北京市各区中考数学一模试卷精选汇编 解四边形专题

解四边形专题
东城区
21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE= AB，连接DE，AC.
（1）求证：四边形ACDE为平行四边形;
（2）连接CE交AD于点O. 若AC=AB=3，，求线段CE的长.
21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD，
∴，.
∵AB=AE，
∴，.
∴四边形ACDE为平行四边形. -------------------2分
(2) ∵，
∴.
∴平行四边形ACDE为菱形.
∴AD⊥CE.
∵，
∴BC⊥CE.
在Rt△EBC中，BE=6, ,
∴.
根据勾股定理，求得.----------------------5分
西城区
21．如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为．
（1）补全图形，求的度数并说明理由;
（2）若，，求的长．
B
A
D 【解析】（1）补全的图形如图所示．．
证明：由题意可知，，∵在中，，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴．
（2）∵四边形为菱形，∴．
在中，，，，
∴，
∴．
A B
C D
O
海淀区
21．如图，□的对角线相交于点，且AE∥BD，BE∥AC，OE = CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形的面积取得最大值是_______.
C B
E
O
A
D
21．（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形. ………………1分
∵四边形是平行四边形，
∴.
∵,
∴.
∴平行四边形是矩形. ………………2分
∴. ∴.
∴平行四边形是菱形. ………………3分
(2) 正方形； ………………4分
2. ………………5分
丰台区
21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，
FC ，CA ．
（1）求证：四边形AEFC 为矩形；
（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，
AB = 4，求DE 的长．
A
B
C
E
D
F
21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，
∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA =BC .
∴BE =BF .
∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .
∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分
（2）解：连接DB .
由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，
∴四边形AEBD 为菱形.
∴AEEB ，AB 2AG ，ED 2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EBAB ，AB=4， ∴AG 2，AE 4.
∴Rt△AEG 中，EG=2.
∴ED=4. ………………………5分 （其他证法相应给分） 石景山区
21．如图，在四边形中，，，于点． （1）求证：；
（2）若，求的长．
B A C
E D
21．（1）证明：（法一）
过点B作BH⊥CE于H，如图1．
∵CE⊥AD，
∴∠BHC＝∠CED＝90°，．
∵∠BCD＝90°，
∴，
∴．
又BC＝CD
∴≌．
∴．
∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，
∴四边形是矩形，
∴．
∴．………………3分
（法二）过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H．图略，证明略．（2）解：∵四边形是矩形，
∴．
∵在Rt中，,
设，
∴．
∴．
∴,．………………4分
∵．
∴．………………5分
朝阳区
21. 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C
作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=，求DF的长．
21.（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD.
∵E是BC中点，
∴CE＝BE.
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .
∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………2分
（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，
∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝， ∴，.
在Rt △EMB 中，. ……………………3分 在Rt △EMD 中，. …………………4分
∴DF ＝8. ………………………………………………………5分 燕山区
23． 如图，在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，BE=2DE ,延长DE
到点F ，使得EF=BE,连接CF ． （1）求证：四边形BCFE 是菱形；
（2）若∠BCF =120°，CE=4，求菱形BCFE 的面积．
23. （1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点
∴DE ∥BC, DE=BC ……………………….1′
又BE=2DE,即DE=BE ∴BC=BE 又EF=BE ∴EF ∥BC, EF=BC
∴四边形BCFE 是平行四边形……………………….2′ 又EF=BE
∴四边形BCFE 是菱形 ……………………….3′ （2）∵四边形BCFE 是菱形 ∴BC=BE 又∠BCF =120° ∴∠BCE=60°
∴△BCE 是等边三角形
∴连结BF 交EC 于点O ．∴BF ⊥EC 在Rt △BOC 中，BO=……………………….4′
∴ ∴ ……………………….5′ 门头沟区
21.在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和
AF ．
（1）求证：四边形AECF 为菱形；
（2）若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的周长． 21. （1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°， (1)
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ，
A
B C
D E F
在△AEO 和△CFO 中，
∵∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AOE =∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），
∴OE =OF ． ……………2分 又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，
又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 是菱形；……………3分
（2）设AF =x ，∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴AF =CF =x ，BF =8﹣x ， ………………………………………4分
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AB 2+BF 2=AF 2，42+（8﹣x ）2=x 2
， 解得 x =5，∴AF =5，∴菱形AECF 的周长为20．…………………5分 大兴区
21. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE=O C ，CE=O D ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；
（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4，求菱形OCED 的面积． 21.（1）证明：
∵DE =OC ，CE =OD ，
∴四边形OCED 是平行四边形 ………………………………1分 ∵矩形ABCD ，
∴AC =BD ，OC =AC ，OD =BD . ∴OC =OD .
