而无重复数字的三位数的个数为C19C19C18＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B.
2．(2021·浙江理，6)假设从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有( )
A．60种B．63种
C．65种D．66种
[答案]D
[解析]掏出的4个数和为偶数，可分为三类．
四个奇数C45，四个偶数C44，二奇二偶，C25C24.
共有C45＋C44＋C25C24＝66种不同取法．
3．(2021·昆明重点高中检测)某班班会预备从含甲、乙的7名学生当选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，假设甲、乙同时参加，那么他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为( ) A．720 B．520
C．600 D．360
[答案]C
[解析]解法1：依照题意，分2种情形讨论：假设甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种；假设甲、乙2人都参加，共有C25·A44＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情形有C25·A22·A33＝120种，故有240－120＝120种．那么不同的发言顺序种数为480＋120＝600.
解法2：C12C35A44＋C25A22A23＝600种．
4．(2021·湖北荆门质检)第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请A，B，C三个竞赛项目的志愿者，组委会同意了他们的申请，每一个竞赛项目至少分派一人，每人只能效劳一个竞赛项目，假设甲要求不去效劳A竞赛项目，那么不同的安排方案共有( )
A．20种B．24种
C．30种D．36种
[答案]B
[解析]解法1：4人分到A，B，C三个项目共有C24A33种，其中A项目有甲与另一人的分法有A33种，A项
目只有甲一人的分法有C23A22种．故符合题意的安排方案有C24A33－A33－C23A22＝24，应选B.
解法2：C12A33＋C12C23A22＝24.
5．(2021·重庆理，13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生当选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，那么骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方式种数是________(用数字作答)．
[答案]590
[解析]方式一：从12名医生中任选5名，不同选法有C512＝792种．不知足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有C57＝21种，只去骨科和内科两科医生的选法有C58－C55＝55种，只去脑外科和内科两科医生的选法有C59－C55＝125种，只去内科一科医生的选法有C55＝1种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．
方式二：设选骨科医生x名，脑外科医生y名，
那么需选内科医生(5－x－y)人．
(1)当x＝y＝1时，有C13·C14·C35＝120种不同选法；
(2)当x＝1，y＝2时，有C13·C24·C25＝180种不同选法；
(3)当x＝1，y＝3时，有C13·C34·C15＝60种不同选法；
(4)当x＝2，y＝1时，有C23·C14·C25＝120种不同选法；
(5)当x＝2，y＝2时，有C23·C24·C15＝90种不同选法；
(6)当x＝3，y＝1时，有C33·C14·C15＝20种不同选法．
因此不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．
[点评] 按骨科医生去的人数可分三类：
骨科医生去1名，2名，3名．
不同选派方式有：C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＋C23(C14C25＋C24C15)＋C33C14C15＝590种．。