【精编】高考数学二轮复习 第1部分 专题7 数学思想方法的培养——分类讨论思想课件 文-精心整理

数学思想 应用角度
角度一 由数学概念引起的分类讨论
[例 1] (2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝
2x－1－2，
x≤1，
－log2x＋1， x>1， 且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝( )
A．－74
B．－54
C．－34
D．－14
数学思想 应用角度
角度一 由数学概念引起的分类讨论
1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复 杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解 答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等 于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为 小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
(汇总问题)
(－1,0)∪(0，＋∞)．
数学思想 应用角度
角度二
由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
对于等比数列前 n 项和公式的使用就要分 q＝1，Sn＝na1 和 q≠1，Sn＝ a111－－qqn.
数学思想 应用角度
角度三 由数学运算要求引起的分类讨论
[例 3] (2015·高考山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2 的解集是( A )
n≥0)在区间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为(
)
A．16
B．18
C．25 首先根据函数的单调性建立关于
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D. m，n
的2 不等式，然后运用基本不等式求
最值．
①当 m＝2 时，∵f(x)在12，2上单调递减， ∴0≤n<8，mn＝2n<16.
数学思想 应用角度
角度五 由参数变化引起的分类讨论
数学思想 方法概述
2．分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直 线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、 性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项 和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方 根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两 边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
∴P＝6＋46× ×26＋×26×2＝112.
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数学思想 应用角度
角度六 由实际意义引起的分类讨论
根据骰子数字成等差数列的公差的实际情况分类讨论.
②当 m≠2 时，函数 f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)的对称轴 方程为 x＝－mn－－82. a．当 m>2 时，抛物线开口向上，∵f(x)在12，2上单调递减，∴－mn－－82≥2， 即 2m＋n≤12.又 2m＋n≥2 2mn，∴2 2mn≤12，∴mn≤18.当 2m＝n＝ 6，即 m＝3，n＝6 时取等号，∴mn 的最大值为 18.
数学思想 应用角度
角度二
由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
Sn＝a111－－qqn>0，
(分类处理问题 2)
即11－－qqn>0(n＝1,2,3，…)，则有11－ －qq>n>00， ①
1－q<0， 或1－qn<0. ②
由①，得－1<q<1，由②，得 q>1.
故 q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
[7,8]．故选 D.
D
(确立分类标准 2) (汇总问题)
数学思想 应用角度
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
由于 x＋y＝s 的直线位置可以平移，形成了不同的图形三角形或四边形， 故讨论直线的位置.
数学思想 应用角度
角度五 由参数变化引起的分类讨论
[例 5] (2015·高考四川卷)如果函数 f(x)＝21(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，
数学思想 方法概述
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类： 如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方 程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的 参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论．
分类讨论处理条件 f(a)＝－3，解得 a，然后代入函数解析式计算 f(6－a)．
由于 f(a)＝－3，
①若 a≤1，则 2a－1－2＝－3，整理得 2a－1＝－1.
(确定分类标准 1)
由于 2x＞0，所以 2a－1＝－1 无解；
(分类处理问题 1)
②若 a＞1，则－log2(a＋1)＝－3， 解得 a＋1＝8，a＝7，
数学思想 应用角度
角度五 由参数变化引起的分类讨论
b．当 m<2 时，抛物线开口向下，∵f(x)在12，2上单调递减，∴－mn－－82≤12， 即 m＋2n≤18，即 n≤9－21m. 又∵0≤m<2，n≥0，∴mn≤9m－12m2＝－21(m－9)2＋821<－21(2－9)2＋821＝ 16. 综上所述，mn 的最大值为 18，故选 B.
值的变化范围是( ) A．[6,15] C．[6,8]
B．[7,15] D．[7,8]
数学思想 应用角度
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
x＋y＝s， x＝4－s， 由y＋2x＝4 ⇒y＝2s－4， 取点 A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，
C′(0,4)．
(确定需分类目标与对象的基本特征)
专题复习·数学（文）
专题七 概率与统计 数学思想方法的培养——分类讨论思想
角
角度一 由数学概念引起的分类讨论
度
角度二 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
角度三 由数学运算要求引起的分类讨论
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
角度五 由参数变化引起的分类讨论
角度六 由实际意义引起的分类讨论
数学思想 方法概述
B
数学思想 应用角度
角度五 由参数变化引起的分类讨论
因参数 m 的不同取值，函数 fx及 mn 的最值有不同的形式和结果，故根 据抛物线的形式分类讨论.
数学思想 应用角度
角度六 由实际意义引起的分类讨论
[例 6] 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的 1
概率为__1_2_______． 基本事件有 6×6×6＝216(个)，点数依次成等差数列的有： (1)当公差 d＝0 时，1,1,1；2,2,2；…，共 6 个． (2)当公差 d＝1 时，1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6，共 4 个．同理，公差 d＝ －1 时，也有 4 个． (3)当公差 d＝2 时，1,3,5；2,4,6，共 2 个．同理，公差 d＝－2 时，也有 2 个．
(确定分类标准 2) (分类处理问题 2)
所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.
综 A 上所述，f(6－a)＝－47.故选 A.
(汇总问题)
数学思想 应用角度
角度一 由数学概念引起的分类讨论
本题是根据分段函数的概念，以分段函数的分段条件为标准讨论.
数学思想 应用角度
角度二
由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论
(1)当 3≤s<4 时，
(确立分类标准 1)
可行域是四边形 OABC，如图所示．
此时，7≤z≤8.
(分类处理问题 1)
D
(汇总问题)
数学思想 应用角度
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
(2)当 4≤s≤5 时，
此时可行域是△OAC′，如图所示．
zmax＝8.
(分类处理问题 2)
综上，z＝3x＋2y 最大值的变化范是
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4)
D．(1,5)
利用零点分区间法解绝对值不等式．
①当 x≤1 时，原不等式可化为 1－x－(5－x)＜2，∴－4＜2，不等式恒成
立，∴x≤1.
②当 1＜x＜5 时，原不等式可化为 x－1－(5－x)＜2，
∴x＜4，∴1＜x＜4.
③当 x≥5 时，原不等式可化为 x－1－(x－5)＜2，该不等式不成立．
数学思想 方法概述
3．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳．
综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选 A.
数学思想 应用角度
角度三 由数学运算要求引起的分类讨论
根据绝对值的运算，要分类讨论绝对值号里面的式子的正负.
数学思想 应用角度
角度四 由图形的不定性引起的分类讨论
[例 4]
x≥0， 在约束条件yy≥＋0x≤，s，
y＋2x≤4
下，当 3≤s≤5 时，z＝3x＋2y 的最大
[例 2] 设等比数列{an}公比为 q，前 n 项和 Sn>0(n＝1,2,3…)，则 q 的取 值范围是__________．
因为{an}是等比数列，Sn>0， 可得 a1＝S1>0，q≠0. 当 q＝1 时， Sn＝na1>0； 当 q≠1 时，
(确定需分类的目标与对象) (确立分类标准 1) (分类处理问题 1) (确立分类标准 2)