∴平行四边形OCED 是菱形 ………………………………2分 （2）解：在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，∠BAC =30°，AC ＝4，
∴BC =2.
∴AB =DC =.…………………………………………………3分
连接OE ，交CD 于点F . ∵四边形OCED 为菱形， ∴F 为CD 中点. ∵O 为BD 中点， ∴OF =BC =1.
∴OE ＝2OF ＝2 …………………………………………………4分 ∴S 菱形OCED ＝OE ·CD =×2×
＝…………………………………………………5分
平谷区
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数的图象与直线y =x +1交于点A （1，a ）．
（1）求a ，k 的值；
（2）连结OA ，点P 是函数上一点，且满足OP=OA ，直接写出点P 的坐标（点A 除外）． 21．解：（1）∵直线y =x +1经过点A （1，a ），
∴a =2． ··························· 1 ∴A （1,2）．
∵函数的图象经过点A （1，2），
∴k =2． (2)
F
E
O
A
B
C
D
（2）点P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）． ············ 5 怀柔区
21.直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边BC 上一点，且AB=AD ，过点C 作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E ，交AB 延长线于点F. (1)求证：∠ACB=∠DCE； (2)若∠BAD=45°，，过点B 作BG⊥FC 于点G ，连接DG ．依题意补全图形，并求四边形ABGD 的面积．
21.
(1)∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，………………………………1分
∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠CDE.
∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°. ∵CE⊥AE，∴∠DCE+∠CDE=90°. ∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分 （2）补全图形,如图所示: …………………………3分
∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°, ∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°, ∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG.
∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.
∵AB=AD，∴BG=AD.
∴四边形ABGD 是平行四边形.
∵AB=AD ∴平行四边形ABGD 是菱形.………………4分 设AB=BG=GD=AD=x ，∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+. ∴x=， 过点B 作BH⊥AD 于H. ∴BH=AB=1.
∴S 四边形ABDG =AD×BH=. ……………………………………………………………………5分 延庆区
21．如图，Rt△ABC 中，∠ABC =90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ． （1）求证：四边形DBEC 是菱形；
（2）若AD =3， DF =1，求四边形DBEC 面积.
D G
B E
C
F
D H
G
B E
A
F
E
D
C
B
A
21．（1）在
Rt△ABC 中，∵CE //DC ，BE //DC
∴四边形DBEC 是平行四边形
∵D 是AC 的中点，∠ABC =90°
∴BD =DC ……1分 ∴四边形DBEC 是菱形 ……2分 （2）∵F 是AB 的中点
∴BC =2DF =2,∠AFD =∠ABC =90° 在Rt△AFD 中,
……3分 ∴
……4分
……5分
顺义区
21．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BD =BC ，点E 为CD 的中点，射线BE 交AD 的延长
线于点F ，连接CF ．
（1）求证：四边形BCFD 是菱形；
（2）若AD =1，BC =2，求BF 的长．
21．
（1）证明：∵BD=BC ，点E 是CD 的中点， ∴
∠
1=
∠
2． …………………………………………………… 1分 ∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．…………………………… 2分 ∴BD=DF ． ∵BD=BC ， ∴DF=BC ． 又∵DF ∥BC ，
∴四边形BCFD 是平行四边形． ∵BD=BC ，
∴□BCFD 是菱形． …………………………………………………… 3分 （2）解：∵∠A =，AD =1，BD =BC =2，
F E
A B
C
D 3
21F
E
A
B
C
D
∴．
∵四边形BCFD是菱形，
∴DF=BC=2．………………………………………………………… 4分∴AF=AD+DF=3．
∴．……………………………… 5分。